平面グラフ分枝幅と分枝分割
明治大学理工学部情報科学科
玉木久夫
共同研究者:
Qianping Gu (Simon Fraser大)
吉武由実(明治大学理工学研究科)
内容
Part 1
• グラフの分枝幅と分枝分割:定義と背景
• 平面グラフの分枝分割アルゴリズム
O(n4) 時間アルゴリズム(Seymour & Thomas 94)
O(n3) 時間への改良(Gu & Tamaki 05)
Part 2
• 平面グラフの分枝幅
ねずみ捕りゲームによる特徴づけとO(n2) 時間ア
ルゴリズム (Seymour & Thomas 94)
特徴づけの理解: 実際的な改良へ向けて
Part 1
Branch-decomposition(分枝分割)
A branch-decomposition of graph G :
Conceptual definition:
a recursive binary decomposition of E(G)
f
a
e
c
b
d
G
g
e
a c
g
b d f
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
Conceptual definition:
a recursive binary decomposition of E(G)
f
a
e
c
b
d
G
g
a
c
e f g
b d
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
Conceptual definition:
a recursive binary decomposition of E(G)
f
a
e
c
b
g
a
c
f
d
e
b
G
d
g
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
Conceptual definition:
a recursive binary decomposition of E(G)
f
c
a
e
c
b
g
f
a
d
e
b
G
d
g
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
Conceptual definition:
a recursive binary decomposition of E(G)
f
c
a
e
c
b
g
f
a
d
b d
G
e g
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
Conceptual definition:
a recursive binary decomposition of E(G)
f
c
a
e
c
b
g
f
a
d
G
b
d
e
g
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
Formal definition:
a ternary tree with leaf set E(G)
f
c
a
e
c
b
g
f
a
d
G
b
d
e
g
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
… abstracts away the
starting bipartition
Formal definition:
a ternary tree with leaf set E(G)
f
c
a
e
c
b
g
f
a
d
G
b
d
e
g
Branch-decomposition
A branch-decomposition of graph G :
… abstracts away the
starting bipartition …
Formal definition:
a ternary tree with leaf set E(G)
f
c
a
e
c
b
g
f
a
d
G
b
d
e
g
Branchwidth(分枝幅)
The width of branch-decomposition T of G :
The maximum cardinality of the vertex cuts of G
associated with the edges of T.
c
f
a
e
c
b
f
a
g
d
G
b
d
e
g
Branchwidth
The width of branch-decomposition T of G :
The maximum cardinality of the vertex cuts of G
associated with the tree edges of T.
c
f
a
e
c
b
f
a
g
d
G
3
b
d
e
g
Branchwidth
The width of branch-decomposition T of G :
The maximum cardinality of the vertex cuts of G
associated with the tree edges of T.
f
a
e
c
b
g
2
a
3
2
d
3
2
G
width = 4
c
b
2
d
2
4
3
2
e
f
2
g
Branchwidth
The branchwidth of G :
The minimum width of all the
branch-decompositions of G.
Background
• Branch-decompositions are introduced by Robertson and
Seymour (1991) in relation to tree-decompositions.
vertex cuts
tree edges of a branch-decomposition.
tree nodes of a tree-decomposition,
• bw(G) ≦ tw(G) + 1 ≦ (3/2) bw(G)
• Many NP-hard combinatorial problems on graphs can be solved
in 2O(bw(G))n time, via DP based on the decomposition.
.
Known results(Seymour-Thomas 94)
General graphs:
NP-complete to decide whether bw(G) ≦ k for
given G, k, if k is part of the input.
Planar graphs:
The decision problem: O(n2) time
Constructing the corresponding decomposition:
O(n4) time
 O(n3) : This work
If k is fixed, then the decision and the construction
can both be done in linear time on general graphs
(Bodlaender & Thilikos 97).
Rest of Part 1
•
•
•
•
Carving decomposition
Seymour-Thomas algorithm for planar graphs
Key lemmas for improvement
Algorithm and analysis: some ideas
Carving decomposition(刻み分割) of G
• A recursive binary decomposition of V(G)
• Formally a ternary tree with leaf set V(G).
• The width of carving decomposition T of G is the
maximum cardinality of the edge cuts of G
associated with tree edges of T.
3
5
5
4
1
1
5
4
2
G
2
3
Branch-decomposition vs carving-decomposition
The problem of computing an optimal decomposition
of planar graph G can be reduced to that of
computing an optimal carving-decomposition of a
related planar multi-graph M(G). (Seymour and
Thomas 94).
Goal
Given a planar multi-graph G with n vertices
and O(n) edges, a minimum-width carving
decomposition of G can be constructed in O(n3)
time.
Tool: O(n2)-time Carving-width decision procedure
(Seymour and Thomas 94)
Given a planar multi-graph G and a positive
integer k, decides whether the carvingwidth of G
exceeds k.
Bottom-up construction of a carving-decomposition
Start from singleton sets of vertices.
1
2
3
6
4
5
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
2
3
6
4
5
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
1
2
2
3
3
6
4
6
4
5
5
7
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
1
2
2
3
3
6
4
4
6
5
5
7
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
1
2
2
3
3
6
4
4
6
5
5
7
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
1
2
2
3
3
6
4
4
6
5
5
7
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
1
2
2
3
3
6
4
4
5
5
7
6
7
Bottom-up construction of a carving-dec.
Merge two vertex sets into one, at a time.
1
1
2
2
3
3
6
4
4
5
5
7
6
7
Bond carving
Bond carving of G:
a carving decomposition of G in which every cut
bipartitions V(G) into two connected sets, i.e.,
every cut is a dual cycle
Lemma (Seymour and Thomas 94)
For every planar multi-graph G, the optimal
carvingwidth can be achieved by a bond carving.
 In the bottom up process, we can only merge
adjacent vertex sets
How to guide the bottom-up construction
We have a contracted multi-graph at each step.
1
2
3
6
4
5
7
How to guide the bottom-up construction
We have a contracted multi-graph at each step.
1
2
3
6
5
7
How to guide the bottom-up construction
We have a contracted multi-graph at each step.
Use the width decision
procedure to ensure that
the carvingwidth does not
exceed the original width
at any step.
1
2
3
6
5
We say that two vertex sets X and Y are
mergeable if merging them into one does not
cause the carvingwidth to exceed the
original optimal width
7
A carving-decomposition algorithm
1. Decide the carvingwidth k of G.
2. M  the set of all singleton vertex sets of G.
3. While |M| > 1 do
Find a mergeable pair X , Y of vertex sets in
M and replace them by X U Y.
At each iteration, the O(n2)-time decision
procedure is called O(n) times for mergeability
testing.
 O(n4) time in total for n iterations
Our refinement
Reduce the number of calls to the decision procedure
througout the execution from O(n2) to O(n).
The answers to all the other mergeability tests are
deduced from previous test results in O(n) time
each.
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k, where k is the carving width of G
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
W
Z
X
Y
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k,
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
≦k
W
Z
X
Y
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k,
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
W
Z
X
Y
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k,
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
W
Z
X
Y
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k,
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
W
Z
X
Y
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k,
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
?
W
Z
X
Y
Key lemma
Let X, Y, W, Z be in the current set M of vertex sets, such that
1. |dG(X U Y)| ≦ k,
2. X and Y are not mergeable,
3. No edge of G between W and Z.
4. X and W are mergeable and so are Y and Z.
Let M’ be obtained from M by merging these two pairs
Then, X UW and Y UZ are not mergeable in M’.
W
Z
X
Y
Proof of the key lemma
We assume that X UW and Y UZ are mergeable and
show that X and Y would then be mergeable
A
Assume
we have
W
X
Y
Z
Proof of the key lemma
We assume that X UW and Y UZ are mergeable and
show that X and Y would then be mergeable
A
A
A
Assume
we have
or
then, we
have
W
Z
X
W
X
Y
Z
W
X
Y
Y
Z
Proof of the key lemma
We only need to consider the red cuts below.
(Blue cuts are ok by the assumption of the lemma)
A
A
A
W
Z
X
W
X
Y
Z
W
X
Y
Y
Z
Proof of the key lemma (completed)
cut1 + cut2 = cut3 + cut4 ≦ 2k
So, either cut1 ≦ k or cut2 ≦ k
Note there are no edges between W and Z by assumption
1
3
A
W
2
4
Z
X ∪Y
Finished?
Only one expensive test between a pair, as long as the set of
edges between them does not change?
X
Y
Finished?
Only one expensive test between a pair, as long as the set of
edges between them does not change?
W1
X
Z1
Y
Finished?
Only one expensive test between a pair, as long as the set of
edges between them does not change?
W2
Z2
W1
Z1
X
Y
Finished?
Only one expensive test between a pair, as long as the set of
edges between them does not change?
W3
Z3
W2
Z2
W1
Z1
X
Y
Finished?
Problem: once the union of the pair has > k edges out, we
cannot apply the lemma any more.
?
W3
Z3
W2
Z2
W1
Z1
X
Y
>k
Need a better use of the lemma
Forest view of the situation.
?
W3
Z3
W2
Z2
Z1
W1
X
Y
Need a better use of the lemma
Forest view of the situation.
?
W3
Z3
W2
Z2
Z1
W1
X
Y
If we can rearrange the subtrees on the side …
W3
Z3
?
W2
Z2
W1
Z1
X
Y
If we can rearrange the subtrees on the side …
Then we can apply the lemma.
W3
Z3
W2
Z2
W1
Z1
X
Y
When are the rearrangements are possible?
If the sizes of the red cuts do not exceed the optimal
width k.
W3
Z3
W2
Z2
W1
Z1
Barriers
A descending chain in the constructed forest as below
is called a barrier if
|dG(Z1 U Z2 U … U Zj)| > k,
Z1
Z2
Zj
Barrier-free chains
The ‘side-subtrees’ along a descending chain can be
rearranged into one subtree if no prefix of the chain
is a barrier.
Z1
Z1
Z2
Z2
Zj
Zj
Our test of mergeability
If |dG(X U Y)| > k then answer NO.
?
X
Y
Our test of mergeability
Otherwise, identify maximal X’ ⊆ X and Y’ ⊆ Y in
the forest s.t. EG(X, Y) = EG (X’, Y’) and the test for
(X’, Y’) was executed with a negative answer.
?
X’
X
Y’
Y
Our test of mergeability
If both of the chains from the root for X to the root for
X’ and from the root for Y to the root for Y’ are
barrier free, then answer NO.
barrer-free
barrer-free
X’
X
Y’
Y
Our test of mergeability
Otherwise, call the O(n2)-time decision procedure.
?
X’
X
Y’
Y
Analysis
Lemma:
Using our test of mergeability, the O(n2)-time decision
procedure is called O(n) times.
Proof ideas
F = {(X, Y) | the decision procedure is called for (X, Y)}
Equivalence relation
(X, Y) ~(X’, Y’) ⇔ EG(X, Y) = EG (X’, Y’)
The number of equivalence classes in F are O(n).
For each equivalence class C, |C| - 1 barriers are associated.
We can choose O(n/k) representative barriers, so that
1. To each element of F, one representative barrier is associated.
2. O(k) elements of F are associated with each representative barrier.
 |F| = O(n)
Total running time
O(n) decision procedure calls,
O(n2) time each … O(n3)
O(n2) cheap tests, O(n) time each … O(n3)
Maintenance of the contracted graphs:
O(n) updates, O(n) time each … O(n2)
Open questions
o(n3) time algorithm for planar branch-/carvingdecomposition … difficult
o(n2) time algorithm for planar branch-/carvingwidth
… more difficult
Polynomial time algorithm for the treewidth of planar
graphs … super difficult.
Part 2
ネズミ捕りゲーム
環境: 平面グラフ G, 正整数 k
プレイヤ: ねずみ
ねずみ捕り
– ねずみは G の頂点に住み、辺を通って移動する。
– ねずみ捕りはG の面に住み、双対辺を通って移動する。
– お互いに、相手が見える。
– ねずみ捕りは、騒音を発してねずみの移動を妨害する。
Gの辺 e が通行不能  e と ねずみ捕りのいる面または辺を通る、
長さ k 未満の閉じた双対歩道が存在する。
e
ゲームの手順
(1)
が面を選ぶ
(2)
が頂点を選ぶ
以下のラウンドを繰り返す
(a)
が現在の面に接する辺を選び、その上に移動
(b)
が通行可能な辺を(いくつでも)通って行ける頂
点を選び移動
(c)
が、辺から今までいたのと反対の面に移動
k=4
ゲームの手順
(1)
が面を選ぶ
(2)
が頂点を選ぶ
以下のラウンドを繰り返す
(a)
が現在の面に接する辺を選び、その上に移動
(b)
が通行可能な辺を(いくつでも)通って行ける頂
点を選び移動
(c)
が、辺から今までいたのと反対の面に移動
k=4
ゲームの手順
(1)
が面を選ぶ
(2)
が頂点を選ぶ
以下のラウンドを繰り返す
(a)
が現在の面に接する辺を選び、その上に移動
(b)
が通行可能な辺を(いくつでも)通って行ける頂
点を選び移動
(c)
が、辺から今までいたのと反対の面に移動
k=4
ゲームの手順
(1)
が面を選ぶ
(2)
が頂点を選ぶ
以下のラウンドを繰り返す
(a)
が現在の面に接する辺を選び、その上に移動
(b)
が通行可能な辺を(いくつでも)通って行ける頂
点を選び移動
(c)
が、辺から今までいたのと反対の面に移動
k=4
ゲームの手順
(1)
が面を選ぶ
(2)
が頂点を選ぶ
以下のラウンドを繰り返す
(a)
が現在の面に接する辺を選び、その上に移動
(b)
が通行可能な辺を(いくつでも)通って行ける頂
点を選び移動
(c)
が、辺から今までいたのと反対の面に移動
k=4
ゲームの手順
(1)
が面を選ぶ
(2)
が頂点を選ぶ
以下のラウンドを繰り返す
(a)
が現在の面に接する辺を選び、その上に移動
(b)
が通行可能な辺を(いくつでも)通って行ける頂
点を選び移動
(c)
が、辺から今までいたのと反対の面に移動
k=4
勝敗決定
の勝利(
の捕捉):
が
のいる頂点と接する面にいて、
のいる頂点の次数が k 未満である。
k=4
の勝利=永久に捕捉を免れる
平面グラフの刻み幅(Carvingwidth)の特徴付け
定理(Seymour&Thomas 94)
G: 平面グラフ
k: 正整数
Gの刻み幅が k 以上
⇔ (G, k)上のねずみ捕りゲームがねずみ必勝
以下の内容
• ねずみ捕りゲームの勝敗決定アルゴリズム
(→ 平面グラフの刻み幅決定アルゴリズム)
• 特徴づけ定理の証明
(1)やさしい方向
幅 k未満の刻み分割 => ねずみ捕りの必勝戦略
(2)難しい方向
幅 k未満の刻み分割の不在=> ねずみの必勝戦略
グラフマイナーシリーズの定理2つを使用
• (2)の理解から得られる実際的な改良の方向
ねずみ捕りゲームの勝敗決定アルゴリズム
平面グラフ G とパラメータ k :固定
e : G の辺
Ge :ねずみ捕りが e にいるときに
通行可能な(うるさくない)辺から
なるGの全域部分グラフ
ゲームの2部グラフ B(G, k)
左の頂点 ( f, v) : f は Gの面、
vはGの頂点
右の頂点 (e, C) : e は Gの辺、
CはGeの連結成分
e と f が接し、v ∈ C のとき
(f, v)と(e, C) を辺で結ぶ
6
2
3
1
f
4
5 e
( f, 2)
( f, 3)
( f, 1)
( f, 4)
( f, 5)
( f, 6)
( f, 7)
( f, 8)
( f, 10)
( f, 9)
k=4
7
10
8
9
( e, {2,3})
( e, {1,4})
( e, {5})
( e, {6,7})
( e, {8,10})
( e, {9})
B(G, k) 上でのゲーム実行
初期配置: が 面 f0 を選び
左頂点 (f0, v0) が決定
が頂点 v0 を選ぶ
ラウンド: 現在の左頂点 (f, v)
が、(f, v) と隣接する 右頂点 (e, C) を選ぶ
(e を選べば C は自動的に決定)
が、 (e, C) と隣接する左頂点(f’, v’) を選ぶ
(f’は eに関して f と反対側の面)
B(G, k) の頂点の塗り分け
黒い頂点:
必勝
白い頂点:
必勝
仮定: G のどの頂点も次数 < k
規則1:面f と 頂点 v が接していれば (f, v)を黒く塗る
規則2:辺 e と接する面を f1 , f2とし、CをGeのある連結成分と
するとき、(e, C) と隣接する (f1, v) の形の左頂点がすべて
黒、または(e, C)と隣接する (f2, v) の形の左頂点がすべて
黒ならば (e, C)を黒く塗る
規則3:左頂点(f, v) と隣接する右頂点で黒いものがあれば(f,
v)を黒く塗る
すべての頂点が白い状態から出発して、規則1、2、3が適用
できる限り適用を繰り返す。
必勝戦略
左の黒い頂点から:
の必勝戦略
規則2,3の伝播の向きを逆にたどり、常に黒
い頂点にいるようにする。必ず規則1の頂点にた
どりつく。
右の白い頂点から:
の必勝戦略
左の隣接頂点で白いものを選ぶ。
白い頂点がひとつでもあれば
必勝
すべての頂点が黒ならば
必勝
塗り分けアルゴリズムの効率
B(G, k) の頂点数: O(n2)
辺の数: O(n2)
黒色の伝播に各辺は高々一度使われる。
O(n2) 時間
注: 実際のアルゴリズムでは、面 f についてもねず
み捕りが fにいるときに通行可能な辺からなるグラ
フ Gf を考えて、2部グラフの頂点は、(f, C)、 C は
Gfの連結成分、とする。
特徴づけの証明(やさしい方向)
幅 k 未満の刻み分割 →
の必勝戦略
仮定: G は幅 k 未満の刻み分割を持つ
=> G は幅 k 未満の bond carving を持つ
Y
Y
X
X
特徴づけの証明(やさしい方向)
幅 k 未満の bond carving
Y
Y
X
X
特徴づけの証明(やさしい方向)
幅 k 未満の bond carving
Y
Y
X
X
特徴づけの証明(やさしい方向)
幅 k 未満の bond carving
Y
Y
X1
X1
X2
X2
特徴づけの証明(やさしい方向)
幅 k 未満の bond carving
Y
Y
X1
X1
X2
X2
特徴づけの証明(難しい方向)
幅 k 未満の刻み分割の不在 => ねずみの必勝戦略
組み合わせ的な補題(Graph Minors. X )
位相的な補題(Graph Minors. XI)
Tilt:一般のグラフに対する刻み分割の障害物
G における 位数 k の tilt :
B ⊆ 2V(G) で次の条件を満たすもの
(1) | dG (X)| < k のとき、またそのときに限り、
X と V(G) \X のどちらか一方がB に属す。
(2)もし X, Y, Z ∈ B ならば X ∪ Y ∪ Z ≠ V(G)
(3)各 v ∈ V(G) に対して {v}∈ B
定理(Robertson & Seymour 91)
G の刻み幅が k 以上  G における 位数 k の tilt が存在
する
証明 (<=) 容易(次ページ)
(=>) 難しい
易しい方向の証明
G における位数 k のtilt が存在 => Gの刻み幅 ≧ k
位数 k のtilt B と 幅 k未満の刻み分割 Tが両方
存在すると仮定して矛盾を導く
B に基づいて、 Tの各辺に方向をつける。
Y
Y
Y
X∈B
X
X
Y∈B
X
Y
易しい方向の証明(つづき)
Tの葉と接続する辺はかならず中に向かう
必ず入次数3のノードがある
Y
T
X
Z
X ∪Y ∪ Z = V(X) で tiltの条件(2)と矛盾
難しい方向
Gにおける位数 k のtilt が存在しない
=> Gの幅 k 未満の刻み分割が存在
– 帰納法による構成的証明。
– 帰納法のために、刻み分割の概念の一般化が必要。
– そのまま実行すると指数時間かかる。
現在位置
刻み幅のねずみ捕りゲームによる特徴づけ
難しい方向
幅 k 未満の刻み分割の不在=> ねずみの必勝戦略
組み合わせ的補題
幅 k 未満の刻み分割の不在
=> 位数 k の tilt の存在
位相的補題
平面グラフにおいては、tilt とねずみの必勝戦略は
同じもの
Tilt = ねずみの必勝戦略
G: 平面グラフ
B : Gにおける位数 k のtilt
C : Gの長さ k 未満の双対閉路
(X, Y): カット Cによる V(G) の2分割
X と Y のちょうど一方がB に属す。
B に属さない方を、safeB (C )であらわす(安全サイド)。
C
X
Y
Tilt = ねずみの必勝戦略(続き)
平面グラフ G, 正整数 k: 固定
f: Gの面
Cf : ねずみ捕りが f にいるときに通行不能な辺からなる、長
さGの双対閉路すべてからなる集合
補題 Gにおける位数 k のtilt B が存在するならば
Gのすべての面 f に対して  safe B (C )  
CC f
解釈:ねずみ捕りがどの面にいても、ねずみはtilt B の処方
する安全地帯にいることができる。
証明: ある面 f に対して補題の intersection が空ならば、
あるC1,C2,C3 に対してsafeB (C1 )∩ safeB (C2 ) ∩ safeB (C3 )
が空であることが示せる。 Tilt の条件(2)に矛盾。
特徴付け定理の理解=>アルゴリズムの改良
• 理論的な改良(o(n2) 幅決定、o(n3) 分割構成)は
かなり難しそう。 組み合わせ的補題の難しい方
向に、平面グラフの場合の全く新しい別証があれ
ば突破口になるかもしれないが。
• 理解と、実験的知見にもとづいたヒューリスティッ
クはいろいろ考えられる。主な目的:使用メモリ量
の削減。
例:ねずみの極小戦略
• ねずみの極大必勝戦略: ゲームの2部グラフの
塗り分けから得られる白い頂点の集合
• 極小戦略: 各面に f に対して、 Gfの唯一の連結
成分Cがあって、v ∈ Cに対する頂点 (f, v) のみを
使用する。
• 実験的知見: ねずみ必勝のインスタンスでは(特
にk が小さすぎて、楽に逃げ切れる場合) Gf は
巨大コンポーネントを持つ傾向。
• => ヒューリスティック: 各Gf の巨大コン
ポーネントが極小必勝戦略を構成するかどうかを
チェックする。
今後の方向
• 特徴づけ定理の理解をさらに深める。
• 理解を、アルゴリズムの実際的な改良に利用して
いく。
• できれば理論的な改良もかんがえたい。
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疎な平面グラフ上の巡回セールスマン問題