GRAPESで学ぶ
フーリエ級数
立命館高等学校 早苗雅史
1
はじめに
フーリエ級数
n
n
k 1
k 1
f ( x)  a0   ak cos k x   bk sin k x
1
a0 
T

T
0
f ( x)dx
1 T
an   f ( x) cos n xdx
T 0
1
bn 
T

T
0
f ( x) sin n xdx
2
1.1 sin波とcos波
デモ
3
1.1 sin波とcos波
振幅
sin波
cos波
問題1
4
1.2 周期・周波数・角速度
デモ
5
1.2 周期・周波数・角速度
y
1秒
O
周期 = 0.5 秒
T  0.5 (秒)
f  2 ( Hz )
y
1秒
O
周期 = 0.25 秒
T  0.25 (秒)
f  4 ( Hz )
6
1.2 周期・周波数・角速度
角速度の定義
角度(  )
角速度( ) =
時間( t)
7
1.2 周期・周波数・角速度
【問題2】
周期 T 周波数 f 角速度ω
(Hz)
(sec)
(°/sec)
グラフ
y
(1)
1秒
O
1/3
3
6π
1/5
5
10π
2
0.5
π
y
(2)
1秒
O
y
(3)
1秒
O
8
1.2 周期・周波数・角速度
周期Tと周波数の関係
1
T
f
  2 f
ま たは
1
f 
T
ま たは
2

T
sin波,cos波の一般形
f (t )  a sin t  a sin 2 ft
f (t )  a cos t  a cos 2 ft
9
1.2 周期・周波数・角速度
【問題3】
f ( x)  3sin 8 x
f ( x)  2sin 5 x
10
1.3 波の合成
y
A
B
x
f ( x)  3sin 4 x
x
f ( x)  2sin8 x
x
f ( x)  sin12 x
x
f ( x)  3sin16 x
1秒
O
1秒
O
y
C
1秒
O
y
D
1秒
O
デモ
11
1.3 波の合成
y
E
1秒
O
x
f ( x)  3sin 4 x  2sin8 x  sin12 x  3sin16 x
12
1.3 波の合成
sin波の合成(1)
f ( x)
 a1 sin 1 x  a2 sin 2 x  a3 sin 3 x 
 an sin n x
n
  ak sin k x
k 1
問題4
13
周波数 f
(Hz)
グラフ
1.4 合成された波の規則性
y
A
1秒
O
y
B
x
2
x
4
x
6
x
8
x
2
y =3 sin 8πx
1秒
O
y
C
y =2 sin 4πx
y = sin 12πx
1秒
O
周波数に着目
y
何か関係はないか?
D
y =3 sin 16πx
1秒
O
y
E
1秒
O
14
1.4 合成された波の規則性
【問題5】
(1) f (t )  2sin 2 x  3sin 4 x  sin 6 x  3sin8 x
(2) f (t )  sin 3 x  2sin 6 x  3sin 4 x  sin12 x
(3) f (t )
 2sin 5.4 x  3sin 2.4 x  sin 3 x  3sin 4.2 x
A
B
C
D
E
(1)
1
2
3
4
1
問題5-1
(2)
1.5
3
2
6
0.5
問題5-2
1.2
1.5
2.1
0.3
問題5-3
(3)
2.7
15
1.4 合成された波の規則性
合成される波の角速度は
合成された波の角速度の整数倍
sin波の合成(2)
f (t )
 a1 sin 1 x  a2 sin 2 x  a3 sin 3 x 
 an sin n x
 a1 sin  x  a2 sin 2 x  a3 sin 3 x 
 an sin n x
n
  ak sin k x
k 1
16
1.5 フーリエ級数式
y
1秒
f ( x)  1
1秒
f ( x)  3cos 2 x
1秒
f ( x)  2cos 4 x
1秒
f ( x)  2sin 6 x
O
y
O
y
O
y
O
デモ
17
1.5 フーリエ級数式
y
1秒
O
t
f ( x)  1  3cos 2 x  2sin 4 x  2sin 6 x
18
1.5 フーリエ級数式
【問題6】
(1) f (t )  3  3cos 4 x  2cos8 x  2sin12 x
問題6-1
(2) f (t )  2  cos 6 x  3sin12 x  3sin8 x
問題6-2
19
1.5 フーリエ級数式
フーリエ級数式
f (t )
 a0
 a1 cos  x  a2 cos 2 x  a3 cos 3 x 
b1 sin  x  b2 sin 2 x  b3 sin 3 x 
n
n
k 1
k 1
 an cos n x
 bn sin n x
 a0   ak cos k x   bk sin k x
20
2.1 a0を求める
デモ
21
2.1 a0を求める
デモ
22
2.1 a0を求める
S  a0T
S 0
S 0
23
2.1 a0を求める
S  a0T
S 0
S 0
S 0
T
S   f ( x)dx
0
24
2.1 a0を求める
定数波の値
T
a0T   f ( x)dx
0
1
a0 
T

T
0
f ( x)dx
25
2.2 波のかけ算
y
2
A
T
O
y
2
B
y =2
x
+
y =2 cos 4 x
T
O
x
y
y
C
T
O
x
y = cos 6 x
T
O
2
x
+
f ( x)  cos 4 x
y =2 sin 8 x
T
O
x
=
D
+
1
y
×
y = cos 4 x
1
yy
E
T
O
x
デモ
26
2.2.1 cos波×cos波,sin波×sin波
【問題7】
y  cos 6 x
(1) y  3cos 2 x
面積=0
(3) y  2cos 6 x
面積 +
(5) y  2cos 2.5 x
面積=0
(2) y  2cos 4 x
面積=0
(4) y  cos8 x
面積=0
(6) y  2cos3.5 x
面積=0
問題7
27
2.2.1 cos波×cos波,sin波×sin波
cos波×cos波,sin波×sin波の面積
周波数が同じとき
+
周波数が違うとき
0
28
2.2.2 sin波×cos波
【問題8】
y  cos 6 x
(1) y  3sin 2 x
(2) y  2sin 4 x
(3) y  2sin 6 x
(4) y  sin 8 x
(5) y  2sin 2.5 x
(6) y  2sin 3.5 x
問題8
29
2.2.2 sin波×cos波
cos波×sin波の面積
cos波×sin波の面積 = 0
面積を残すには
同じ周波数のcos波(またはsin波)をかけ合わせる
とよい
30
2.3 anを求める
y
2
A
2
T
O
+
y =2 cos 4
x
y
x
2
T
T
=
+
y = cos 6
x
y
x
×
+
y =2 sin 8
y
x
面積=0
1
T
O
y
O
x
1
2
1
O
x
面積=0
2
T
O
x
T
y
x
T
O
y = cos 4 x
T
x
O
x
=
D
2
x
O
y
C
面積=0
T
O
y
B
y
y =2
yy
y
E
T
O
T
x
O
x
31
2.3 anを求める
=
y
T
O
T
T
a1    f ( x) cos 2 xdx
0
2
x
2 T
a1   f ( x) cos 2 xdx
T 0
32
2.4 フーリエ展開
f ( x)
 a0
 a1 cos  x  a2 cos 2 x 
b1 sin  x  b2 sin 2 x 
 an cos n x
 bn sin n x
f ( x)  cos n x
 a0  cos n x
 a1 cos  x  cos n x  a2 cos 2 x  cos n x 
b1 sin  x  cos n x  b2 sin 2 x  cos n x 
 an cos n x  cos n x
 bn sin n x  cos n x
33
2.4 フーリエ展開

T
0
f ( x)  cos n x dx
T
  a0  cos n x dx
0
面積=0
T
T
0
0
  a1 cos  x  cos n x dx   a2 cos 2 x  cos n x dx 
面積=0
T
T
0
0
面積=0
  b1 sin  x  cos n x dx   b2 sin 2 x  cos n x dx 
面積=0
面積=0
T
  an cos n x  cos n x dx
0
T
  bn sin n x  cos n x dx
0
面積=0
34
2.4 フーリエ展開

T
0
T
f ( x)  cos n x dx   an cos n x  cos n x dx
0
T
 an 
2
2 T
an   f ( x)  cos n x dx
T 0
35
2.4 フーリエ展開
フーリエ展開
1
a0 
T

T
0
f ( x)dx
2 T
an   f ( x) cos n xdx
T 0
2 T
bn   f ( x) sin n xdx
T 0
36
2.5 波の分解
y
T
O
x
この波を分解してみよう
「教材フォルダ/H1/数学」
「Fourie_ Question_1.gps」
問題
37
2.5.1 a0 を決定する
1 T
S
a0   f ( x)dx 
T 0
T
y
T
O
x
問題9
38
2.5.2 an を決定する
2 T
2S
an   f ( x) cos n x dx 
T 0
T
y
T
O
x
問題10
39
2.5.3 bn を決定する
2 T
2S
bn   f ( x) sin n x dx 
T 0
T
y
T
問題11
40
2.6 スペクトル
振幅
10
cos
sin
5
0
周波数
0
1
2
3
41
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