2次元ハバード模型の変分MC計算による
高温超伝導の研究
山地 邦彦、 柳澤 孝
産総研・エレクトロニクス研究部門・凝縮物性グループ
1. イントロダクション
2. LSCO型バンドの場合の計算結果
3. Bi2212型バンドの場合 の計算結果
4. まとめと今後の課題
高温超伝導体のモデル
CuO2面
2次元ハバード模型に簡単化
酸素
p軌道
t
Ud
銅 d 軌道
t"
t"
t'
t'
t
↑↓
U
背景と経緯
1) P. W. Andersonが最初に2次元ハバード模型で銅酸化物の高温超伝導が説明
できる筈(ミニマル・モデル)と予想した。 U ~ 8t ?
2) U << 8t の弱結合の極限では、 2次元ハバード模型では d 波超伝導が支配
的である(近藤淳)。弱結合のFLEX理論などが超伝導出現を示唆。
3) U >> 8t の強結合の極限では、模型は t-J 模型に変換、超伝導出現が導出さ
れる。直接的にも導出された。
4) しかし比熱 と臨界磁場から決まる超伝導凝縮エネルギー の実験値、例えば、
YBCO の 0.26 meV/Cu 、に比べて2桁程大き過ぎる。
5) U ~ 8t の場合、変分モンテカルロ(VMC)計算によると、d 波超伝導が局
所ミニマム・エネルギー状態にはなる。しかし競合する SDW に勝つバ
ンドパラメーター領域が狭い。
5) 中性子線散乱でスピン波を測った実験から、U ~ 6t というモデレートな値
の U が示唆された。
背景と経緯 2
6) U ~ 6t の場合、超伝導凝縮エネルギーの計算値は実験値のオーダーにな
り、超伝導が SDW に勝つパラメーター領域が十分にありそうである。
7) U ~ 6t でも解析的な理論は困難。変分モンテカルロ(VMC)計算では可
能で、大きなサイズの格子が取り扱え、バルク極限が検討できる。
8) 超伝導か SDW かはバンドパラメーターに強く依存。 VMC計算で取り
扱える。
9) 最適ホールドープ量16%、電子密度 r 
、の場合に計算。超伝導
凝縮エネルギー Econd(SC) が r の関数としてほぼ最大であり、磁気相の
共存などがない簡単な状況である。
10) La214系とBi2212系という大きく異なる2種の典型的なバンドでVMC
計算により超伝導出現を示唆する結果が得られた。
11) 現在はBi2212系バンドの場合の格子サイズ依存性からバルク極限の決
定を研究中。
2D Hubbard Model
H  t
t"

c†j c l  H.c. t'
c†j c l  H.c.


 jl,
 jl,

c †j cl  H.c. U  c †j  c j  c†j c j

 jl,
j

Variational Monte Carlo Method


 s  P N e   1  (1  g) n j n j  uk  v k c †k  c †k  0 ,
j
k

2
u k vk  k  k   k  2k 
,
 k  (cosk x  cosk y),
 k  2tcosk x  cos ky 4t' cosk x cosk y  2t"cos 2k x  cos2 k y 
Total energy:
Eg  H  s H s
Condensation energy:
s  s
Econd  Eg (normal)  E g (SC) Nsite
凝縮エネルギー Econdの決め方
-0.731
d(opt)
-0.732
s*(opt)
-0.733
s(opt)
Eg /Ns
normal
-0.734
-0.735
....................................................
-0.736

E cond
-0.737

-0.738
0
0.05
0.1

0.15
フェルミ面の2典型
LSCO
t’/t = 0.12
t”/t = 0.08
Bi2212 (および NCCO)
t’/t = 0.34
t”/t = 0.23
T. Tohyama and S. Maekawa, Supercond. Sci. Technol. 13, R17 (2000)
(Broken curve for half-filling; solid curve for 30 % hole doping)
T. Tanamoto et al., J. Phys. Soc. Jpn. 61, 1886 (1992)
LSCO型バンドの場合の計算結果
t’~.10
t” =0
T. Tohyama and S. Maekawa,
Supercond. Sci. Technol. 13, R17
(2000)
(Broken curve for half-filling; solid
curve for 30 % hole doping)
SC & SDW Econd vs t’
t”=0, r.84, U=6,
10, p. & antip. b.c. 
0.10 ≦ t’ ≦ 0.05
SC
0.016
の狭い領域で一様
な超伝導
SDW
E
cond
0.012
.45 < t’< .1 の時 (p,
0) と (0, p) ( van Hove特
異点の間の「ネスティング」
によるSDWが支配的
0.008
0.004
YBCO 
0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
t'
0
0.1
0.2
t’>0 の時、 (p /2, p /2) 及び
(-p /2, -p /2) 周辺のフェルミ
面のネスティングなどによ
る SDW が支配的
U=5、r=.84の場合の
超伝導・SDW凝縮エネルギー (2)
SC E
cond
v s 1/N
s
( r.84, U=5, t'
.05)
0.001
E
cond
0.0008
← YB C O
0.0006
L=10
16
12
14
0.0004
20
18
E
c on d
0.0002
L=22
0
0
0.002
0.004
0.006
1/N
s
0.008
0.01
k as a function of t'
1電子準位の分布
0
-0.2
←
E
F
1電子準位の分布が特異的
-0.4
クラスターのサイズ、形、境界条
件の影響
-0.6
まだサイズ効果が残る
サイズ効果克服は今後の課題
-0.8
-0.2
-0.15
-0.1
t'
-0.05
0
Bi2212型バンドの場合の計算結果
• Bi2212, YBCO, NCCO
• t’/t ~ 0.34
• t”/t ~ 0.23
T. Tohyama and S. Maekawa, Supercond. Sci.
Technol. 13, R17 (2000)
(Broken curve for half-filling; solid curve for
30 % hole doping)
Jastrow型の再近接サイト間の相関因子

s
 PN e  h
ni n j
ij 
P
G
i, jサイトは再近接サイト
h は変分パラメター
全系のエネルギーは大きく改善 (~0.02/site)。
SC Econd は増大し、SDW Econd は減少する。
U ~ 6 の時、数割の改善。
U ~ 12の時は定性的変化。
BCS
Econd(SC)とEcond(SDW)の格子サイズ依存性
• Bi2212型のバンドの場合、Econd(SC) と Econd(SDW)
が 格子サイズ LLに敏感
 0.22  t’  0ではPavariniらに倣って t’= 2t”を仮定
 0.45 < t’   .22では t’+0.34= 1.5(t” 0.23)
• L=10 ~ 20の格子のEcond(SC) と Econd(SDW) を計算
Econd(SDW) の強い格子サイズ依存性
0.02
L=10
L=12
L=14
L=14
L=16
L=10
0.015
Econd (SDW)
L=16
L=18
L=20
L=12
18
0.01
L=20
0.005
0
-0.4
-0.32
-0.24
-0.16
t'
-0.08
0
Econd(SC) & Econd(SDW) versus t’ at r〜0.84
0.012
Econd(SDW) は L
E
0.01
E
E
cond
cond
cond
(SC,L=18,t"=-t'/2)
= 16 以上でほぼ
(SC,L=18,t" -2t'/3)
収束。 L=20 の
(SDW,L=20,t"=-t'/2))
結果はバルク極
限と見なせる。
0.006
.18 < t’ < 6
E
cond
0.008
0.004
で Econd(SDW)
が有限で、
0.002
Econd(SC) より
YBCO →
0
-0.4
圧倒的に大き
-0.3
-0.2
-0.1
t'
0
い。。
Bi2212-type band 2 (vertical scale expanded)
0.003
E
E
0.0025
E
cond
cond
cond
Bi2212型のバン
(SC,L=18,t"=-t'/2)
(SC,L=18,t" -2t'/3)
ドでは t’=  0.34,
(SDW,L=20,t"=-t'/2)
t”=0.23
SC Econd は t’ ~ 
0.0015
.30 の時YBCO の
E
cond
0.002
0.001
実験値に近い。
YBC O →
0.0005
0
-0.4
↑ -0.3
Bi2212
-0.2
-0.1
t'
↑
LS CO
0
Econd(SC, t’=.34, t”=.23 r, U=6) vs 1/L2
0.004
L=10
E
0.0035
E
0.003
E
cond
cond
(long-range Jastrow)
Jastrow型の試行関
(Jastrow)
数の与える Econd は
(Gutzwiller)
L~20では L 増大と
t'=-.34 t"=.23 U=6
共に 増大する傾向
0.002
を見せるので、有
0.0015
限なバルク極限を
E
cond
0.0025
cond
与えると予想され
L=12
0.001
20
0.0005
18
16
る。
14
0
0
0.002
0.004
0.006
1/L**2
0.008
0.01
Econd(SC, t’=.31, t”=.21, r, U=6)
0.01
両方向とも周期境界条件
の場合のSC Econd はL~20
において強いL 依存性を
示している。
U=6 t'=-.31 t"=21
p.b.c.
a.p.b.c.
0.008
average
L=10
両方向とも周期境界条件
(赤●)と両方向とも反
周期境界条件(青■)の
SC Econdの平均値(緑
◆)のL 依存性ははるか
に緩やかで、 ~0.0007 の
バルク極限の存在を示唆
する。その値はYBCOの
実験値に近い。
E
cond
0.006
0.004
12
0.002
20
14
18
16
YBC O →
0
0
0.002
0.004
0.006
1/L**2
0.008
0.01
0.012
強いL依存性の原因: (0, p) 近傍の Ek のグループ化
Ek in k-space (periodic & periodic b.c.’s )
.
EcondのL依存性(pbc & pbcの場合)
E
= E + E / L^a * c o s (2 p(L - L )/ 1 0 ))
cond
0
1
0
(p b c & p b c )
0.003
0.0025
E
cond
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
5
10
15
20
L
25
30
EcondのL依存性(apbc & apbcの場
合)
E
= E + E / L^a * c o s (2 p(L - L )/ 1 2 ))
cond
0
1
0
(a p b c & a p b c )
0.0014
0.0012
E
cond
0.001
0.0008
0.0006
[この点だけ
仮定の値」
0.0004
0.0002
0
5
10
15
20
L
25
30
アンダードープ領域ではどんな現象が起こっているのか?
広い範囲で、磁性現象(帯磁率の増大) ==> 超伝導
0.016
SC E
cond
SDW E
0.014
cond
SDW E
c on d
( underdope)?
← →
stripes
0.012
0.008
← pseudogap →
E
cond
0.01
0.006
0.004
0.002
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
t'
0
まとめと今後の課題
•
変分モンテカルロ法でモデレートな U=6t の2次元ハバードの超伝導凝縮
エネルギーEcondを計算して、LSCO型とBi2212型のバンドの場合に実験値
に近い値を得た。
•
格子の辺Lが20位の大きな格子でもEcondは強いL依存性を示した。 L依存
性が裸のバンド・エネルギーのサイズ依存性(グループ化)に起因し、L
依存性を除いてバルク極限が推測できそうである。
•
このために計算時間とメモリーの制約を克服して L〜28位まで計算したい。
•
Bi2212型バンドの場合、2 GFLOPSのCPU〜24個(Blue Gene 12 nodes, or
SR11000 2 nodes)を1〜2日位走らせる必要がある。
(SC, normal)×(pbc, apbc)×(L=24, 26, 28) ==> 20 days
•
同様にして、LSCO型バンドと電子ドープ系の場合のEcondのバルク極限を
研究したい。
•
将来的には、アンダードープ領域のストライプ状態と擬ギャプ状態を取
り扱い、光電子分光の実験の解明に寄与できる。
U ~ 6t in undoped La2CuO4?
(1) Neutron diffraction experiment revealed that the spin wave energy at (p, 0) of La2CuO4 is
larger that that at (p /2, p /2). The order of the spin wave energies were well reproduced by
the 2D Hubbard model with U ~ 6 (energy unit in t ) but not by the t-J, or Heisenberg, model.
R. Coldea et al., Phys. Rev. Lett. 86, 5377 (2001)
P. Sengupta et al., Phys. Rev. B 66, 144420 (2002)
N. M. Peres et al., Phys. Rev. B 65, 132404 (2002)
(2) U ~ 4.5 gives a good fitting to ARPES data of SrCuO2.
N. Tomita et al., private commun; M. Yamazaki et al., J. Phys.
Soc. Jpn. 72, 611 (2003)
(3) Metallicity in non-doped T’-La2-xRExCuO4 suggests moderate U.
Nearest-neighbor correlation factor
(Jastrow-type trial wave function)
n in j
 PN


s
e
h
P
 ij
Sites i, j are nearest neighbor
h is a variational parameter
G
BCS
Total energies are much improved (~0.02/site);
SDW Econd decreases and SC Econd is improved slightly when U ~ 6
and largely when U ~ 12.
Yamaji, Yanagisawa & Koike: J. Phys. Chem. Sol. 62 (’01) 237
H. Yokoyama et al.: similar trial wave function Q JPSJ 73 (’04)1119 More detailed
correlation factors up to third neighbor were examined but did not much improve
the SC Econd.
Jastrow-type gives a slightly better SC Econd among all so we use it here.
Lattice Size Dependence (t’=-2t’=-0.05)
0.0007
U=6, t'=-2t"=-0.05
L=10
0.0006
12
0.0005
0.0004
14
Esc
0.0003
18
16
E
cond
(sc)
L=20
0.0002
0.0001
0
0
0.002
0.004
0.006
1/L**2
0.008
0.01
0.012
比較:Gutzwiller vs Jastrow (No. 2)
E
cond
(SC) for Gutzwiller- & Jastrow-Type Functions (t'=-.05)
0.0014
SC(Gutzwiller)
0.0012
SC(Jastrow)
0.0008
0.0006
E
cond
(SC)
0.001
0.0004
0.0002
0
0
0.002
0.004
0.006
1/L**2
0.008
0.01
0.012
Breakdown of spin
density wave (SDW)
When SDW is formed with (p, p)
and gap parameter M0
upper band
4t”
lower band
4(t’-t”)
criterion for vanishing of SDW
When t’ is taken into acount, t’-2t” gives the degree
of breakdown of Fermi surface nesting
 k  2t(cos k x  cos k y )  4t' cos k x cos k y  2t"(cos2 k x  cos2 k y)
 k  4t' 4t" when k =(p, 0).
 k  4t" when k =(p/2, p/2).
When 4 | t' 2t"| 2M 0
(M0 is SDW gap amplitude at T=0 K),
SDW is destabili zed so that SDW tends to vanish.
Role of t’ is played by t’ 2t” when tÓ comes in.
(SC, av, t’=-.31, t”=.21 r, U=6)
0.12
Dpbc
Dapbc
0.1
U=6 t'=-.31 t"=.21
Dav
0.08
12
L=10
0.06

14
16
0.04
20 18
0.02
0
0
0.002
0.004
0.006
1/L**2
0.008
0.01
ダウンロード

ppt - KEK