行列式の性質(2)
定理3.3.1
det(tA)=det(A)
det(tA)=Σ sgn(σ)aσ(1)1aσ(2)2・・・aσ(n)n
σ
-1)a1σ-1(1)a2σ-1(2)・・・anσ-1(n)
=Σ
sgn(σ
-1
σ
(aσ(i)i
ならば
aiσ-1(i))
定理3.3.2
a11
a21
・
・
・
an1
0 ・・・ 0
a22 ・・・ a2n
・
・
・
・
・
・
an2 ・・・ ann
=a11
a11
a21
・
・
・
an1
0 ・・・ 0
a22 ・・・ a2n
・
・
・
・
・
・
an2 ・・・ ann
a11 a21 ・・・ an1
0 a22 ・・・ an2
= ・ ・
・
・
・
・
・
・
0 a2n ・・・ a・
nn
=a11
a22 ・・・ a2n
・
・
・
・
・
an2 ・・・ a・
nn
a22 ・・・ an2
・
・
・
・
・
a2n ・・・ a・
nn
定理3.3.3
(1)1つの列をc倍すると行列式はc倍になる。
(2)1つの列が2つの列ベクトルの和である行列の行
列式は、他の列は同じでその列に各々の列ベク
トルをとった行列の行列式の和となる。
(3)2つ列行を入れ替えると行列式は-1倍になる。
(4) 2つの列が等しい行列の行列式は0である。
(5)1つの列に他の列の何倍かを加えても、行列式
は変わらない。
3
2
1
1
0
3
2
1
1
4
1
2
-7
0 -3
-4
0 1
=
3
0 1
-5
1 1
-5
0
-1
2
8
6
8
-5
1
0
=ー
0
0
1
1
1
-3
2
0
-1
-5
-5
1 0 6
6
= ー 1 -1 8
8
-3 -5 8
8
1 0 3
1 0 0
1 1
=2 1 1 4 =2 1 1 1 =2
= 16
5 13
-3 5 4
-3 5 13
定理3.3.4
A:r次正方行列
det
A B
0 D
B:s次正方行列
= det
定理3.3.5
A 0
C D
= det(A)det(D)
A,B:n次正方行列
det(AB)=det(A)det(B)
A 0
det
-E B
A AB
= det
-E 0
-E 0
= (-1)ndet
A AB
2
5
0
0
7
3
0
0
13
8
9
-2
5
2
2 7 9 4
=
4
5 3 -2 1
1
= -29・17 = -493
ac - bd ad + bc
a b
=
-(ad + bc) ac - bd
-b a
c d
-d c
(ac – bd)2 + (ad + bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
余因子行列とクラーメルの公式
a11 ・・・ a1j
・・・
a1n
・
・
・
・
・
・
・
・
Aij= ・
ai1 ・・・ a・ij ・・・ ain
・
・
・
・
・
・
・
・
an1 ・・・ anj ・・・ ann
A=
3 1 -2
4 -3 0
2 6 5
4 0
A12=
2 5
3 -2
A22=
2 5
a1j
余因子展開
0 a1j
a2j
a2j
0
+ ・・・ +
0
0
・・・
anj
・・・
+
・・・
・・・
=
0
anj
0
a11・・ 0 ・・a1n
a11・・ 0 ・・a1n
a11・・a1j・・a1n
|A|= a21・・ 0 ・・a2n + a21・・a2j・・a2n +・・・+ a21・・ 0 ・・a2n
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
an1・・ 0 ・・ann
an1・・ 0 ・・ann
an1・・anj ・・ann
a11・・ 0 ・・a1n
・
・
・
・
・
ai1・・ aij・・ a・
in
・
・ ・
・ ・
・
an1・・ 0 ・・ann
aij
= (-1)
i+j-2
0
・
・
・
0
= (-1)i+j aij |Aij|
ai1 ・・・ ain
a11 ・・・ a1n
・
・
・
・
・
・
an1 ・・・ ann
|A|= (-1)i+j a1j |Aij| +・・・+ (-1)i+j anj |Aij|
n
= Σ(-1)i+j aij |Aij|
i=1
第 j 列に関する余因子展開
2 7 4
3 2 0 = -7 3 0 + 2 2 4 - 5 2 4
1 3
3 0
1 3
1 5 3
4 5 2
0 0 2 = -0 5 2 + 0 4 2 - 2 4 5 = -2 4 5 =6
7 3
7 8
8 3
7 8
7 8 3
余因子行列
A=[aij] : n次正方行列
a*ij=(-1)i+j |Aji|
~
A=[a*ij] : Aの余因子行列
定理3.4.1
~ ~
AA=AA=dE
(d=det(A))
定理3.4.2
det(A) ≠ 0 ならば A は正則で
~
-1
A =(1/d)A である。 (d=det(A))
~
(1/d)AA=E
~
AA=[cij]
n
cij= Σaik a*kj
k=1
n
i=jの場合
= Σ (-1)k+jaik |Ajk|
k=1
n
cii = Σ (-1)k+iaik |Aik|
k=1
行列Aの第 i行に関
する余因子展開
= |A|
i≠jの場合
n
cij = Σ (-1)k+iaik |Ajk|
k=1
B:Aの第j行を第i行
で置き換えた行列
n
= Σk=1(-1)k+ibjk |Bjk|
=0
行列Bの第 j行に関
する余因子展開
定理3.4.3(クラーメルの公式)
Ax=b
x1
x= ・・
・
xn
A:n次の正則行列
i
xi= det[a1・・・b・・・an]
det(A)
i
|a1・・・b・・・an| = |a1・・・ Σxkak・・・an|
=Σxk |a1・・・ ak・・・an|
=xi |a1・・・ ai・・・an|
=xi |A|
特別な形の行列式
ヴァンデルモンドの行列式
1
x1
x21
・
・
・
・・・
・・・
1
x2
x・22
・・・
・
・
xn-11 xn-12
・・・
3
Π xi = xi x2 x3
1
xn
x2 n
・
・
・
=
Π
1 ≦i<j≦ n
(xj ー xi)
xn-1 n
= (-1)n(n-1)/2 Π
(xi ー xj)
1 ≦i<j≦ n
i=1
Π (xj ー xi) = (x3 ー x2) (x3 ー x1) (x2 ー x1)
1 ≦i<j≦ 3
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資料3