計測工学12
分散分析1(一元配置法)
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
9.61
11.04
9.59
8.72
8.39
9.76
10.85
12.22
8.90
10.34
10.85
9.70
10.25
8.40
11.41
9.74
9.64
10.92
9.59
8.43
9.02
11.43
9.89
9.71
10.76
11.76
10.62
9.55
9.24
8.94
9.09
12.63
8.13
9.53
9.37
9.80
8.68
9.48
9.97
10.49
9.22
9.83
10.74
9.60
9.46
8.83
9.16
11.71
10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
9.61
11.04
9.59
8.72
8.39
9.76
10.85
12.22
8.90
10.34
10.85
9.70
10.25
8.40
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9.74
9.64
10.92
9.59
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9.89
9.71
10.76
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10.62
9.55
9.24
8.94
9.09
12.63
8.13
9.53
9.37
9.80
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10.49
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9.83
10.74
9.60
9.46
8.83
9.16
11.71
10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
9.61
11.04
9.59
8.72
8.39
9.76
10.85
12.22
8.90
10.34
10.85
9.70
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8.40
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9.74
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10.74
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9.46
8.83
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10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
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11.04
9.59
8.72
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9.89
9.71
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8.68
9.48
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10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
9.61
11.04
9.59
8.72
8.39
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10.85
12.22
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9.24
8.94
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8.13
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9.83
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9.60
9.46
8.83
9.16
11.71
10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
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11.04
9.59
8.72
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10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
9.61
11.04
9.59
8.72
8.39
9.76
10.85
12.22
8.90
10.34
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9.70
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9.74
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9.59
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9.16
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10.28
9.51
10.96
次のデータの母集団は同じ?
平均10 標準偏差1
平均10 標準偏差1
10.84
10.27
9.23
9.78
9.82
9.61
11.04
9.59
8.72
8.39
9.76
10.85
12.22
8.90
10.34
10.85
9.70
10.25
8.40
11.41
9.74
9.64
10.92
9.59
8.43
9.02
11.43
9.89
9.71
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10.62
9.55
9.24
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9.09
12.63
8.13
9.53
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9.83
10.74
9.60
9.46
8.83
9.16
11.71
10.28
9.51
10.96
同じ母集団からの標本でも、同じ母集団と思える場合と、異なる母集団と思える場合がある
→同じ母集団と認定するためには確率的な評価が必要
結果が異なっている(同じでない)
ことを検定する必要性
• あるプラスチックを開発したとき、従来のもの
より実際に優れているかどうかを比較実験し、
検定する
• 調味料の開発では、各種成分の最適なもの
を決めるために、複数の標本を同時に実験し、
結果を正しく検定する
• ある製品を製造する機械がk台(k水準)あり、
i番目の機械からサンプルを最大ni個抜き取
り、機械差の有無を検査する
分散分析のしくみ
• いくつかの要因(因子)によって測定値が変
動するとき、各因子の水準が異なることによ
り生じた部分と、誤差により生じた部分とに分
解して、比較検討することを分散分析という
• 例えば、k台の機械(k水準)から製造される製
品について、機械が異なることによる変動と、
誤差による変動に分解して比較する
分散分析のしくみ
機械1
全体の平均
機械2
機械3
機械2
機械3
機械1のある
サンプル
全体の平均からのズレ
機械1
全体の平均
機械1の平均からのズレ + 全体の平均と機械1の平均のズレ
分散分析のしくみ
測定値 xij , i : 水準(機械番号) , j : 同一水準(同一機械) からのサンプル
平均値 ~
x : 全平均値, x : 水準ごと(機械ごと)
の平均値,
n : 機械iからのサンプル数
i
i
全変動
全平方和 ( ST )  群内平方和( SW )  群間平方和( SB)
2
2
2
  xij  ~
x     xij  xi    ni  xi  ~
x  (5.10)
i
j
i
j
i
となる。
i=2(機械2)
i=1(機械1)
群内変動(右辺第1項 ):
1機械内での繰り返 し測定によるばらつき
で、偶然誤差の変動
群間変動(右辺第2項 ):
機械ごとに変化して いる、系統的な誤差の 変動
群内変動<<群間変動
ならば群間変動は有意 であると考える。
変動の分解の確認(5.10式)
• 教科書63ページの例で(5.10)式を確認する
(Excelシート)
一元配置法
• 測定値に変動が生じる要因が1種類であると考えら
れるとき、または、大づかみに1つの要因であるとし
たときに一元配置法を用いる。
• 手順
– まず、群間と群内の平方和を求める(SB, SW)
– 次に群間と郡内の自由度を求める
(φB=k-1, φW=N-k)
– 群間のばらつきからの不偏分散と群内のばらつきからの
不偏分散を求める(VB= SB / φB , VW= SW / φW)
– 不偏分散比をもとめる(F= VB /VW )
– Fの値をF分布の有意水準に対する値と比較し、群間に差
があったかどうかを判断する(検定)
一元配置法の考え方
•
機械には差がない(全ての機械のバラツキは同じ母集団に属し、同じ正規分布を
もつ)ことを仮定してみる
•
その上で、群間変動と郡内変動から母集団の標準偏差を予測する(不偏標準偏
差を求める)
•
群間変動から求めた不偏標準偏差と郡内変動から求めた不偏標準偏差を比較
する
•
一つの母集団に対する二つの不偏標準偏差の比がある値になる確率はどれほ
どかは、統計的にわかっている(F分布)
•
もし、求めた二つの不偏標準偏差の比の値が現れる確率が非常に低いのであれ
ば、それはもともとの仮定(全ての機械は同じ母集団に属している)が間違ってい
たと考えてよいのではないか。
F=
郡間変動から求めた不偏分散VB
郡内変動から求めた不偏分散V
機械1も機械2も同じ正規分布w
F分布とは
• F:統計学者フィッシャーの頭文字
• 同じ母集団から求めた2組の不偏分散に対し
て、不偏分散比Fがどのような値になるかを確
率的に示したもの
同じ母集団と判断できる
確
率
α=0.05
α=0.01
F
分散分析の評価
• 有意水準
– 検定のときに定めておく確率α
• 棄却領域R
– 有意水準αを与える領域
• 評価
– 求めたF>(α=0.01でのF分布表の値)
有意差あり
– (α=0.01の値)>求めたF>( α=0.05の値)
有意水準5%で有意差あり
– 求めたF< ( α=0.05の値)
95%の確かさで有意差なし
教科書の例の確認
• P65の例で一元配置法を確認する(Excel)
• P67 演習問題5.3を一元配置法で分散分析
する
ダウンロード

keisoku_bunsanbunseki