Landscape と インフレーション
9月21日 於 東北大学
UC Berkeley 渡利 泰山
Landscape of Vacua とは何か?


低エネルギー有効理論(素粒子・宇宙標準模型)諸々
の仮定は、基礎理論の解として理解される(かも)。
我々の解は unique ではない(かもしれない)。
極小点=準安定真空解
極小点周りの、曲率の小さい
方向の数 = 低エネルギー
有効理論に現れる自由度の数
極小点の位置=パラメターの値
内容





Landscape を考える動機
2005年版 String Landscape
どうやって確率分布を考えるか?
インフレーションが起きる Landscape と
Vilenkin ’95, Garcia-Bellido Linde ’95
その問題点
Feldstein Hall TW ’05, Garriga Vilenkin ‘05
問題点の解決法と、その観測的帰結
Feibvogel Kleban Martinez Susskind ’05-05 ,
FHW ’05-06, GV ’05-08 他
Landscape を考える動機
なぜ Landscape を考えるか I
我々に見えるのは低エネルギー有効理論と
宇宙の地平線の内側だけなのに、、、。


パラメターの値の意味を考えたいとき、そのパラメターが実
は場の期待値であるという状況を考えるのは有効である。
Strong CP 問題の Peccei-Quinn 解 ’77
Braum ‘83, Hawking ’84, 宇宙定数

ひも理論(が目指すところのもの)は
 c   1
以外に一切のパラメターがなく、低エネルギー有効理論の
パラメターは、すべて場の期待値として理解される。
解(真空)が唯一であるかどうかについては、
上の2つの動機は何も言わない。
なぜ Landscape を考えるか II

現時点でのひも理論は、たくさんの真空解をもつ。
(後述)
なぜ Landscape を考えるか III

我々が存在することは、実に奇跡的である。

安定核の多様性(原子の多様性)は
(md  mu )
(mN  mp )
(binding energy)
60‘s~
ー (QED correction)
(QCD) ---- (Coulomb repulsion)
(C ,  , mu , md , me ,...) の微妙なバランスの上に成立している。
BBN

p
n
1/ 3


(mN  mp )   1

 GF M pl 
4  rec でなければ、構造形成はおきない。
「何か偉大な存在」が奇跡を起こし、
(C , , mu , md , me , GF ,  ,...) をしかるべく選んで
4
我々の存在を可能にした、
というよりは、
ありとあらゆる (C ,  , mu , md , me , GF ,  ,...)
の選択が宇宙のあちこちでなされていて、
その中で我々の存在が可能な sub 宇宙に我々はいるのだ、
4
という方がより自然ではないか?
決定論 vs 進化論、それとも第三の道?
宇宙論的時間発展
観測者の存在条件、観測量の統計分布
対称性、構造
多真空理論
単一真空理論
超対称 SU(5) unification
(unified gauge coupling)
クォーク、レプトンの質量の
階層構造
湯川行列の値までは決まらない。
宇宙定数問題
why small? why now?
(C , , mu , md , me , GF ,...)
の値が我々の存在を許す。
なぜ3世代なのか?
なぜ Strong CP phase は小さいのか?
真の基礎理論の姿は、どの辺にあるのか?
両極いずれかではなく、中道に位置するのかもしれない。
2005年版 String Landscape
String Landscape のうつりかわり
Type IIB
Type I SO(32)
Type IIA
M-theory
11D SUGRA
Het SO(32)
Het E8xE8/CY3
90年代後半以降
90年代半ば
80年代後半
Potential に山々があると、sub 宇宙と真空解との対応がはっきりする。
「超対称的」な flux compact 化で、計算可能な離散的真空解の集合を得た。
moduli 問題が真に問題ならば、平坦方向の数が少ない解の存在はすばらしい。
真空解がどのように分類されるか
compact 内部空間の、topological 情報
低エネルギーでの、ゲージ群、matter の種類と
数を決める。
低エネルギー理論に超対称性を残すための内部
空間の6次元空間 CY3 の分類はある程度
知られていて、少なくとも O (104 ) 以上ある。
compact 内部空間の大きさや形状
低エネルギー有効理論のパラメターの値を決める。
flux compact 化
100
値の決まり方が  O (100 ) 程度。
内部空間の大きさを決める
10次元の Lagrangian S  M
8
*

M *6
g R  2  F F  .
g
4次元の有効理論で M pl2  M*8  (vol ),
M*6  (vol )
1

.
2
2
geff
g
内部空間の大きさが、4次元時空での重力や電磁力の
強さを決める。
基本的アイデア
note: QCD 相転移のエネルギー密度は、
QCD instanton factor  2 QCD の関数である。
V  fcn(vol ).
e
実際には、QCD 以外のゲージ群が関わっているはずだか、本質は同じ。
体積固定、宇宙定数、超対称性
体積固定ポテンシャル
vol  
V
V  0.
我々の真空解は、Oにいる。
宇宙定数=0にするため、超対称性の破れの効果が
なくてはならない。
Dynamical SUSY breaking ’80s or D3 -branes in Type IIB string
KKLT ‘03
低エネルギーで超対称性を要請すれば、ポテンシャルの山は
4
2
10
10 GeV 
そんなに高くない。 V  FSUSY

 a vol
 bvol
W

Ae

Be
fine-tuning
 A(aA / bB) a /( b  a )  B(aA / bB)b /(b  a ) .
もしくは、
R-symmetry
W  X ( Aeavol  Bebvol ).
内部空間のかたちを決める y
2
6次元多様体の形状固定を議論するかわりに、
2次元多様体 T 2 の形状固定を論ずる。
g 
2
1  1 1 
 
.
2

|

|
2  1

基本的アイデアは、
複素スカラー場に、topological flux を導入する。
 d  m  im ,  d  n  in .
1
2
1
y1
1
2
そうすると、 d 4 x   d 4 x  d 2 y g  (  )(  )
は (1 , 2 )の関数。
m1n2  n1m2  0 の時、 (m, n)1,2 を与えれば、 (1 , 2 )
が決まる。
Type IIB theory では、複素 3-form G(3)  dC (2)  dB(2)
を用いる。
例
ある種類のゲージ理論の
(D3由来)ゲージ結合定数
6次元多様体の warped
構造の度合い
 
4 

i

2 
2

g


Denef Douglas th/0404116
Giryavets Kachru Tripathy
th/0404243
低エネルギー有効理論のパラメターの値の分布関数を、
原理的には求めることが可能である。
宇宙論的時間発展
観測者の存在条件、観測量の統計分布
対称性、構造
単一真空理論
多真空理論
2005年版 string landscape には、ゲージ群や
matterの種類や数を選ぶ原理がない。
ありとあらゆる真空解がある。
 超対称性との相性は、さほどよく(なってい)ない。
 このLandscape の統計+観測者の存在条件、のみ
で現実を理解できるか????
 理解できない部分があれば、それは未知の要素
(時間発展、構造 etc.) があることを示唆している。

確率分布をどう考えるか?
確率分布をどう考えるか?
dP  d I ( ) V ( ) A( ( )),
Vilenkin ‘95
d
 d 
I ( ) V ( ) A( ( )).
d

高エネルギーでの有効理論のパラメター
 ( )
低エネルギー有効理論の、つまり観測可能なパラメター
I ( ) :
V ( ) :
A( ( )):
Initial Volume Distribution
Volume Factor
Anthropic Factor
d I ( ) : Initial Volume Distribution

Density of Vacuum States


その値    d を持つ真空解がどれくらいlandscape
の中にあるか。原理的には、string landscape などから
計算可能。
宇宙空間のうちどれくらいの体積が、そのような真
空解に割り当てられているか?


Euclidean continuation を用いた、sub-宇宙の
 S ( )
. Vilenkin, Hawking,Linde ’80s
無からの創生: vac( ) 0  e
Slow-roll Inflation 以前の時間発展
V ( ) : Volume Factor

値  を見る観測者の数は、値
の中の銀河の数に比例する。


そして、その銀河の数は、その
sub-宇宙の体積に比例する。


をとるsub-宇宙
の値をとる
Inflation で宇宙が膨張するなら、その広大な宇宙
Vilenkin ‘95
にはたくさんの観測者が住む。
Inflation Model のパラメターが sub-宇宙に
よって異なる値をとれるとき、より多くの観測者は、
e-fold number が大きい sub-宇宙に住んでいる。
Naturalness の考え方は、この枠組みでは通常とは大きく異なる。
A( ( )) :


Anthropic Factor
civilization factor
astronomer factor
とりあえず、低エネルギー有効理論が標準模型にな
るものだけを考えよう。それ以外の場合には
A( ( ))  0 とすることによって。
低エネルギー有効理論の、とくに QCD + QED +
4Fermi と宇宙論のパラメターのみで決まる。
2
g
gSU (2)L の値にはよらない。 GF  L2  12 .
mW
v
SU(5) Unification と両立する。

いろいろな物理を取り込んでいくことで、精密化して
行くことが可能である。
Anthropic Factor の例 I: A ( ,  )
4
Weinberg ’87, Efstathio ’95, Martel, Shapiro, Weinberg ‘97

2
密度揺らぎ
は、matter-radiation equality の後、 t 3 に
3
比例して成長していく。 [ CDM  ]
の組み合わせは不変。
密度揺らぎが non-linear になる 
時、matter の
1
エネルギー密度は CDM  CDM  3 
まで下がっている。
rec
その時点まで、宇宙定数の存在が無視できれば、つまり、
 4  CDM  3  密度揺らぎは、宇宙の大規模構造として残る。
rec
A ( ,  )   d e
4

2
2
   CDM  3  rec  4  .
3

 が  CDM   rec  (観測値の100倍ほど)を超えると、
4
指数関数的に減少する。
Anthropic Factor の例 II: A ( ,  )
4
Tegmark Rees ‘97
密度ゆらぎが成長して  1 重力による bound system が
できると、やがてビリアル化する。
vir
eq 3
Tvir  m v 
2
p vir
for M  M eq
GN Mm p
 105
2
vir
R
 m p  M / M eq 
(COBE normalization) の時、
小さすぎる   106 は、ビリアル化した系から
エネルギーが抜けていかず、  1 から先の重力 3
収縮が進まない。一方、大きすぎる場合にも、 M   M pl 2
mp
程度の質量を持つ恒星の数密度が高すぎる。
2/3
M halo
Tvir
.
109  1013 M 
eV  keV.
106 104
Inflationary Landscape
と その問題点
Inflation と Volume Factor
初期宇宙で Inflation が起きることは “Probable” である。
その方が Volume Factor は大きくなり、
観測者の数は reheat した宇宙の体積に比例。
宇宙の一様性: primordial black holes を減らす。 
1
宇宙の平坦性: curvature dominance では密度ゆらぎが
成長できない。
この2つは、ある程度まで、弱い人間原理の要請である。
我々の sub-宇宙では Ne  60 であるから、
Volume Factor は 少なくとも V  eO (100)( ) 程度の
パラメター依存性をもたらす。
確率分布
dP
は、Inflation のパラメターに非常に強く依存する。
V  eO (100)( )
Density of Vacuum States のみを調べることにはあまり
意味がない。
真っ先に Inflation パラメターについての確率分布を考える
べきである。
Density of States の詳細によらず、Inflation についてなら
ばモノをいうことができる。
そして、
 104 106 ,
小さい  、
Inflation が起きることは “Probable”
4
この success は 全体としては実はそれほどうまくいっていない。
例1 : Ensemble of Chaotic-Inflaiton Regions
Vilenkin ‘95, Garcia-Bellido ’95,
Landscape of Vacua が Chaotic Inflation Feldstein Hall TW ’05, Garriga Vilenkin ‘05
を引き起こす領域をたくさん持っていたとする。
V ( )  m  .
2 2
初期宇宙においてそのような領域に値をとる
宇宙の体積の分布を dm I (m)
とする。
3
密度ゆらぎ:

V 2
M pl3 V 
総 e-fold number:
Ne
(if

m
.
M pl
M *4
.
m2 M pl2
V ( )
M*4 )
2
d P  d I ( )A ( )e

m
 M*
 1

 2
M
pl 

.
M pl は小さければ小さいほどよく、密度ゆらぎは
Cosmic string から来るのではないか?

No ! from Boomerang maxima
WMAP
例2: Ensemble of Hybrid-Inflation Regions
V ( , )  ( 2  M 2 )2  m2 2   2 2 .
Feldstein Hall TW ‘05
dm dM I (m, M )
3
密度ゆらぎ:

V 2
M pl3 V 
総 e-fold number: Ne
M5
.
M pl3 m 2
M4
.
M pl2 m2
 M pl



M 0 

d P  dmdM e3Ne ( m,M )  d e
M
M pl
M pl
Exponetially
small
P (  105 )
.
1
M0

m
Inflationary Landscape 一般に、
Slow-Roll Inflation が宇宙の密度揺らぎの起源をつ
くっている、とすると次の問題がある。



密度ゆらぎ

P (  105 )
にかんして指数関数的な確率分布が従う。
P (106    104 ). 密度ゆらぎが
window の真ん中にある確率はきわめて小さい。
6
4
しかも、 P (10    10 ) 1 である。
密度揺らぎに関する人間原理 window は

A ( )   d e  A ( ) で与えられ、
sharp cut-off をもてない。
2
2

多くのsub-宇宙では

は “window” の外にある。
問題点の回避法と、
観測へのつながり
回避する方法I: 連続分布近似の破綻
I ( )
dP =
 d I ( )V( )A ( )
I ( )
V( )
が連続分布

V( ) が指数関数分布
のどちらかを外せばよい。
回避法 I : I ( )
C  (   )
i
i
i
{Ci } 間の差が、
e
N e ( i )
となる状況。
e100 間の差よりも
大きく、宇宙のほぼすべての観測者は、
パラメター  i の真空状態にいる。
観測者の存在を許さない真空、例えば  , m ,  (our
values)では、 A ( ( ))  0 として、排除する。
4
QCD
e
どのようにしてそのような hierarchial {Ci } を得るか?
例: Eternal Inflation
不安定真空の崩壊率  tot と
膨張率 H が
tot  H
4
をみたすとき、
その不安定真空の体積は永遠にふえ続ける。
( Heff  H tot / H 3 )t
e
Landscape にひとつでもそのような不安定真空があるとき、
Eternal Inflation は起こる。
それらの中で最大の Heff を持つ不安定真空が宇宙の体積
をいづれは dominate し、宇宙開闢の初期条件を消し去る。
Eternal Inflation の不安定真空から標準模型の真空へ
直接遷移する Bubble がつくられると、Bubble 内には
エネルギーが空で、Open Universe となる。
それでは構造形成がうまくいかないから、
A ( ( ))  0 として、無視する。
Eternal Inflation の不安定真空から、いったん Slow-Roll
Inflation を経由して標準模型の真空に降りてくる Bubble
Nucleation だけが考察の対象である。
それらを、i でラベルする。
i  (mi , Hi , i , Ne,i )
Initial Volume Distribution I ( ) は、Eternal Inflation の
Dominant な不安定真空からの遷移(トンネル)確率で
与えられる。
I ( )   i  (  i ),
i
i
Mi 4eSi .
i の間には、大きな hierarchy がありうる。
i
は、有効理論のパラメター  i の連続関数として
近似できる保証はない。
とくに、あらかたの標準模型の真空が、
4  [ CDM 3 ]rec などの条件で排除されて、
Landscape の中にごくまばらにしか存在しない
場合には。
I ( )   i  (  i ), は連続分布近似できない。
i
Analogy: 人口50万人以上の都市(acceptable SM vacua)を対象に、横軸を
海抜高度(observable)、縦軸を十和田湖からのexp(-距離)(  )でplotせよ。
居住可能宇宙のほぼすべては、ただひとつの真空にある。
P ( 仙台 )  1
P(
仙台以外
)
e
100
.
4
(

, , Ne ) の値は
我々の観測する
4



居住可能条件
   rec ,  1, N e  58 の範囲内
では、その単一の最大の i を持つ真空での値が
何であったか、という偶然による。仙台の人口、標高に
理論的必然性はない。
基礎理論の Landscape をくまなく知ることなしには、
観測値を求めることはできない。

の
ただし、Landscape の Density of Vacuum States (大都市の
標高の統計分布)を知っていれば、観測値の確率分布を知る
ことができる。 P(4  (103 eV)4 )  109
P(tot  0.99)  0
(
see Susskind et.al. and Refs.)
回避する方法II : V( )
がexp 分布でない
A ( ( )) :
どのようにして?
Chaotic inflation で
I ( )V( )
  M pl  4
V ( )  M*4
ではなく。

Curvaton , Modulated reheating

 V ( )
s


p
2
s
Inflation Model のパラメタースキャンのうち、
Ne
をかえるものと、Hをかえるものが分離されている。
4
そうすると、Anthropic factor A ( ,  ) がごく自然に


4
6
10
を window
を [ CDM  3 ]rec
104 の中から、
以下という制限の中で
選び出す。
Anthropic Factor や Initial Distribution や Volume
Factor からくる緩やかなpower-law の確率分布
に従って、居住可能宇宙の中のいろいろなsub宇宙
では、いろいろな違った値をとっている。
Take-Home Messages

Cosmological Darwinism?


String Landscape ’05


Moduli 固定、超対称性との関係
Inflationary Landscape



Landscape が理論の多様性を保証する。
密度ゆらぎの値は、自由に手で選べない。
指数関数分布
ー問題

この問題を回避する方法

Hierarchial transition rate / curvaton
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