弱最内戦略を完全にするための
TRSの等価変換について
名古屋大学大学院
情報科学研究科
岡本 晃治
1
項書換え系(TRS)


関数型プログラミング言語の計算モデル
書換え規則で項を書換えて計算
例:自然数の加算のTRS
R=
Add(s(x), y) → s(Add(x , y))
Add(0 , y)
→ y
書換え規則が適用不能
な項(正規形)に到達
s(x):x+1を表す
Add(s(0) , s(s(0))) → s(Add(0 , s(s(0))) → s(s(s(0)))
1 + 2
=
3
2
TRSの完全な書換え戦略

与えられた項の全ての正規形に到達可能

書換え戦略:規則を適用する場所の選び方
h(0)
例:
R=
f (g(x)) → x
f (x) → s(x)
h(x) → x
f (g(h(0)))
: 最内戦略の書換え
0
f (g(0))
s(g(h(0)))
Rにおいて最内戦略は完全な書換え戦略
s(g(0))
3
研究概要・目的(1/2)

合流性を持たないTRSの計算戦略

逆関数を表すTRS 合流性:規則の適用順序によらず
同一の正規形に到達

最内戦略が完全となるTRSの条件の発見


冗長な書換えの枝刈りが可能
弱最内戦略が完全となるTRSの条件

最内戦略が完全とならないTRS
4
研究概要・目的(2/2)
R=
H(0) → 0
H(s2(0))
H(0) → s(0)
U(H(s(0)))
H(s(x)) → U(H(x))
U(x) → s(s(x)) s2(H(s(0)))
U2(H(0))
H:自然数を1/2倍
する関数の逆関数
U2(0)
s2(U(0))
s2(U(H(0)))
U(s2(0))
s4(0)
U(s2(H(0)))
s4(H(0))
U2(s(0))
s2(U(s(0)))
U(s3(0))
s5(0)
深さ優先探索で37ステップの書換えが必要
5
研究概要・目的(2/2)
R=
H(0) → 0
H(s2(0))
H(0) → s(0)
U(H(s(0)))
H(s(x)) → U(H(x))
U(x) → s(s(x)) s2(H(s(0)))
U2(H(0))
H:自然数を1/2倍
する関数の逆関数
U2(0)
s2(U(0))
:最内書換え
s2(U(H(0)))
U(s2(0))
s4(0)
U(s2(H(0)))
s4(H(0))
U2(s(0))
s2(U(s(0)))
U(s3(0))
s5(0)
8ステップの最内書換えで全正規形に到達可能
6
弱最内戦略

最内リデックスもしくは最内リデックスと重
なりを持つリデックスを書き換える戦略
f (s(0))
R=
f (g(x)) → x
g (x) →
s(x)
wi(R)
f (g(0))
g(0)はf(g(0))の
リデックスf(g(0))は最内リデックス
g(0)と重なりを持つ
最内リデックス
wi(R)
0
7
例
最内戦略が完全にならないTRS
f(h(a,b))
g(h(a,x)) → c
R=
h(x,b)
f(x)
s(x)
a
→
→
→
→
d
s(x)
g(x)
b
s(h(a,b))
f(h(b,b))
f(d)
g(h(a,b))
s(h(b,b))
s(d)
c
g(h(b,b))
g(d)
項f(h(a,b))には,c,g(d)の
2つの正規形が存在
:
R
8
例
最内戦略が完全にならないTRS
f(h(a,b))
g(h(a,x)) → c
R=
h(x,b)
f(x)
s(x)
a
→
→
→
→
d
s(x)
g(x)
b
s(h(a,b))
f(h(b,b))
f(d)
g(h(a,b))
s(h(b,b))
s(d)
c
g(h(b,b))
g(d)
Rによる弱最内書換えでは
cに到達できない
:
R
:
wi(R)
9
例
最内戦略が完全にならないTRS
R2 =
g(h(a,x)) → c
h(x,b) → d
s(h(a,b))
f(x) → s(x)
s(x) → g(x)
a
→ b
g(h(a,b))
s(h(a,x)) → g(h(a,x))
f(h(a,x)) → s(h(a,x))
c
弱最内書換えで
cに到達できるように規則を追加
f(h(a,b))
f(h(b,b))
f(d)
s(h(b,b))
s(d)
g(h(b,b))
g(d)
:
:
R2
wi(R2)
10
弱最内戦略を完全にする等価変換(1/4)


TRS Rの左辺の部分集合M(R)
規則の重なりに注目
g(h(a,x)) → c
R=
h(x,b) → d
f(x) → s(x)
s(x) → g(x)
a
他の規則と重なる
部分に注目
→ b
M(R)={g(h(a,x))}
11
弱最内戦略を完全にする等価変換(2/4)


集合M(R)から規則を追加
M(R)の要素とマッチング可能な右辺に注目
g(h(a,x)) → c
R=
h(x,b) → d
f(x) → s(x)
s(x) → g(x)
a
g(x’)とg(h(a,x))の最凡単一化子
  {x'  g (h(a, x))} に対して,
規則 s( x)  g ( x' ) を追加
→ b
M(R)={g(h(a,x))}
R’={s(h(a,x)) → g(h(a,x))}
12
弱最内戦略を完全にする等価変換(3/4)


T(R) = R ∪R’とする
新しい規則が追加されなくなるまでTを実行
g(h(a,x)) → c
T(R) =
h(x,b) → d
f(x) → s(x)
s(x) → g(x)
T2(R) =
a
→ b
s(h(a,x)) → g(h(a,x))
g(h(a,x)) → c
h(x,b) → d
f(x) → s(x)
s(x) → g(x)
a
→ b
s(h(a,x)) → g(h(a,x))
f(h(a,x)) → s(h(a,x))
M(T(R))={g(h(a,x)), s(h(a,x))}
T3(R)=T2(R)
13
弱最内戦略を完全にする等価変換(4/4)
集合M(R)の定義
l  M( R)  l   lhs( R), p  FPos(l ).
l|pとl’が単一化可能
変換Tの定義
T( R)  R {l  r | p  FPos(r ), l   M( R),
 .  がr|pとl’の最凡単一化子}
新しい規則が追加されなくなるまでTを実行
14
予想
Rを停止性を持つ右線形TRSとする.
Ti(R)=Ti+1(R)である自然数iが存在するとき
弱最内戦略はTRS Ti(R)の完全な戦略
R ⇒ T(R) ⇒T(T(R)) ⇒・・・⇒Ti(R) = T(i+1)(R)
∀


t, s. t →R s ∈ NFR ⇒ t →wi(Ti(R)) s
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