電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
7/14講義分
共振器と導波路
山田 博仁
完全導体による電磁波の反射
表面に高さ無限小の微小円柱を考え、
完全導体(σ = ∞)表面における電磁波の境界条件は、 Gaussの法則を適用すると分かる
E  t  0 より、
何故なら、
ie = σEより、
E = 0でない
と無限大の
電流が流れ
ることになる
電場 E
導体表面に
電荷が現れる
場合がある
完全導体
界面での電場の
σ =∞ E = 0 接線成分 E はゼロ
完全導体
完全導体
完全導体内では
E = 0、従って rot E = 0
静磁場に対
しては必ずし
もゼロでない
静磁場
B0  0
B
より
rot E  
t
変動磁場の法線
成分 Bn はゼロ
Bn = 0
完全導体
変動磁場
B  0
E=0
B  n  0 より、
t
磁場の接線成
界面に高さ無限小 導体表面に
の長方形を考え、 電流が流れる 分 Ht は必ずし
Ampere-Maxwell 場合がある
もゼロではない
の法則を適用する
Ht ≠ 0
と分かる
電場の法線成
分 En は必ずし
もゼロではない
En ≠ 0
変動磁場 静磁場
B0  0
B  0
従って、電磁波は完全導体内
には進入できず、全反射される
完全導体による電磁波の反射
z < 0 の領域を固有インピーダンス Z の媒質が占め、x-y (z = 0) 平面を境にして
z > 0 の領域の完全導体と接しているとする。そこに、 x 方向に電場ベクトルを
有する角周波数 ωの正弦電磁波が、媒質中 (z < 0) から導体界面に対して垂直
入射する場合を考え、電場と磁場を入射波と反射波の和として表せば、
E x  Eix  Erx  Ei 0 cos(kz  t )  Er 0 cos(kz  t )
x
媒質: Z 完全導体
1
E
ix
H y  H iy  H ry  Ei 0 cos(kz  t )  Er 0 cos(kz  t )
Z
Hiy 入射波
反射波の磁界は
z
k    は電磁波の波数 -y方向を向いている
0
反射波
Hry E
完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面
rx
即ち z = 0において、Ex = 0 であるから、
Ei 0  Er 0  0
従って、媒質中の電磁場は、
E x  Ei 0 cos(kz  t )  Ei 0 cos(kz  t )  2 Ei 0 sin kz sin t
Hy 
1
Ei 0 cos(kz  t )  Ei 0 cos(kz  t )  2 Ei 0 coskz cost
Z
Z
となる。
完全導体による電磁波の反射
電場
反射端(導体表面)
λ
入射波
反射波
z
定在波
z=0
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
電場の節は、kz = nπ (n は整数)の関係から求められ、
電場の節
z
n

 n 
k
2
電場の腹
(n = 0, 1, 2 ‥)
磁場の節
1   

z   n   
2  2 

1   

z   n   
2  2 

(n = 0, 1, 2 ‥)
磁場の腹
(n = 0, 1, 2 ‥)
z
n

 n 
k
2
(n = 0, 1, 2 ‥)
参考) 伝送線路の場合との比較
受電端を短絡した場合に対応
送電端
Is
Ix
無損失線路(α = 0)
Vs
Z0
xs
I0 受電端
Vx
V0= 0 短絡
x=0
全反射
x
Vx  Z 0 I 0 sin  x  cos t
I x  I 0 cos  x  sin  t
定在波
3

3
t  
0
244
5
2
2
3
2


2
βx = 0
電圧
電流
短絡
xs
x=0
波の反射と定在波
+x方向に進行する波
ωt = 0

4

2
3
4

λ
反射波
反射端
定在波=進行波+反射波
x
電磁波の共振器
平行平板共振器 (Fabry-Perot共振器)
完全導体による平行平面で挟まれた
空間に存在する電磁波はどのように
表される?
簡単のため、電磁波は x 方向の電場
ベクトルを有する正弦波とし、z = 0, L
に位置する完全導体面に対して、垂
直に入射しているものとする。
n=1
完
全
導
体
n=2
n=3
?
z=0
電界 Ex は、いつの瞬間においても完全導体表面でゼロとなるから、
Ex  Ei 0 cos(kz  t )  Ei 0 cos(kz  t )  2Ei 0 sin kz sin t
において、z = 0, L において Ex = 0 となるためには、
n
(n = 1, 2, 3 ‥)
z sin t
L
2 n
よって、 k 
であるから、 L  n  


L
2
E x  En 0 sin
(n = 1, 2, 3 ‥)
完
全
導
体
z=L
電磁波の導波路
平行平板による導波路 (Slab導波路)
完全導体による平行平面で挟まれた空間に斜めに入射した電磁波は、図のよう
に反射を繰り返しながら伝搬していく。従って、電磁波の導波路として機能する。
完全導体
完全導体
電磁波の導波路
平行平板による導波路 (Slab導波路)
完全導体による平行平面で挟まれた間隙に入射角度 θ で斜めに入射した電磁
波は、図のように導体表面で全反射を繰り返しながら伝搬していく。
このとき、導波路を伝搬している電磁波の自由空間における波数を k0 とすると、
電磁波の伝搬方向での波数 kg は、 kg = k0 cosθ となる。また、伝搬方向と垂直
方向での波数を kt とすると、 kt = k0 sinθ となる。
従って、 k02  k g2  kt2
完全導体
θ
d
kt
θ
k0
kg
完全導体
kt = k0 sinθ
kg = k0 cosθ
d: 導体間の間隙の距離
電磁波の導波路
それぞれの波長との関係は、k = 2π /λ より、
λ0は自由空間での波長
1
1
1


λg は導波路内での波の伝搬方向の波長で、管内波長と言う
2
2
2
0
g
t
導波路を伝搬することが許されるのは、伝搬方向と垂直方向に対して定在波条件
つまり、kt 2d = 2qπ (q は自然数)の関係が成立するときのみ。
2d
即ち、 t 
(q = 1, 2, 3, ‥‥であり、モード番号という)
q
q = 1 の時が、伝搬することが許される最低次のモードで、λt = 2d となる。
この最低次のモードでは、波長 λ0 が長くなるにつれて、入射角度 θ が大きくなる。
θ
d
kt
2qπ
θ
λg
λ0
完全導体
q=3
q=2
λt
q=1
完全導体
kt = k0 sinθ
電磁波の導波路
そして、θ = π /2 となった時、電磁波の伝搬方向への波数 kg は kg = 0 つまりλg = ∞
となり、もはや電磁波は伝搬しなくなる。
従って、伝搬することが許される最も長い自由空間中での波長 λ0 を遮断(Cutoff)波長
λc と言い、
c  t ( q  1)  2d
となる。
遮断波長においては、
g  , c  t の関係が成り立つ。
完全導体
θ
d
kt
θ
θ = π /2
λt
2π
q=1
完全導体
kc = kt
導波管
電磁波(特にマイクロ波、ミリ波)の伝送には、図のような中空の金属導波管が用い
られることがある。
このような導波管内での電磁波の伝搬を以下で扱う。 (教科書p.223 12.8)
導波管の中の電磁場が角周波数 ω で正弦波的に時間変化をする場合を考える。
また、導波管内を z 方向に伝搬定数 γ で伝搬すると仮定する。
つまり、
E ( x, y, z)  E0 ( x, y)e j ( t  z )
 : 伝搬定数(複素数)
2 E
波動方程式 E  0 0 2  0 より、
t
E の z 成分 Ez は、
c は自由空間での光速度
 2 Ez  2 Ez  2 Ez 1  2 Ez

 2  2
0
2
2
2
x
y
z
c t
 2 Ez  2 Ez

 k 2 Ez  0
従って、
2
2
x
y
2
2
2
ただし、 k  2  
c
x
z
y
方形導波管
導波管
2 H
同様に、磁波の波動方程式 H  0 0 2  0 より H の z 成分 Hz は、
t
2
2
 Hz  Hz
2


k
Hz  0
2
2
x
y
Ez と Hz は全く同形で別々の微分方程式に従うことから、Ez = 0 で Hz ≠ 0 の解と、
Ez ≠ 0 で Hz = 0 の解が独立に存在し、一般解はこれらの解の重ね合わせとして表
せる。
波の進行方向のベクトル成分を持たないこと
Ez = 0 で Hz ≠ 0 の波を、電場成分が進行方向
に垂直なことから(Transverse Electric) TE波、
Ez ≠ 0 で Hz = 0 の波を磁場成分が進行方向に
垂直なことから(Transverse Magnetic) TM波と
呼ぶ。




ところで、k = 0 の場合には
c となり、
z 方向に光速で伝搬する電磁波が期待される。
この場合、 Ez = Hz = 0 であり、(Transverse
Electric Magnetic) TEM波と呼ぶ。
x
z
y
方形導波管
これは同軸ケーブルやレッヘル線の場合で、導波管ではTEM波での伝搬形態はない。
導波管
導波管の断面を x-y 面にとり、内部の辺長を a, b とする。
電磁場に対する境界条件は、導波管壁で E・t = 0 および H・n = 0 だから、
E y  Ez  H x  0
( x  0, a)
Ex  Ez  H y  0
( y  0, b)
Hz = 0 の電磁波、 即ちTM波について考えると、
Ez に対する微分方程式の解は、
Ez  Ae
j ( k x x  k y y )  j z
e
e j t
(Aは定数)
で与えられ、この場合の境界条件は、導体壁
(x = 0, a; y = 0, b)で Ez = 0 となるから、
E z  A sin
従って、
 m   n 
k  2   
 

c
a
b

 

2
2
m x
n y  j z j t
sin
e e
a
b
(m と n は整数)
2
2
x
a
z
b
0
2
(mn ≠ 0)
方形導波管
y
導波管
前式で、整数 m と n がいろいろな値をとれば、それに対応する電磁波のモードが
導波管の中に存在する。
一般に、TE波に対応するモードをTEmn、 TM波に対応するモードをTMmn で表す。
電磁波が導波管の中を z 方向に伝搬するためには、伝搬定数  は実数である必
要がある。
 が実数でない、即ち     j とすると、
E z  Ae
 Ae
j ( k x x  k y y )  j z
e
e j t
j ( k x x  k y y )  z  j z
e
e
e j t
 がゼロでなければ、これは z 方向に伝搬するに
つれて減衰する波となる。
従って、z 方向に伝搬する電磁波が存在する
ためには、
 
2
2
c2
 k2  0
でなければならない。
方形導波管の例
導波管
従って、 = 0 のときには電磁波は伝搬できなく(Cutoff)なり、この時の ω の値 ωc は、
c  ckc となる。
従って、遮断(Cutoff)波長は、
c 
fc は、遮断(Cutoff)周波数と呼ばれている
c 2c 2
2



f c c
kc
(m / a) 2  (n / b) 2
(mn ≠ 0)
となり、
c よりも波長の短い電磁波しか伝搬できない。
最長の遮断波長は、条件 mn ≠ 0のもとで k を最小にする TM11 モードの場合であり、
この時の遮断波長は、
c 
2
(1 / a) 2  (1 / b) 2
となる。
電界
磁界
TM11モードの電磁界分布
一方、TE波の場合のカットオフ波長は、 c  2b となる。 (ただし、a < b) (例題12.6)
 

c
ところで、右の式で与えられる vp を、
vp   

 
2
c2
位相速度(phase velocity)と呼ぶ
2
k
1 2
2
c

モードの分散関係
方形導波管において、TM11モードの分散関係(ωとβの関係)を図示すると
  c 2  2  c2 より、下図のようになる
・ 遮断周波数ωcにおいては、
 d 
 はゼロとなり、
群速度 vg  
 d 
エネルギーや情報としての電磁波は
伝わらない。 ところが、
 
位相速度 v g    は∞となる。
 
ω
ωc
位相速度は、常に光速度cを超えている
この傾きは光速度 c
・ 周波数が高くなると、群速度および位相
速度共に光速度cに漸近する。
β
つまり、自由空間での伝搬形態に近くなる
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