1次元離散的フーリエ変換
f 0 f1 f 2 f 3
0
1
2
…………
f N 2
N 2
3
f N 1
n
N 1
時間軸
全部でN個のデータ
定義:
N 1
Fk   f n W
n 0
nk
N
WN  e
j
2
N
2
2
 cos   j sin  
N
N
N 2
のとき
虚数軸
F0  f 0 W200  f1 W201
F1  f 0 W210  f1 W211
行列表記
 F0  W20
 F   W 0
 1  2
 F0   1
 F    1
 1 
W20   f 0 

W21   f1 
 1  f 0 
 1  f1 
図式表記
f0
f1
+
+
+
-
F0
F1
W20  1
W21  1
実数軸
N 4
のとき
虚数軸
F0  f 0 W400  f1 W401  f 2 W402  f 3 W403
F1  f 0 W410  f1 W411  f 2 W412  f 3 W413
F2  f 0 W420  f1 W421  f 2 W422  f 3 W423
F3  f 0 W430  f1 W431  f 2 W432  f 3 W433
行列表記
 F0  W40 W40
F   0
1
W
W
1
4
  4
 F2  W40 W42
   0
3
 F3  W4 W4
W40 W40   f 0 
 
W42 W43   f1 
W44 W46   f 2 

6
9 
W4 W4   f 3 
W42  1
W43   j
W40  1
実数軸
W41   j
N 8
のとき
虚数軸
2
2
W 
j
2
2
5
8
W84  1
2
2
W83  
j
2
2
W86   j
W87  
2
2
j
2
2
W80  1
実数軸
W81 
2
2
j
2
2
W82   j
F0  f 0 W800  f1 W801  f 2 W802  f 3 W803  f 4 W804  f 5 W805  f 6 W806  f 7 W807
F1  f 0 W810  f1 W811  f 2 W812  f 3 W813  f 4 W814  f 5 W815  f 6 W816  f 7 W817
F2  f 0 W820  f1 W821  f 2 W822  f 3 W823  f 4 W824  f 5 W825  f 6 W826  f 7 W827
F3  f 0 W830  f1 W831  f 2 W832  f 3 W833  f 4 W834  f 5 W835  f 6 W836  f 7 W837
F4  f 0 W840  f1 W841  f 2 W842  f 3 W843  f 4 W844  f 5 W845  f 6 W846  f 7 W847
F5  f 0 W850  f1 W851  f 2 W852  f 3 W853  f 4 W854  f 5 W855  f 6 W856  f 7 W857
F6  f 0 W860  f1 W861  f 2 W862  f 3 W863  f 4 W864  f 5 W865  f 6 W866  f 7 W867
F7  f 0 W870  f1 W871  f 2 W872  f 3 W873  f 4 W874  f 5 W875  f 6 W876  f 7 W877
行列表記
 F0  W80
F   0
 1  W8
 F2  W80
   0
 F3   W8
 F4  W80
   0
 F5  W8
 F  W 0
 6   80
 F7  W8
W80
W80
W80
W80
W80
W80
W81
W82
W83
W84
W85
W86
W82
W84
W86
W88
W810
W812
W83
W86
W89
W812
W815
W818
4
8
5
8
6
8
7
8
8
8
10
8
12
8
14
8
12
8
15
8
18
8
21
8
16
8
20
8
24
8
28
8
20
8
25
8
30
8
35
8
24
8
30
8
36
8
42
8
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W80   f 0 
 
W87   f1 
W814   f 2 
 
W821   f 3 
W828   f 4 
 
35
W8   f 5 
W842   f 6 
 
49
W8   f 7 
行列の分割
周波数間引きの方法
複素数の乗算回数
N
2
偶数番目
 F0  W80
  
  
 F2  W80
  
 
 F4  W80
  
  
 F  W 0
 6  8
  
W80
W80
W80
W80 W80
W80
W82
W84
W86
W80 W82
W84
W84
W88
W812 W80 W84
W88
W86 W812 W818 W80 W86 W812
W80   f 0 
 
  f1 
W86   f 2 
 
  f3 
W812   f 4 
 
  f5 
W818   f 6 
 
  f 7 
奇数番目
  
 F  W 0 0
 1  8
  
   0 0
 F3   W8
  
   0 0
 F5  W8
  
   0 0
 F7  W8
W801
W80 2
W803
W80 4 W805
W80 6
W821
W84 2
W863
W80 4 W825
W84 6
W841
W88 2
W812 3 W80 4 W845
W88 6
W861 W812  2 W8183 W80 4 W865 W812  6
 f0 
W80 7   f1 
 f2 
 
W86 7   f 3 
 f4 
 
W812  7   f 5 
 f 
 6 
18  7
W8   f 7 
偶数番目
 F0  W40 W40
  
  
 F2  W40 W41
  
 
 F4  W40 W42
  
  
 F  W 0 W 3
4
 6  4
  
W40 W40 W40 W40 W40 W40   f 0 
 
  f1 
W42 W43 W40 W41 W42 W43   f 2 
 
  f3 
W44 W46 W40 W42 W44 W46   f 4 
 
  f5 
W46 W49 W40 W43 W46 W49   f 6 
 
  f 7 
奇数番目
  
 F  W 0W 0 W 0W 1
4
8
 1  4 8
  
   0 0
1 1
F
W
W
W
W8
3
4
8
4
 
  
   0 0
2
1
 F5  W4 W8 W4 W8
  
   0 0
3
1
 F7  W4 W8 W4 W8
W40W82 W40W83 W40W84 W40W85 W40W86
W42W82 W43W83 W40W84
W41W85 W42W86
W44W82 W46W83 W40W84 W42W85 W44W86
W46W82 W49W83 W40W84 W43W85 W46W86
  f0 
W40W87   f1 
 f2 
 
W43W87   f 3 
 f4 
 
W46W87   f 5 
 f 
 6 
9
7
W4 W8   f 7 
偶数番目
 F0  W40 W40
F   0
1
 2   W4 W4
 F4  W40 W42
   0
3
 F6  W4 W4
W40 W40   f 0 

W42 W43   f1 
W44 W46   f 2 

W46 W49   f 3 
f4 
f 5 
f6 

f7 
奇数番目
  
 F  W 0W 0 W 0W 1
4
8
 1  4 8
  
   0 0
1 1
F
W
W
W
W8
3
4
8
4
 
  
   0 0
2
1
 F5  W4 W8 W4 W8
  
   0 0
3
1
 F7  W4 W8 W4 W8
W84  W80
W40W82 W40W83
 W40W80
 W40W81
 W40W82
W42W82 W43W83
 W40W80
 W41W81
 W42W82
W44W82 W46W83
 W40W80
 W42W81
 W44W82
W46W82 W49W83
 W40W80
 W43W81
 W46W82
W85  W81
W86  W82
W87  W83
 f0 
 W40W83   f1 
 f2 
 
 W43W83   f 3 
 f4 
 
 W46W83   f 5 
 f 
 6 
9
3
 W4 W8   f 7 
偶数番目
 F0  W40 W40
F   0
1
 2   W4 W4
 F4  W40 W42
   0
3
 F6  W4 W4
W40 W40   f 0 

W42 W43   f1 
W44 W46   f 2 

W46 W49   f 3 
f4 
f 5 
f6 

f7 
奇数番目
 F1  W40 W40
F   0
1
W
W
3
4
4
 
 F5  W40 W42
   0
3
 F7  W4 W4
W40 W40   f 0 

W42 W43    f1 
W44 W46   f 2 

W46 W49    f 3 
f 4 W80 

f 5 W81 
f 6 W82 

f 7 W83 
N=8のDFTが
N=4のDFT2つに
分割できた!
偶数番目
 F0  W40 W40
F   0
1
 2   W4 W4
 F4  W40 W42
   0
3
 F6  W4 W4
W40 W40   f 0 

W42 W43   f1 
W44 W46   f 2 

W46 W49   f 3 
 F0  W20 W20   f 0  f 4    f 2  f 6 

F    0
1 
 4  W2 W2    f1  f 5    f 3  f 7 
f4 
f 5 
f6 

f7 
 F2  W20 W20    f 0  f 4    f 2  f 6  W40 
F    0
1
1 






f

f

f

f
W
W
W
 6  2
1
5
3
7
4 
2 
奇数番目
 F1  W
F  
 3   W
 F5  W
  
 F7  W
0
4
0
4
0
4
0
4
0
4
1
4
2
4
3
4
0
4
2
4
4
4
6
4
W
W
W
W
W
W
W
W
W   f 0 

W    f1 
W   f 2 

W    f 3 
0
4
3
4
6
4
9
4
f 4 W 

f 5 W 
f 6 W 

f 7 W 
0
8
1
8
2
8
3
8
 F1  W20 W20   f 0  f 4 W80   f 2  f 6 W82 
F    0
1
3 
1 
 5  W2 W2    f1  f 5 W8   f 3  f 7 W8 




 F3  W20 W20    f 0  f 4 W80   f 2  f 6 W82 W40 
F    0
1
3
1 
1 




f

f
W

f

f
W
W
W
W
 7  2
1
5
8
3
7
8
4 
2 
2つのN=4のDFTが,N=2のDFT4つに分割できた!
N 1
Fk   f n WNnk
一般に
n 0
WN  e
j
2
N
二つの大きさ半分のDFTに
分割可能
Fk 
N 21
 f
n 0
n
 f n N 2 W
k  0, 2, ..., N  2
nk 2
N 2
Fk 
N 21
  f
n 0

n
nk 2


f
W
W
n
n N 2
N
N 2
k  1, 3, ..., N  1
バタフライ演算(周波数間引きの方法)
添え字の
2進数
表記
000
f0
001
f1
010
011
添え字の
2進数
表記
0
0
2
f2
4
f3
6
0
8
100
f4
W
101
f5
W81
110
f6
W82
111
f7
W83
4
0
4
W
1
4
W
1
7
2
6
0
2
W
1
3
5
W20
5
W40
W41
W20
W20
2進数のビット列の反転
複素数の乗算回数
N
log 2 N
2
000
F4
100
F2
010
F6
110
F1
F5
F3
3
7
F0


F7
001
101
011
111
 F0  W80
F   0
 1  W8
 F2  W80
   0
 F3   W8
 F4  W80
   0
 F5  W8
 F  W 0
 6   80
 F7  W8
W80
W80
W80
W80
W80
W80
W81
W82
W83
W84
W85
W86
W82
W84
W86
W88
W810
W812
W83
W86
W89
W812
W815
W818
W84
W88
W812
W816 W820 W824
W85 W810 W815 W820 W825 W830
W86 W812 W818 W824 W830 W836
W87 W814 W821 W828 W835 W842
W80   f 0 
 
W87   f1 
W814   f 2 
 
W821   f 3 
W828   f 4 
 
W835   f 5 
W842   f 6 
 
49
W8   f 7 
時間 間引きの方法
 F0  W80
F   0
 1  W8
 F2  W80
   0
 F3   W8
 F4  W80
   0
 F5  W8
 F  W 0
 6   80
 F7  W8
W80 W80 W80 W80 W80 W80 W80   f 0 
 
W81 W82 W83 W84 W85 W86 W87   f1 
W82 W84 W86 W80 W82 W84 W86   f 2 
 
W83 W86 W81 W84 W87 W82 W85   f 3 
W84 W80 W84 W80 W84 W80 W84   f 4 
 
W85 W82 W87 W84 W81 W86 W83   f 5 
W86 W84 W82 W80 W86 W84 W82   f 6 
 
7
6
5
4
3
2
1
W8 W8 W8 W8 W8 W8 W8   f 7 
奇数と偶数に並び替え
 F0  W80
F   0
 1  W8
 F2  W80
   0
 F3   W8
 F4  W80
   0
 F5  W8
 F  W 0
 6   80
 F7  W8
W80 W80 W80 W80 0 W80 0 W80 0 W80 0   f 0 
 
W82 W84 W86 W801 W821 W841 W861   f 2 
W84 W80 W84 W80 2 W84 2 W80 2 W84 2   f 4 
 
W86 W84 W82 W803 W863 W843 W823   f 6 
W80 W80 W80 W80 4 W80 4 W80 4 W80 4   f1 
 
2
4
6
05
25
45
65
W8 W8 W8 W8
W8
W8
W8   f 3 
W84 W80 W84 W80 6 W84 6 W80 6 W84 6   f 5 
 
6
4
2
0 7
67
4 7
2 7
W8 W8 W8 W8
W8
W8
W8   f 7 
N=4のDFTに分解
 F0  
F  
 1 
 F2  
  
 F3   
 F4  
  
 F5  
F  
 6 
 F7  
f W
f W
f W
f W
f W
f W
f W
f W
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
8
0
8
0
8
0
8
0
8
0
8
0
8
























 f 2W80  f 4W80  f 6W80  f1W80  f 3W80  f 5W80  f 7W80 W80 

 f 2W82  f 4W84  f 6W86  f1W80  f 3W82  f 5W84  f 7W86 W81 
 f 2W84  f 4W80  f 6W84  f1W80  f 3W84  f 5W80  f 7W84 W82 

 f 2W86  f 4W84  f 6W82  f1W80  f 3W86  f 5W84  f 7W82 W83 
 f 2W80  f 4W80  f 6W80  f1W80  f 3W80  f 5W80  f 7W80 W84 

2
4
6
0
2
4
6
5
 f 2W8  f 4W8  f 6W8  f1W8  f 3W8  f 5W8  f 7W8 W8 
 f 2W86  f 4W84  f 6W82  f1W80  f 3W86  f 5W84  f 7W82 W86 

6
4
2
0
6
4
2
7
 f 2W8  f 4W8  f 6W8  f1W8  f 3W8  f 5W8  f 7W8 W8 
 F0  G0  H 0W80 
F  
1 
G

H
W
1
1
1
8


 
2
 F2  G2  H 2W8 
  
3
F
G

H
W
3 8 
 3   3
 F4  G0  H 0W84 

  
5
F
G

H
W

 5
1
1 8 
 F  G  H W 6 
2 8 
 6  2
 F7  G3  H 3W87 
G0
G1
G2
G3
H0
H1
H2
H3
F0
0
8
W
1
8
W
2
8
W
3
8
W
W84
F1
F2
F3
F4
F5
W85
F6
W86
F7
W87
1
W8?
N=4のDFT
G0  W80
G   0
 1   W8
G2  W80
   0
G3  W8
W80 W80 W80   f 0  W40 W40
  
W82 W84 W86   f 2  W40 W41

W84 W80 W84   f 4  W40 W42
  
W86 W84 W82   f 6  W40 W43
G0  W40
G   0
 1   W4
G2  W40
   0
G3  W4
W40 W40 W40   f 0  W40
  
W42 W41 W43   f 4  W40

W40 W42 W42   f 2  W40
  
W42 W43 W41   f 6  W40




G0   f 0W40  f 4W40
G  
0
2
f
W

f
W
1
0
4
4
4

 
G2   f 0W40  f 4W40
  
0
2
G3   f 0W4  f 4W4
 J 0  K 0W40 

1 
J

K
W
1
1
4


 J 0  K 0W42 

3
 J1  K1W4 
  f W
  f W
  f W
  f W
2
2
2
2
0
4
0
4
0
4
0
4




W40 W40   f 0 
 
W42 W43   f 2 
W40 W42   f 4 
 
W42 W41   f 6 
W40 W40 0 W40 0   f 0 
 
W42 W401 W421   f 4 
W40 W40 2 W40 2   f 2 
 
W42 W403 W423   f 6 
 f 6W40 W40  
 
 f 6W42 W41  

 f 6W40 W42  
 
 f 6W42 W43  
f W
f W
f W
f W
0
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
2












 f 4W20  f 2W20  f 6W20 W40 

 f 4W21  f 2W20  f 6W21 W41 
 f 4W20  f 2W20  f 6W20 W42 

 f 4W21  f 2W20  f 6W21 W43 
N=4のDFT
 H 0  W80
H   0
 1   W8
 H 2  W80
   0
 H 3  W8
W80 W80 W80   f1  W40 W40
  
W82 W84 W86   f 3  W40 W41

W84 W80 W84   f 5  W40 W42
  
W86 W84 W82   f 7  W40 W43
 H 0  W40
H   0
 1   W4
 H 2  W40
   0
 H 3  W4
W40 W40 W40   f1  W40
  
W42 W41 W43   f 5  W40

W40 W42 W42   f 3  W40
  
W42 W43 W41   f 7  W40




 H 0   f1W40  f 5W40
H  
0
2
f
W

f
W
1
1
4
5
4

 
 H 2   f1W40  f 5W40
  
0
2
 H 3   f1W4  f 5W4
 L0  M 0W40 

1 
L

M
W
1
1
4


2
 L0  M 0W4 

3
L

M
W

1 4 
 1
  f W
  f W
  f W
  f W
3
3
3
3
0
4
0
4
0
4
0
4




W40 W40   f1 
 
W42 W43   f 3 
W40 W42   f 5 
 
W42 W41   f 7 
W40 W40 0 W40 0   f1 
 
W42 W401 W421   f 5 
W40 W40 2 W40 2   f 3 
 
W42 W403 W423   f 7 
 f 7W40 W40  
 
 f 7W42 W41  

 f 7W40 W42  
 
 f 7W42 W43  
f W
f W
f W
f W
0
2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1












 f 5W20  f 3W20  f 7W20 W40 

 f 5W21  f 3W20  f 7W21 W41 
 f 5W20  f 3W20  f 7W20 W42 

 f 5W21  f 3W20  f 7W21 W43 
J0
J1
K0
K1
L0
L1
M0
M1
G0
0
4
W
1
4
W
2
4
W
3
4
W
0
4
W
W41
2
4
W
F0
0
8
W
G1
1
8
W
G2
2
8
W
G3
3
8
W
H0
W84
H1
5
8
W
H2
W86
H3
W87
3
4
W
1
W??
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
N=2のDFT
 J 0  W40 W40   f 0  W20
J    0
 0
2 
f
W
W
 1  4
4  4 
W2
 K 0  W40 W40   f 2  W20
 0
K    0
2 
f
W
W
 1  4
4  6 
W2
 L0  W40
L    0
 1  W4
 M 0  W40
M    0
 1  W4
W20   f 0 
 
W21   f 4 
W20   f 2 
 
W21   f 6 
W40   f1  W20 W20   f1 
 
 0
2 
f
W4   5  W2 W21   f 5 
W40   f 3  W20 W20   f 3 
   
 
W42   f 7  W20 W21   f 7 
全体の信号の流れ
f0
f4
f2
f6
f1
f5
f3
f7
J0
W20
1
2
W
0
2
W
1
2
W
0
2
W
1
2
W
0
2
W
1
2
W
J1
K0
K1
L0
L1
M0
M1
G0
W40
1
4
W
2
4
W
3
4
W
0
4
W
1
4
W
2
4
W
3
4
W
1
W??
G1
G2
G3
H0
H1
H2
H3
F0
W80
1
8
W
2
8
W
3
8
W
W84
W85
W86
W87
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
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