電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
補足)ラプラス変換における初期条件の扱い
1. キャパシタの初期電荷
+ の意味
i(t)
q(0)
C
v(t)
初期電荷 q(0)により発生する電圧
が v(t)と同一方向なら +、逆なら ‒
流れる電流と両端の電圧との関係は、
v(t ) 
1 t
1
i
(
t
)
dt

C 
C

0

t
 C1  q(0)   i(t)dt 
i (t )dt   i (t )dt 
0
t
0
これをラプラス変換すると、


t
1
 q(0) I ( s )
£v(t ) £ q(0)   i (t )dt 

0
C
sC
sC
2. コイルの初期電流
流れる電流と両端の電圧との関係は、
i(0)
i(t)
L
v(t )  L
v(t)
di (t )
dt
初期電流 i(0)が i(t)と同一方向なら ‒、逆なら +
これをラプラス変換すると、
£v(t )  sLI (s)  Li(0)
ラプラス変換による過渡現象の解析
3. RLC直列回路の過渡現象
R
i(0)
e(t)
E(s)
図に示すRLC直列回路において、任意の電圧 e(t)
で励振した時の電流を i(t) とすると、閉路方程式は、
L
i(t)
I(s)
e(t )  Ri (t )  L
q(0)
C
di (t ) 1
  i (t )dt で与えられる。
dt
C
この式をラプラス変換すると、
E ( s)  RI ( s)  LsI ( s)  i (0)  
1
I (s)  q(0)
sC
となる。
ただし、 I (s) £i(t ), E (s) £e(t ) とした。
従って、I(s) について解くと、
全ての初期条件を 0 とすると、
I (s) 
E ( s)  Li(0) 
q(0)
sC
1
R  sL 
sC
E ( s)
E ( s)
I ( s) 

1
Z ( s)
R  sL 
sC
Z(s) は回路のインピーダンスを表わす。
となる。
となり、
ラプラス変換による過渡現象の解析
例 6.3.1
S
t=0 R
左図の回路で、t = 0 でスイッチを閉じて直流
電圧 E0 を印加する。
L
i(0)
i(t)
I(s)
E0
q(0)
C
この式をラプラス逆変換するには、
e(t )  E0u1 (t ) かつ i(0)  0 としてよいから、
E0 q(0)

E0
sC
£e(t ) 
より、 I ( s)  s
となる。
s
1
R  sL 
sC
E0 q(0)
q(0)

E0 
1
sC 
C
I ( s)  s
1
R
1
L
R  sL 
s2  s 
sC
L
LC
ラプラス変換表(教科書の表5.2)の(32)の関係
を用いて、 K 
q(0)
C
L
E0 
R

2L
と変形し、
 K t


£
e
sin

t

s   2   2  

K
K t
1
R2
 
 2 とみなすと、 i(t )  e sin t

LC 4 L
となる。
2
ラプラス変換による過渡現象の解析
ロピタルの定理より、
d (sin  t )
2
1
R
sin  t
d
2 
 2  0 であるから、
lim
 lim
 lim t cos  t  t
LC 4 L
 0
 0
 0
d

d
q(0)
E0 
R
sin t
C te  2 L t
となる。
i (t )  lim Ke t
 Kte t 
 0

L
(a) 臨界減衰( R2 = 4L/C )の場合には、
(b) 過減衰( R2 > 4L/C )の場合には、
1
R2
 
 2 0
LC 4 L
2
i(t ) 
K

であるから、 sin ja  j sinh a の関係を用いると、
e t sin t 
K

e t sinh  t
となる。
(c) 振動減衰( R2 < 4L/C )の場合には、
1
R2
 

0
LC 4 L2
2
であるから、
i(t ) 
K

e t sin t 
K

e t sin  t
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
例 6.3.2
RLC直列回路で、時刻 t = 0 にスイッチを閉じて、正弦波電圧 Emsinω1t を印加する。
そのとき £e(t ) 
Em1
であり、かつ簡単のために q(0) = 0, i(0) = 0 とすれば、
s 2  12
電流は、 I ( s) 
Em1
L
s


R
1 

s 2  12 s 2  s 

L
LC 

で与えられる。
この式のラプラス逆変換は、表5.2(36)の表関数 f(t) を微分した df(t)/dt に、
E 
R
1  R
  , 2 
   ,   1 を代入し、係数 m 1 を乗じたものに等しい。
L
2L
LC  2L 
2
ラプラス変換表5.2の(36)の関係式は、
1

1 t




sin

t



e
sin

t



1
2 
2
2
2 2
2 2 


      4 

1

tan1 
2
 2
,
tan


2
2   2  2
2  2  2
s
2
 2
1
s   2   2


ラプラス変換による過渡現象の解析
この表関数を微分すると



cos t  1   e t sin  t   2   e t cos t   2 

2


 2   2   2  4 2 2 
1


従って、



i(t )  Em Y cos t  1   e t  sin  t   2   cos t   2 



1
1
L
Y


ただし、
2
2
2
 1
 R  2


1
2
 1   4  1


R 2   1 L 
 LC

 2L 

C
1 

2
R
1  R
  , 2 
   ,   1
2L
LC  2L 
また tan  3 

と置いて、

ラプラス変換による過渡現象の解析
 



i (t )  Em Y sin   t  1    e t  sin  t   2   cos t   2 
2


 
 


   2   2 t
tan  3 
 Em Y sin   t  1   
e sin  t   2  3 

2

 




1
t

'



,  2'   2   3
 Em Y sin 1t  1'  
e sin  t   2' 
1
1
2
 LC


1
R

L

1
1
2
CR1
1C
L
tan1  2



t
an

'

1
2
1
   2  2
1

LC

2
R
1
 1
LC
R
 1
 2
 2 LCR1
L
tan 2  2


2
  2  2
CR 2  2 L  2 L2C12
1
 R 
2
2  
 1
1 

 12 
 2 L  LC

LC 

 tan 2' 
1 

 12 

LC 

ラプラス変換による過渡現象の解析
i(t) の式


1
t
i(t )  Em Y sin 1t  1'  
e sin  t  2' 

LC


励振周波数 ω1 で
振動を続ける定常項
過渡項
自由振動周波数は β
i(t) の時間変化を以下の図に示す。(ただし、ω12 = 1/LC、かつ ω1 ≈ β の場合)
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第2章の章末問題2.2の解答に誤りがあります。ラプラス変換を用いて、正しい
答えを導いてみよう。
閉路方程式は、
RC直列回路の場合
R
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)

e(t )  Ee
q(0)
C
t
T
 Ri(t ) 
1
i(t )dt
C
両辺をラプラス変換すると、
E ( s) 
E
s
1
T
 RI (s) 
1
I (s)  q(0)
sC
I(s) について解くと、
E
I ( s) 
s
1
T

R
q(0)
sC
1
sC
となり、
CE
 q(0)
1
1
sCTE
q(0)
sT



1  sCR 1  sT  1  sCR
1  sCR
ここで、 時定数 CR = τ と置くと、
ラプラス変換による過渡現象の解析
I ( s) 
s
CE
q(0)
sCTE
q(0)



 
1  s 1  sT  1  s  s  1  s  1  s  1




   T 
従って、表5.2のラプラス変換表の式(18)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換
すると、
 1 t 1  Tt  q (0) t
 e  e 
i (t ) 
e


1
1

T
 
 
 T
t
t
CE  1  1  Tt  q (0) 
 e  e 

  e
  
T

1
T
t
t
t
 
CE  T 
q ( 0)  
T
 e e 

と求まる。
  e
T    

CE
1
ラプラス変換による過渡現象の解析
同様にRL直列回路の場合、閉路方程式は、
t
R

di(t )
e(t )  Ee T  Ri(t )  L
となり、
dt
i(0)
e(t)
i(t)
両辺をラプラス変換すると、
L
E(s)
I(s)
E
E ( s) 
 RI (s)  LsI (s)  i(0) 
1
s
T
I(s) について解くと、
E
 Li(0)
1
s
T
I ( s) 

R  sL
E
E
Li(0)
i (0)
L



R
R  sL  s  1  R  sL  s  R  s  1  s 
L
L  T 
 T

E
L
i(0)
L

ここで、 時定数
= τ と置くと、 I ( s) 
1
R
1
 1 
s

s

s





   T 
ラプラス変換による過渡現象の解析
E
i(0)
L
I ( s) 

1
1
 1 
s

s

s





   T 
従って、表5.2のラプラス変換表の式(17)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換
すると、
t
t
t

 
E 1  
 e  e T   i (0)e 
i (t ) 

L 1  1 

T 
t
t
t

 
E T  
 e  e T   i (0)e 


L   T 

E T

R  T
t

 t
e  e T


t


  i (0)e  と求まる。


ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.6
スイッチを閉じた後の閉路方程式は、 
ラプラス変換は、 
1
1
i
(
t
)
dt

i(t )dt  Ri(t ) であり、
C1 
C2 
1
V
1
V
I ( s)  1 
I ( s)  2  RI ( s)
sC1
s sC2
s
となる。
V1  V2
V1  V2
V1  V2
R
I
(
s
)



I(s) について解くと、
1
1
C  C2
C  C2
sR 

sR  1
s 1
C2 C1
C1C2
C1C2 R
C1 C2
t
V V 
ラプラス逆変換すると、 i(t )  1 2 e C1C2 R
R
となる。
1 t
C1V1  C2V2 C2 V1  V2   C1C2 R t
vC1 (t )  V1   i (t )dt 

e
C1  C2 
C1 0
C1  C2
C1  C2
1
vC2 (t )  V2 
C2
C1V1  C2V2 C1 V1  V2   C1C2 R t
0 i(t )dt  C1  C2  C1  C2  e
t
C1  C2
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.7
スイッチを閉じた瞬間、キャパシタ C1 からキャパシタ C2 に無限大の電流が流れて、
キャパシタ C2 が瞬間的に充電され、キャパシタ C1 とキャパシタ C2 の電圧が等しく
なる。その時、スイッチを閉じる前後で電荷量は不変である。その後は、両キャパシタ
から R に電流が流れ、蓄えられた電荷は放電される。スイッチを閉じた直後の両キャ
パシタの電圧 V0 は、
V0 
C1V1
C1  C2
である。
その後は単に、並列接続されたキャパシタ C1, C2 と、R からなる CR 直列回路で
あるから、
t
t

V0  C1 C2 R
C1V1
i(t )  e

e C1 C2 R
C1  C2 R
R
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.8
(a)の場合の回路は下図のようになる。
S
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、
t=0 R
1
(i) 定常電流
i1(t)
E0
C
(ii) 過渡電流
i2(t)
Rl
定常状態では、キャパシタ C は完全に充電
或いは放電された状態にあり、電流は流れ
ないので、無いものと考えてよい。従って Rl
に流れる定常電流 i2 は、
E0
E
i2 
 0
R1  Rl 2 R
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
E0  Ri1  i2   Ri 2 ,
1
i1dt  Ri 2

C
このラプラス変換は、C の初期電荷が 0 であるから、
E0
1
 RI1  I 2   RI 2 ,
I1  RI 2
となる。
s
sC
ラプラス変換による過渡現象の解析
このラプラス逆変換は、
これを I2 に対して解くと、
E
1
I 2  02
2 
CR 
s s 

CR


2
2
 t
 t

E0 CR 
E
0
1  e CR  
1  e CR 
i2 
2




CR 2 
 2R 

となり、電流 i2 が求まる。右辺の第2項が
過渡電流である。
(b)の場合の回路は下図のようになる。
S
C0
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R, C0 = C と置く、
(i) 定常電流
t=0 R
1
q0
i1(t) C
i2(t)
Rl
定常状態では、キャパシタ C0 に蓄えられて
いた電荷は完全に放電された状態にあるの
で、電流は流れない。従って定常電流 i2 は
0 である。
(ii) 過渡電流
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。

1
1
i1  i2 dt  Ri2
i
dt

Ri

Ri
,
1
1
2
C
C
ラプラス変換による過渡現象の解析
このラプラス変換は、 C0 の初期電荷が q0、C の初期電荷が 0 であるから、

q
1
I1  0  RI 1  RI 2 ,
sC
C
I2 
1
I1  I 2   RI 2
sC
となり、これを I2 に対して解くと、
sq0
q0
s

s 2C 2 R 2  s3CR  1 C 2 R 2 s 2  s 3  1
CR C 2 R 2
となる。
表5.2の(14)の関係式を変位定理を用いて加工すると、


s
s
 bt
-1 
£-1 

£
 e cosh at

2
2
2
2
2

 s  s 2b  b  a 
 s  b   a 
従って上式で、 b  
という関係が得られる。
3
1
5
, b 2  a 2  2 2 , 即ち a 
2CR
C R
2CR
と置くと、
I2 のラプラス逆変換より電流 i2 は、
3
q0  2CR t
5
i2  2 2 e
cosh
t
C R
2CR
と求まる。これが電流 i2 の過渡電流である。
ラプラス変換による過渡現象の解析
(c)の場合の回路は下図のようになる。
S
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、
t=0 R
1
(i) 定常電流
e(t)
i1(t) C
i2(t)
Rl
1
e(t )
e(t )
jC
i2 

2
R
1
2
R

j

CR
R
R
1  jCR
jC
Em sin t
Em
1


sin t   
2 R  jCR 2
R 4  CR 2
となる。ただし、 tan  
CR
2
(ii) 過渡電流
e(t) のラプラス変換は、 £e(t ) £Em sin t  
従って、電流 i2 のラプラス変換は、 I 2 
Em
CR 2
Em
s2   2



2 

s  s 

CR 

2
2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
表5.2の(27)の関係式を用いて、 a   , b 
2
CR
と置くことにより、


2
 t


1
e CR
1
CR
-1

£

sin t   , tan 
2
4
 s2   2  s  2    2  4
2





2

CR 
 CR  
CR 2


従って、電流 i2 のラプラス逆変換は、
i2 
Em

2
t
CR
Em
e

R CR 2  4 R
1
CR 
左辺の第1項が過渡電流である。
2
4
sin t   , tan 
CR
2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.11
スイッチを開く前の定常状態での電流(初期電流) i(0) は、 i (0) 
スイッチを開いた後では、
E  L1
di (t )
di (t )
 Ri (t )  L2
dt
dt
E
R
の閉路方程式が成り立つ。
E
コイル L1 の初期電流が i (0)  、コイル L2 の初期電流が 0 であることに注意して
R
これをラプラス変換するすると、
E
E

 L1  sI ( s)    RI ( s)  sL2 I ( s)
s
R

となり、I(s) について解くと、
E L1 E

E
1
LE
1
R
I (s)  s

 1
sL1  L2   R s sL1  L2   R
R sL1  L2   R

E
1
L1 E
1

L1  L2 
R  RL1  L2  s  R

s s 
L1  L2
L1  L2 

ラプラス変換による過渡現象の解析
従って i(t) は、
R
R
R

t

t

t
E 
L1 E
E 
L2
L1  L2 
L1  L2
L1  L2 
i(t ) 
1 e

e

1
e




R
R  L1  L2
 RL1  L2 

これを図示すると、
i(t)
E
R
EL1
RL1  L2 
0
t
スイッチを入れる前後での鎖交磁束 ϕbefore, ϕafter を比較してみると、
before  L1
E
EL1
EL
, after  L1  L2 
 1
R
RL1  L2 
R
となり、鎖交磁束不変の理が成り立っていることが分かる。
と求まる。
講義日程と内容
日程 (回目)
山
田
大
寺
先
生
講義内容
教科書の章との対応
1)
2)
4/8 (第1回) RL, RC回路の過渡現象
2.1, 2.2
4/15 (第2回) RLC回路の過渡現象
2.3, 2.4
4/22 (第3回) ラプラス変換
5.1, 5.2
5/9 (第4回) 過渡現象とラプラス変換
6.1~6.2
5/13 (第5回) 過渡現象とラプラス変換の続きと演習
6.3
5/20 (第6回) まとめと演習
6章の章末問題 5/27 (第7回) 過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析 5.3~5.5, 7.1 6/3 (第8回) 微分、積分回路、二次系の伝達特性
7.2 ~7.4
6/10 (第9回) RLC回路、インパルス・ステップ・任意波形応答 7.5, 7.7~7.9 6/17 (第10回) フーリエ変換
4.1, 4.2
6/24 (第11回) フーリエ変換、信号波解析
4.3
7/1 (第12回) フーリエ変換と演習
4.5
7/8 (第13回) 歪波交流
3.1, 3.2
7/15 (第14回) 歪波交流回路の計算と演習
3.4
7/22 (第15回) まとめと演習
定期試験
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