因果推論のための統計モデルとその推測法
&KBS京都 合同研究会
日時:2003年3月4日(火)13:30-17:30
於:京都大学医学部
構造方程式モデルと因果推論
狩野 裕
大阪大学 大学院人間学研究科
行動データ科学研究分野
1
2
Agenda
•
•
•
•
•
同値モデルと因果の方向
傾向スコア
因果と欠測:Rubinの枠組み
まとめ
(Lordのパラドックスへの応用)
3
同値モデルと因果の方向
相関係数から因果の方向は決まらない
---同値モデルの問題--相関構造
X
Y
X
1
r
Y
r
1
• データから区別できないモデルを同値モデルという
• 「区別できない」とは適合度が同一であることをいう
4
5
同値モデル例
6
因果の方向を決める:
操作変数法(Instrumental variable method)
相関構造
X
Y
Z
X
1
Y
b12
1
相関構造
Z
b13
0
1
X
Y
Z
X
1
Y
b21
1
Z
b13
b21b13
1
因果の方向を決める:適合度との関係
適合度が低い
適合度が高い
X→Y の因果関係が示唆される
7
8
操作変数法とは
• X,Yのいずれかに影響を及ぼし,他方へ
の直接効果をもたない変数Z(操作変数)
を観測する
• X,Y,Zの相関構造から,X→Y or X←Y
を判断する
双方向因果モデル(非逐次モデル)
9
10
例1:政治的社会化モデル
出典:Asher(1976). Causal Modeling. Sage
11
例2:Attractiveness implies
perceived academic ability?
出展:
AMOSマニュアル
12
双方向因果モデルの基礎仮定
 X   0 b12   X  b13 Z1  e1 

 


Y   b


0  Y  b24 Z 2  e2 
 
21

   
y
y
e
B
z
 y  By  z  e
y t 1  By t  z  e t

y  By  z  e

y  ( I  B ) 1 z  e 
(t  0,1,2,  , )
双方向因果モデルの解釈
y t 1  By t  z  et
13
(t  0,1,2, , )

y t 1  BBy t 1  z  et 1   z  e t
 B 2 y t 1  Bz  Bet 1  z  e t
 B 2 y t 1  B  I z  Bet 1  et
y  ( I  B)1 z  e

t
t




t 1
k
k
 B y 0    B  z    B e t  k 
 k 0 
 k 0

t
t



t 1
k
k
 B y 0    B z    B  e
 k 0 
 k 0 
d
 I  B  z  e 
1
y 0  0
et~Normal
双方向因果モデルの基礎仮定
y t 1  By t  z  et
(t  0,1,2,, )
lim y t  I  B  z  e 
1
t 
y  ( I  B)1 z  e
• X,Yは,ある初期値(0)からスタートして,
相互に無限回,影響し合った結果である
• 影響の大きさは変化せずBである
– XとYの相互の影響関係が安定しているべき
14
15
構造方程式モデリングによる
因果の決定
• 因果の方向に興味があるとき
– 当該モデルが適合する
– 対立モデルが適合しない
• 対立モデルが同値モデルにならないような
モデリングが必要
– そのための方法が操作変数(道具的変数)の
導入
16
有効性
• 因果を決定したのか
– 三択である
• X→Y,X←Y,X←→Yのいずれか
– 本来は四択である
• X→Y,X←Y,X←→Y, 「因果関係にない」
– 観察データ,横断的データの分析の限界
• 交絡変数
• 縦断的データでは時間軸が利用できる
• 因果の大きさ
– R2が小さいことがある
• R2=0.1でもモデルは適合する
• XはYの「主要な」原因でとは言えない
17
例1:交絡変数はこわい
盛山(1986,行動計量
学)
18
例2:因果方向決定にも影響
X
Y
Z
X
1
*
*
Y
Z
1
0
1
誤ってY→Xと結論
してしまう
19
縦断的データの利用
• 2時点でデータをとり,時間差を利用する
– 民主主義⇒経済発展 or 経済発展⇒民主主義
Lord の
パラドックス
20
まとめ
• 横断的データに基づいて,因果の方向について
言及するモデリングがある
– X→Y or Y→ Xのモデルの適合度を比較する
• 同値モデルにならないようなモデリング
• 操作変数法
– 欠点
• 交絡変数の影響を無視し得ない
• 操作変数となるための条件が満足されているか
• 縦断的データに基づくモデリングの方が説得性
が高いと考えられている
21
傾向スコア
22
傾向スコア
• 調査(or 実験)研究において
– X:二値の原因変数
– Y:結果変数(連続)
– Z1,Z2,… :交絡変数
• 傾向スコア(propensity score)
– by Rosenbaum-Rubin (Biometrika, 1983)
– e(z)=E[X=1|Z1,Z2,…]
– X || Z | e(z)
23
傾向スコアの性質
重症度
治癒日数
重症度
年齢
年齢
…
…
患者の
希望
投薬の
有無
患者の
希望
治癒日数
投薬の
有無
Given e(Z1,Z2,…)
• 「Z→Y」の関係は線型に限らない
• 「X→Y」の関係は傾向スコアに依存してもよい
24
傾向スコアと因果
治
療
日
数
e(z)=0.8
e(z)=0.5
e(z)=0.2
X=0
非服用
X=1
服用
25
傾向スコアの利用
• 交絡変数zが多い場合はe(z)の利用が有効
– サブグループ化
• e(z)の値の近い被験者をグループ化してX=0,1を比較
– マッチング
• e(z)の値の近い被験者でX=0とX=1を割付けられたものを
組にし,対応のあるデータの分析を行う
• e(z)の推定
– ロジスティック回帰分析の利用
• strongly ignorableの仮定
– zを与えた下で,バランスがとれた割付けがなされている
• zがすべての交絡要因を含んでいる
26
構造方程式モデリングでは
• 従属二値変数をプロビット法によってモデリング
– Mx, EQS, LISREL
– zのYへの影響もモデリング(線型)できている
Z1
Y
Z2
…
Zm
X=1,0
27
まとめ
• 傾向スコア
– 高次元の交絡変数zを1次元に落とす
• マッチングやサブグループ化を容易にする
– zからYへのモデリングが不要
• 適切にモデリングできるなら,した方が良い
• SEM
– zを調整する基本モデルを提供
• 線型モデル
• zとXの交互作用は検出しない
Z1
Y
Z2
…
Zm
X=1,0
28
因果と欠測:Rubinの枠組み
29
Rubinの枠組み(1)
• コントロール群と処理群を比較する
• 例
– P[治癒(Y=1)|投薬なし] vs P[治癒(Y=1)|投薬あり]
– 体重Y|一般的な食事 vs 体重Y|特別な食事
• 記号
– 母集団:P
– 母集団の構成要素(unit):u
– Yx=0(u) vs Yx=1(u)
• X=0: control, X=1: treatment
• Unit-level Causal Effect
30
因果推論の基本的問題
• Unit-level Causal Effect
– 同一患者に「投薬あり」と「投薬なし」の割付け
は不可能
– 一方は必ず欠測
– 因果推論の基本的問題という(e.g., Holland 1986)
(fundamental problem of causal inference)
31
Rubinの枠組み(2)
• Average Causal Effect
– EP[Yx=0] vs EP[Yx=1]
– Pのunit全部に「X=0 と X=1」 を割付ける
– 母因果効果とよんでもよいかも
• 因果推論の基本的問題は依然として存在
– 上記のような割付けは不可能
• 必ず欠測がある
32
データの構造と欠測
被験者番号
X 0
1  m
y01  y0 m
m 1  n
y0,m 1 欠 
測 y0 n
X 1
X
y11 欠測 y1m
0  0
y1,m 1 
1

y1n
1

zn
z
z:共変量
z1

zm
z m 1
33
Average Causal Effectの推定
• 推定可能性は欠測のあり方に依存
– 欠測のメカニズム or 割付けのメカニズムが重要
• 無作為に欠測する場合は推定可能
– MCAR
– X=0,1を無作為に割付けることと同等
• MARの場合の推測は,どのようにすればよいか
– zの効果のモデリング
– すべての観測値に基づく最尤法
34
復習:欠測のパターン
• Missing Completely At Random (MCAR)
– どの値が欠測するかは完全にランダムである
• Missing At Random (MAR)
– どの値が欠測するかはデータに依存してもよいが,
欠測した値には依存しない
– 最尤法(FIML)の適用が薦められる
• Non‐ignorable Missing
– どの値が欠測するかが欠測した値にも依存する
– 欠測のメカニズムにモデリングが必要
35
欠測(割付け)のあり様
重症度
治癒日数
年齢
治癒日数
年齢
…
患者の
希望
重症度
…
投薬の
有無
患者の
希望
投薬の
有無
MAR
MCAR
X=0,1をZに応じて割付ける
X=0,1を無作為に割付ける
36
MARでは
• 単なる治癒率の比較に疑問
– 重症患者が投薬を選択
– 軽症患者は非投薬を選択
重症度
治癒日数
年齢
…
患者の
希望
投薬の
有無
37
Average Causal Effectの推定
---MARの場合--• strongly ignorable given z (RosenbaumRubin,1983)
– zが与えられた下では
• Missing Completely At Random
• (無作為に)バランスよく X=0,1 が割付けられている
– X=0,1が,zにのみ依存しYには直接関係しない
• Missing At Random
– 最尤法が有効
Y 
 Y0 
 
 Y1 
||
XZ
 0 
 Y1 
X
Z
Xは,Zからのみ直接的な
影響を受ける
⇒MAR ⇒最尤法
1  m
X  0 y01  y0 m
最尤法
X  1 y11 欠測y1m
X
0  0
z
z1
 zm
m 1  n
y0,m 欠
1 
測 y0 n
y1,m 1  y1n
1
 1
z m 1
 zn
  y0  h0 (Z) 
 Y0 
 Y0 
 
  
~ N 2   ; 
,  

 Y1  X ,Z  Y1  Z
  y1  h1 (Z)  

  y0  h0 (Z) 
(Y0 , Y1 , X , Z) ~ N 2   ; 
,  

  y1  h1 (Z)  
 P ( X  1 | Z) x P ( X  0 | Z)1 x g (Z)
Observedlikelihood
m
 N(y
0i
; h0 (Z), 00 )P ( X  0 | Z i ) g (Z i )
i 1
n
  N ( y1i ; h1 (Z), 11 )P ( X  1 | Z i ) g (Z i )
i  m 1
38
39
SEMとの関係
m
 N(y
0i
; h0 (Z), 00 )P( X  0 | Zi ) g (Zi )
i 1
n
  N ( y1i ; h1 (Z), 11 )P( X  1 | Zi ) g (Zi )
i  m 1
以下の仮定のもとで解くのがSEM
h0 (Z)   0  a' Z,
Z1
h1 (Z)  1  a' Z,
Z2
 00   11
…
P ( X  1 | Z)   ( b' Z)
g (Z) ~ Normal
多母集団の同時分析も可能
Zm
Y
X=1,0
40
Rubinの因果推論の要点
• コントロール群と処理(実験)群の比較
– 「コントロール」という概念が必ず必要
– 各群への曝露可能性が必要
• 属性変数は考慮外
• 個人内の比較に基礎をおく
– Unit-level Causal Effect
– Average Causal Effect
• 母集団の全ての構成要素に,全ての水準を
割付けるという仮想的な状況
41
欠測と因果のまとめ
• 割付けと欠測は同値
– MCAR…無作為割付け
– MAR…割付けが第三変数zに影響される
• strongly ignorable given z
– zが与えられた下で無作為割付け
– すべての交絡変数zが観測されている
• 推測方法
– MCAR:zの影響は無視可能
– MAR: 観測データに基づく最尤法
• SEMの役割
– MARの下で,基本的なモデルを提供
Z1
Y
Z2
…
Zm
X=1,0
42
まとめ
• 因果と予測はまったくの別物
– 研究目的に合わせてどちらが必要かを検討
• 因果:同一個体において,Xを強制的に変化させる.
交絡変数の値は留まっている
• 予測:Xの値の違いは別の個体を意味.交絡変数の値は
異なる
• 交絡変数の統制
– 因果効果の評価は,交絡変数によって致命的な
ダメージを受ける
– 回帰分析が重要な武器だが,パス解析がより有用
43
• 因果の評価は経時データが基本
– 実験は二時点の経時データ
– 横断的データしかとれないことがある
– 横断的データによる因果分析の手法もある
• 交絡変数が全てモデル化されているという強い仮定
• SEMによるモデリングは,調査研究の弱点である
交絡変数の影響を受ける
– モデル構築の段階で,因果仮説を十分に吟味し,
重要な影響を与える変数を分析から落とさない
• データを採る前が大事
• 調査研究は積み重ねることが重要
44
• Rubinの因果
– コントロール群と処理群の比較
– 個人内の比較に基礎
– 各群への曝露可能性が必要
• 属性変数は対象外
• 連続原因変数は対象外
– 欠測データの分析理論(MAR)を援用
参考文献
•
•
•
•
•
•
Bollen, K. A. (1989). Structural Equations with Latent Variables.
Wiley: New York
Bullock, H. E., Harlow, L. L. & Mulaik, S. A. (1994). Causal issues in
structural equation modeling research. Structural Equation Modeling,
1, 253-267
Holland, P. W. (1986). Statistics and causal inference (with
discussion). Journal of the American Statistical Association, 81,
945-970
Holland, P. M. & Rubin, D. B. (1983). On Lord’s Paradox. In
Principles of Modern Psychological Measurement (Wainer & Messick,
Eds.), pp.3-35. Erbaum.
Lord, F. M. (1967). A paradox in the interpretation of group
comparison. Psych. Bull. 68, 304-305.
Mulaik, S. A. & James, L. R. (1995). Objectivity and reasoning in
science and structural equation modeling. In Structural Equation
Modeling: Concepts, Issues, and Applications, (Hoyle, H., Ed.),
pp.118-137. Sage Publications: CA
45
46
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Rosenbaum, P. R. & Rubin, D. B. (1983). The central role of the
propensity score in observational studies for causal effects.
Biometrika, 70, 41-55
Wainer, H.(1991). Adjusting for differential base rate: Lord's paradox
again. Psych. Bull. 109, 147-151.
岩崎 学(2002). 不完全データの統計解析.エコノミスト社
狩野裕 (2002). 「構造方程式モデリング,因果推論,そして非正規
性」 竹内啓 (編著) 多変量解析の展開 -- 隠れた構造と因果を推理
する – Part II.岩波書店
佐藤俊哉・松山裕 (2002). 「疫学・臨床研究における因果推論」 竹内
啓 (編著) 多変量解析の展開 -- 隠れた構造と因果を推理する –
Part III.岩波書店
盛山和夫 (1986). 社会学における因果推論の問題 --- パスモデル
におけるloopをめぐって.行動計量学,14, 71-78
竹内啓(1986). 因果関係と統計的方法.行動計量学,14, 85-90
豊田秀樹(1998). 共分散構造分析[入門編].朝倉書店
宮川雅巳 (1997). グラフィカルモデリング.朝倉書店
47
MARについての補遺
• Missing At Random (MAR)
– どの値が欠測するかはデータに依存しても
よいが,欠測した値には依存しない
– 最尤法(FIML)の適用が薦められる
R : missing indicator( R  X )
f ( R | Yobs , Ymis )  f ( R | Yobs )
f ( R | Yobs , Ymis , Z )  f ( R | Z )
48
おわり
49
Lord のパラドックスへの応用
Lord(1967) Psych. Bull.
Holland & Rubin (1983)
Wainer (1991) Psych. Bull.
50
状況
• 大学寮の食事が寮生の体重に及ぼす
影響の性差を検討する
• データ
– 入寮時の体重と1年後の体重
– 男女
51
分析
• Statistician 1: not significant
男0女1
体重(1年後)-体重(入寮)
• Statistician 2: significant
男0女1
体重(入寮)
体重(1年後)
52
散布図
1
年
後
の
体
重
男
・
・
女
0
Y  am  X  
E[ X ]  60kg
Y  a f  X  
E[ X ]  50kg
入寮時の体重
53
記述的(予測)解釈
• Statistician 1
– 大学寮において体重の変化の平均に
性差はない
• Statistician 2
– 入寮時に体重が等しい男女において
1年後は男性の方がより重い
– 回帰効果
• 両者ともコントロール群が設定されていない
Statistician 2の解釈
男
1
年
後
の
体
重
・
・
平均への回帰
女
0
入寮時の体重
54
55
記述的解釈の考察
• 回帰効果に強く依存するStat2の解釈は
受容できるか?
– 重い学生は重いまま,軽い学生も軽いまま
• 大学寮の調査の目的は「寮の食事」の
効果・問題の洗い出し
– 結論は寮固有のものか?
– 寮生以外でも同じ結論かも
• コントロール群との比較を考慮する
「因果」の検証が必要
56
Rubinの枠組み
•
•
•
•
•
母集団
処理
コントロール
割付け
データ
当該大学の寮生
寮の食事を摂取(x=1)
一般の食事を摂取(x=0)
全て寮の食事を摂取(x=1)
– 性別…. G=1,2(male or female)
– Y ……... 1年後の体重
– Z ……... 入寮時の体重
57
Rubinの枠組みとStatistician1
• Average Causal Effect
– 男性の因果効果: M=EP[Yx=1 |男] - EP[Yx=0 |男]
– 女性の因果効果: F=EP[Yx=1 |女] - EP[Yx=0 |女]
– これらの差 M-F が評価したいもの
• Statistician 1
– EP[Yx=1 -Z|男] vs EP[Yx=1 -Z|女]
– 暗に仮定されていたのは
• Yx=0 = Z
58
Rubinの枠組みとStatistician2
• Average Causal Effect
– 男性の因果効果: M=EP[Yx=1 |男] - EP[Yx=0 |男]
– 女性の因果効果: F=EP[Yx=1 |女] - EP[Yx=0 |女]
– これらの差 M-F が評価したいもの
• Statistician 2
– EP[Yx=1 -(a+bZ)|男] vs EP[Yx=1 -(a+bZ)|女]
– 暗に仮定されていたのは
• Yx=0 = a+bZ
59
因果効果
• コントロール群の仮定
– 仮定1: Yx=0 = Z
– 仮定2: Yx=0 = a+bZ
• 因果効果が推定できる
– 仮定1のもとで,大学寮の食事の体重への効果に
ついて性差はない
– 仮定2のもとで,大学寮の食事の体重への効果に
ついての性差は,そうでない食事と比して異なる
• 同一体重の男女が入寮すれば,男性の方がより重くなるが,
その程度(性差)は一般の食事よりも大きい
• 両仮定とも現データからは検証不可能
60
Statistician 2の解釈
男
1
年
後
の
体
重
コントロール群
・
y  a  bz
・
女
0
平均への回帰
入寮時の体重
61
2つの仮定(1)
• 両仮定とも現データからは検証不可能
– 他からの情報,または,納得・了解
実線:平均
破線:個体
青:男性
赤:女性
入寮時
1年後
Yx=0 = Z
入寮時
1年後
Yx=0 = a+bZ
62
2つの仮定(2)
• Yx=0 := a+bZとすることの問題点
– 回帰効果の妥当性
– コントロールの推定が処理群Yx=1のデータを
使って行われている
• aとbは,Yx=1をZの上へ回帰させて計算
入寮時
1年後
63
Lordのパラドックスのまとめ
• 記述的解釈の問題は小さい
– 1:体重の変化量に性差はない
– 2:入寮時にzが同じ場合,男性の方がより高い
• 回帰効果の妥当性
– 記述的解釈の結論で目的を達するのか?
• 寮外の食事との比較が必要なときは因果
効果の検討が必要
64
• 因果効果の評価
– 両分析では,コントロール群に関する仮定が
異なる
• 1:
• 2:
Yx=0 = Z
Yx=0 = a+bZ
– 両仮定ともに不適切
• 現データによる検証は不可能
• 仮定Yx=0 = a+bZについては回帰効果の
妥当性にも依存
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