ディジタル信号処理
デザイン情報学科 メディア情報設計
河原英紀
2002.6.20
ディジタル信号処理
1
本日の予定
レポートから
課題の解答
離散的Fourier変換


性質
窓関数
高速Fourier変換
(Fast Fourier Transform)
2002.6.20
ディジタル信号処理
2
離散的Fourier変換
Discrete Fourier Transform (DFT)

(後で出てくるFFTは、DFTを高速化したもの。
計算している内容はDFTと同じ)
DFTは、周期的な離散信号のFourier変換
0 以外の整数
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ディジタル信号処理
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複素指数関数を用いた表現
標本点と同じ個数の
複素指数関数の和で表すことができる
2002.6.20
ディジタル信号処理
4
複素指数関数の係数を求める
直交性を利用して計算する
2002.6.20
ディジタル信号処理
5
離散的複素指数関数の直交性
課題:等比級数の部分和の公式を利用して
上記の関係が成立することを確かめよ。
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ディジタル信号処理
6
直交性の確認(課題1)
N1
部分和の公式
N
1
r
 r  1 r  1 r
n 0
n
N
1 r

1 r
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ディジタル信号処理
[r  1]
7
直交性の確認(課題1)
部分和の公式
re
j
2  (k r)
N
と置くと→
(k  r)  mN
の場合→
2002.6.20
N1
N
1 r
 r  1 r
n 0
n

r  e

N
[r  1]
2 (k r ) N
j
N

  e j 2  (k r)  1

N1
N
1 r
 r  1 r
n 0
n
ディジタル信号処理
11
=
0
1 r
8
直交性の確認(課題1)
部分和の公式
re
j
2  (k r)
N
と置くと→
(k  r)  mN
の場合→
N1
N
1 r
 r  1 r
n 0
n

r  e

N
2 (k r ) N
j
N

  e j 2  (k r)  1

N 1
N1
r
n
n 0
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[r  1]
ディジタル信号処理
 1 = N
n
n 0
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離散的複素指数関数の直交性
課題:等比級数の部分和の公式を利用して
上記の関係が成立することを確かめよ。
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ディジタル信号処理
10
複素指数関数の係数を求める
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離散的Fourier変換と逆変換
離散的
Fourier変換
(DFT)
離散的
Fourier逆変換
(IDFT)
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数値例(課題)
x[n],n  0,1,2,3,4,5  1,1,1,0,0,0
N 6
x[n],n  0,1,2,3  1,0,1,0
N 4
について、DFTを求めよ。
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課題2(その1)
離散的
Fourier変換
(DFT)
N 6
W6  e
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j
2
6


1 j 3
 cos  j sin 
3
3
2
ディジタル信号処理
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課題2(その1)
x[n],n  0,1,2,3,4,5  1,1,1,0,0,0
N 6
前ページの回転子を以下に代入する
0
1k
2k
˜
X(k)  W6  W6 W 6
2002.6.20
ディジタル信号処理
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課題2(その1)
0
0
0
˜
X(0) W 6 W 6 W 6  3
0
1
2
˜
X (1)  W  W  W
6
6
6
1 j 3 1 j 3
 1

 1 3
2
2
0
2
4
˜
X (2)  W 6  W 6  W 6
1 j 3 1 j 3
 1

0
2
2
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課題2(その1)
X˜ (3)  W 60  W 63  W 66
 11 1  1
0
4
8
˜
X (4) W W  W
6
6
6
W W  W  X˜ (2)  0
0
6
4
6
2
6
0
5
10
˜
X (5)  W 6  W 6  W 6
*
˜
 W  W  W  X (1)  1 j 3
0
6
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5
6
4
6
ディジタル信号処理
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課題2(その2)
x[n],n  0,1,2,3  1,0,1,0
N 4
以下の回転子を定義式に代入する
N 4
j
W4  e
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2
4


 cos  j sin   j
2
2
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課題2(その2)
0
0
˜
X (0) W 4 W 4 11  2
0
2
˜
X(1) W W 11 0
4
4
0
4
˜
X (2) W 4 W 4 11 2
0
6
2
˜
X(3) W W 1 W  0
4
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4
4
ディジタル信号処理
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DFTの性質
線形性
ax[n] by[n] 

aX(k)  bY(k)
対称性
X(N  k)  X (k)
推移定理
DFT
*
x[n]  R
x[n  m] 

WN
DFT
km
X(k)
回転子
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ディジタル信号処理
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DFTの性質
循環畳込みとDFT
N1
y[n]   h[l]x[n  l]
l0


Y(k)  H(k)X(k)
DFT
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ディジタル信号処理
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窓関数の必要性
x[n]  cosn 
のDFTはどうなるか?
2k

N
の場合には、複数の成分が非零になる
周期が不一致の場合、不連続が発生
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様々な窓関数
Hamming窓
hanning窓
Blackman窓
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2n
w[n]  0.54 0.46cos
N 1
2n
w[n]  0.5  0.5cos
N 1
2n
w[n]  0.42 0.5cos
N 1
4n
 0.08cos
N 1
ディジタル信号処理
23
課題
周期をM=N-1として、前のページで定義された
Hamming窓、hanning窓、Blackman窓のDFTを
求めよ。また、以下の信号をhanning窓によって
切り出した信号のDFTを求めよ。
(ヒント:窓のDFTは、絶対値と位相を用いて
表した方が容易に解ける。推移定理を利用して
簡単化すること。)
6n
x[n]  cos
M
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高速Fourier変換の効果
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ディジタル信号処理
25
高速Fourier変換の効果
2002.6.20
ディジタル信号処理
26
高速Fourier変換の仕組み
k

 X(k)  G(k)  WN H (k)
X N  k  G(k)  W k H(k)
N
 2


G(k) 
ここで
j
W e
2
N
(N / 2)1
nk
x[2n]W

N /2
n 0
H(k) 
(N / 2)1
 x[2n  1]W
nk
N/2
n 0
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ディジタル信号処理
27
高速Fourier変換の仕組み
x[0]
x[2]
x[4]
x[6]
x[1]
x[3]
x[5]
x[7]
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X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
G
H
W
W
W
W
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-1
-1
-1
-1
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
28
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