8.クラスNPと多項式時間帰着
1
クラスPは決定性TMによって定義された。
この計算機モデルを非決定性に変更すると、
問題のクラスがどのように変化するのかを考察する。
実は、厳密な意味では、この違いは
明らかになっていない。
(つまり、決定性TMと非決定性TMの能力
の差が、多項式倍しかないのかどうかは、
未解決である。)
2
8-1.非決定性時間限定TM
まず、非決定性TMの計算時間を定める。
非決定の計算過程は、初期様相を根とする木として
表現可能である。
この計算の木において、最も浅い受理様相の深さを
NTMの計算時間と定義する。
すなわち、NTMが非決定的選択を繰り返したとき、
最も速く受理状態に達するときの総ステップ数が、
NTMの計算時間である。
なお、非決定性計算において、
ある様相への初期様相からの遷移系列を、
計算パスと呼ぶこともある。
NTMの計算時間とは、受理様相までの最も短い
計算パスの長さともみなせる。
3
計算の木と非決定性計算時間
×
×
N
T
M
の
計
算
時
間
×
:受理様相
× :非受理様相
:様相
4
時間限定非決定性TM
入力サイズが n のとき、
T (n ) 時間限定非決定性チューリングマシン
(T (n ) -NTM)とは、
計算時間が T (n ) 以下であるような非決定性チュー
リングマシン(NTM)のことである。
5
8-2.クラスNPの定義
NT IME (T (n )) = {L | LはO (T (n ))時間限定NTM
で判定さ れる 言語}
と定義する。
このとき、クラスNPを、
NP =
k
NT
IME
(
n
)
U
k
と定義する。
つまり、非決定性多項式時間で
計算可能な問題の集合がNPである。
6
クラスPとクラスNPの名前の由来
クラスP : 多項式時間TM
(Polynomial Time Turing Machine)
で解ける問題の集合
クラスNP : 非決定性多項式時間TM
(Non-deterministic Polynomial Time TM)
で解ける問題の集合
7
クラスPとクラスNPの関係
定義から明らかであるが、
NPはPを包含する。
NP
P
8
8-3.クラスNPの問題
名称:ハミルトン閉路問題HC
インスタンス:グラフ G = (V , E )
問:
Gにハミルトン閉路が存在するか?
すなわち、V のすべての点を
通るような単純な閉路が存在するか?
また、ハミルトン閉路問題のYESのインスタンスからなる
言語を
LHC = {w | wはハミ ルト ン閉路をも つグラ フ}
と表す。
9
非決定性計算例
LHC を判定する次のような、
非決定性多項式時間アルゴリズム存在する。
なお、
E = {e1, e2, L , em }
とする。
1.辺 e 1 から em まで、
ハミルトン閉路で辺を用いるかどうかを、
非決定的に定める。
2.1.で定めた辺集合が、ハミルトン閉路になっている
かどうかをチェックする。
3.2.において、ハミルトン閉路になっていいれば
YES、なってなければNO
10
ハミルトン閉路問題のインスタンス1
e2
v3
v1
e5
G1
e1
e4
v5
e6
v2
e3
v
4
{(v1, v2 ),(v1, v 3 ),(v2, v 4 ),(v 3, v 4 ),(v 3, v5 ),(v 4, v5 )}
G 1 には、
e1e 3e 6e 5e2
というハミルトン閉路が存在する。
よって、
G1 Î LHC
11
非決定性計算
G1 Î LHC であるが、その受理までの計算をみてみる。
e1
e2
この木において、
右ならその辺を用いて、
左なら用いないとする。
e2
e3
e3
e4
e4
e5
e5
e6
×
この受理される場合の
計算パスの長さは
明かに O(m ) である。
e6
× ×
このように、ハミルトン閉路問題は、
明らかにNPに属する。
12
インスタンス2
f2
u1
G 2 = (U , F )
f1
u2
f3
u4
u5
f6
f4
f5
u3
G 2 には、ハミルトン閉路が存在しない。
よって、
G 2 Ï LHC
13
非決定性計算
G 2 Ï LHCであるので、すべての計算パスが非受理の
様相に遷移する。
f1
f2
f2
f3
×
この受理される場合の
計算パスの長さは
明かに O(m ) である。
f3
×
×
×
このように、ハミルトン閉路問題は、
明らかにNPに属する。
14
以上より、
次の命題が成り立つ。
ハミルトン閉路問題はクラスNPに属する。
つまり、
LHC Î NP
である。
15
練習
次のグラフにハミルトン閉路があるかどうかを決定せよ。
(1)
(2)
16
クラスNPの問題2
名称:SAT(充足可能性問題、
SATisfiability problem)
インスタンス:和積形の論理式
f (x 1, x 2, L , x n )
問: f = 1 となる x 1, L , x n への0,1の
割り当てが存在するか?
また、SATのYESのインスタンスからなる
言語を次のように表す。
LSA T = {f | f = 1と なる x 1, L , x n への0, 1の
割り 当てが存在する 。}
17
充足可能なインスタンス
f1(x 1, x 2, x 3, x 4 )
= (x 1 + x 3 + x 4 )(x 2 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 + x 4 )
この例では、
例えば、
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1
と割り当てればブール関数は充足される。
よって、
である。
f1 Î LSA T
18
充足不可能なインスタンス
f2 (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 2 )(x 1 )
このインスタンスは、
恒偽であり、充足不可能である。
よって、
f2 Ï LSA T
19
SATの非決定性アルゴリズム
SATはNPに属する。
すなわち、
LSA T Î NP
である。
証明
SATを解く、非決定性多項式時間アルゴリズムを
示せばよい。
次に、そのアルゴリズムを示す。
20
1.変数に対して x 1 から x n まで、
0か1を非決定的に割り当てる。
f (x 1, L , x n )
2.1.での割り当てで、ブール関数
が1かどうかをチェックする。
3.2.において、1になっていいれば
YES、なってなければNO
このアルゴリズムが、非決定性多項式時間であることは
明らかである。
以上より、
LSA T Î NP
QED
21
練習
LSA T に属する3変数以上のブール関数と、
LSA T に属さない3変数以上のブール関数を示せ。
22
8-4 TMとNTMの時間の関係
前に、DTMによってNTMをシミュレートできることを示した。
ここでは、時間まで考慮に入れて考察する。
T (n ) を T (n ) > n であるような関数とする。
このとき、すべての T (n ) 時間限定NTMに対して、
O (T ( n ))
それと等価な 2
時間限定DTMが存在する。
証明
Nを T (n ) 時間で動作するNTMとする。
前にみてきたように、
NTMの計算の木を幅優先で探索しながらシミュレートする
3テープ決定性DTM D1 が存在する。
まず、この D1 の計算時間が2O (T (n )) であることを示す。
23
Nの分岐の最大値を b とする。(つまり、計算木において、
どの節点に対しても、高々b の子供しかいない。)
Nの計算木において、最も浅い受理様相の深さを d とする。
このとき、深さ d = T (n ) であり、
このには深さには高々 bT ( n ) の頂点しかない。
b
d
bT (n )
また、根から深さ d までの計算木に現れる
頂点の総数は、2bT ( n ) 以下、すなわち
T (n )
である。
O(b
)
24
計算木の各頂点に対して,
シミュレーションはO (T (n )) 時間で行える。
よって、 D1 の計算時間は、
O(T (n )) ´ O(bT (n ) ) = 2O (T (n ))
である。
D1 は3テープTMであったので、これを
1テープTM D2 でシミュレートする。
このシミュレートは、2乗時間で行える。
よって、 D2 は、
O (T ( n )) 2
(2
)
= 22´ O (T (n )) = 2O (T (n ))
時間でNをシミュレートすることができる。
QED
25
8-5.検証可能性
ここでは、クラスNPのもう一つの特徴づけを与える。
クラスNPは、直感的には、答えがの正当性が
多項式時間で検証できる問題の集合ともみなせる。
あるアルゴリズムVに対して、言語Aを
次のように定義できるとき、VをAの検証装置
(Verifier)という。
A = {w | V は文字列cに対し て < w, c > を受理}
このとき、cを証拠(witness)という。
(なお、証拠としては、答えそのものであること
が多い。ただし、答え以外の証拠もあるので、
注意が必要。)
26
多項式時間検証可能性
検証装置の時間は、 w の長さに対してのみ
計られる。したがって、多項式時間検証装置
とは、 w の長さに対して,多項式時間でcの検証を
行うアルゴリズムである。言語Aが多項式時間検証
装置をもつとき、Aを多項式時間検証可能という。
27
多項式時間検証の例1
LHC
G1
は多項式時間検証可能である。
e2
v1
e1
v2
e4
e3
v3
e5
v4
e6
v5
< w, c > = < G , e1e2e3e5e6 >
ここで、c = e1e2e 3e5e6
c は順序が異なるので、ハミルトン閉路ではないが,
ハミルトン閉路で用いる辺集合を与えている。
これより、多項式時間検証可能である。
28
QED
多項式時間検証の例2
LSA T は多項式時間検証可能である。
f1(x 1, x 2, x 3, x 4 )
= (x 1 + x 3 + x 4 )(x 2 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 + x 4 )
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1
< w, c > = < f1(x 1, x 2, x 3, x 4 ), 0111 >
この証拠のチェックは明らかに多項式時間で
行える。
QED
29
クラスNPと検証可能性
ここでは、クラスNPが多項式時間検証可能な言語と
等価であることを示す。
言語LがクラスNPに属するための、必要十分条件
はLが多項式時間検証可能であることである。
証明
w Î L を判定するNTMからを < w, c > を検証する
検証装置Vを構成し、
< w, c > を検証するVから
w Î L を判定するNTMを構成する。
30
NTM
V
1.NTMの非決定的に選択される記号を
すべて集めて 証拠 c
とする。
2. c の表す枝での計算をVはシミュレートする。
3. 2.においてNが受理するならVも受理し、
Nが拒否するならVも拒否する。
このシミュレーションは明らかに正しく動作する。
31
V
NTM
k
n
Vは
時間で動作するDTMと仮定する。
k
n
1.長さ
の文字列 c を非決定的に選択する。
2.入力 < w, c > に対して、
VをNTMでシミュレートする。
(VはDTMなので、NTMで容易にシミュレートできる。)
3.2.において、Vが受理するなら受理し、
Vが拒否するなら拒否する。
以上より、クラスNPは多項式時間検証可能な
問題の集合でもあることが示された。
QED
32
8-6.多項式時間帰着
ここでは、問題間の難しさを調べるために、
多項式時間帰着について述べる。
直感的には、多項式時間帰着とは
問題の変換のことである。
ある問題を解く際に、他の問題が利用可能な場合が
よくある。この際に、もし利用される側の問題に効率的な
アルゴリズムが存在していたならば、
利用する側の問題も効率よく解ける可能性がある。
帰着の考え方は問題が難しいことを示すときにも利用される。
難しいことがわかっている問題Aのすべてのインスタンスが、
別の問題Bに変換可能ならば変換された問題Bを利用して、
元の問題Aに対するアルゴリズムが得られる。このことから
問題Bは、問題Aより易しくはないことを示している。つまり、問
題Bも難しいといえる。
33
多項式時間帰着の定義
言語Aと言語Bに対して、すべての w
Î A に対して、
w Î A Û f (w) Î B
であるような多項式時間帰着関数 f : S ® S が存在
するとき言語Aは言語Bに多項式時間(多対一)帰着
(Polynomial time many to one reduction)
可能という。ここで、多項式時間帰着関数とは、関数の
計算(変換)が多項式時間で行えるもののことである。
言語Aから言語Bへ多項式時間帰着可能であることを、
*
A£
P
m
B
あるいは
*
A£ B
と書く。
34
多項式時間帰着のイメージ(要素間)
YESのインスタンスは、
YESのインスタンスへ写像
する。
f
A
YES
NO
B
f
YES
NO
NOのインスタンスは、
NOのインスタンスへ写像
する。
35
多項式時間帰着のイメージ(クラス)
言語全体の像は、
帰着する言語の一部にし
かならない。
f
A
YES
B
YES
f
NO
NO
many
one
36
帰着のイメージ
問題B
問題Bのインスタンスへ
多項式時間で変換
w
問題Bの
出力(Y/N)
をそのまま
出力
問題A
問題Aの
インスタンス
37
帰着とクラスP
帰着の性質から次の命題が成り立つ。
A £ mP B
かつ B Î P
ならば A Î P
である。
証明 問題Bを判定する多項式時間TM(アルゴリズム)をTとし、
f をAからBへの多項式時間帰着とする。
このとき、TM Tを利用して、
問題Aを判定するTM T’(アルゴリズム)が構成できる。
Aへのインスタンス w に対して、
1. f (w ) を計算する。
2. 入力 f (w ) に対してTを動作させ、
その出力をT’の出力とする。
このTM T’は明らかに多項式時間で動作する。
QED
38
帰着の例
ここではブール関数の問題からグラフの問題への
帰着を示す。
まず、これらの問題を示す。
39
3SAT
ここでは、SATを特殊化した問題を考える。
そのためにSATの問題を再考する。
ブール変数に対してその否定と肯定を
リテラル(literal)という。例えば, x 1, x 1 等がリテラル。
また、リテラルを論理和で結んだ式を節(clause)という。
例えば、 (x 1 + x 2 + x 3 ) 等が節。
節を論理積で結んだ式が和積標準形(Conjective
Normal Form)であり、CNF論理式と約される。
すべての節が3つのリテラルからなるような
CNF論理式(3CNF)に対して、
充足可能なものすべてからなる言語を
3SATと呼ぶ。
40
名称:3SAT(3充足可能性問題、
3SATisfiability problem)
インスタンス:3CNF論理式 f (x 1, x 2, L , x n )
変数の個数
自体には
制限が無い
ことに注意
問: f = 1 となる x 1, L , x n への0,1の
割り当てが存在するか?
また、この問題に対応する言語を、
L3SA T = {f | f は充足可能な3CNF}
と定める。
41
k クリーク問題
無向グラフ G = (V , E ) に対して、
完全部分グラフをクリーク(clique)という。
k 点の完全部分グラフを k クリークという。
インスタンス
5クリークの例
42
練習
次のグラフから最大のクリークを見つけよ。
(1)
(2)
43
名称:kクリーク、
インスタンス: < G , k >
問:G中に、kクリークが存在するか?
また、この問題に対応する言語を、
LCQ = {< G, k > | Gはkク リ ーク を持つ。}
と定める。
44
多項式時間帰着
L3SAT は LCQ に多項式時間帰着可能である。
証明
f を p 個の節を持つ次のような n 変数3CNFとする。
f ( x1, , xn )  (a1  b1  c1 )(a2  b2  c2 ) (a p  bp  c p )
ここで、各 ai , bi , ci はリテラルを意味し、
ai , bi , ci {x1, x2 , , xn , x1, x2 , , xn} である。
45
この f から k クリーク問題のインスタンスである
 G, k を生成する。
すなわち、グラフ G と整数 k を生成する。
まず、整数
とする。
k は節数 p に設定する。すなわち、
kp
次にグラフ G の構成法を示す。
まず、各ai , bi , ci に対応する点集合を作成し、
各節ごとの k グループに分ける。
辺集合は次の規則で定める。
1.同じグループ内の点間には辺を引かない。
2.異なるグループ間には、矛盾がない限り
全ての点間に辺を引く。
(ここで、矛盾とは、
のように互いに否定の関係
にあるものを指す。)
46
f ( x1, x2 )  ( x1  x1  x2 )( x1  x2  x2 )( x1  x2  x2 )
に対するグラフG の構成例を示す。
x1
x2
x2
x1
x1
x1
x2
x2
x2
47
ここで、この帰着が正しく動作することを示す。すなわち、
「 f が充足可能であるための必要十分条件が、
G に k クリークが存在することである。」ことを示す。
必要性:
f に充足可能な割り当てが存在すると仮定する。
この割り当てでは、全ての節で少なくとも一つのリテラルが
真である。 G においてその真である点を選ぶ。
そのとき、 G の構成法から選ばれた点間にはすべて
辺があることがわかる。したがって、 k クリークを持つ。
48
十分性:
G に k クリークがあると仮定する。
同じグループの点どうしには辺がないので、クリークの
どの頂点も異なるグループに属する。よって、
すべてのグループ中の一つの点がクリークに属する。
このとき、クリークに属する点が真となるように、
割り当てを設定すること(リテラルに真偽の値を設定すること)
ができる。
(矛盾するリテラル間には辺がないので、この割り当ては
可能である。)
以上より、 f  L3SAT  G, k  LCQ
命題が証明された。
であり、
QED
49
練習
次の3CNFのインスタンスに対して,
帰着で得られるグラフ G を構成せよ。
f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 )( x2  x3  x3 )( x1  x1  x2 )( x2  x2  x3 )
また、この f に充足可能な割り当てを見つけ、
G に対応する4クリークを見つけよ。
50
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