卒論中間発表 2001/12/21
赤道の波動力学の基礎
北海道大学理学部 地球科学科 4年
山田 由貴子
1.はじめに
•
•
地球流体の基本的な波動を理解したい
赤道波動は赤道域の流体現象を扱う上で必要
発表
• 図による赤道波動の紹介
- 赤道域における波のふるまい
- 他の領域の波動との関係
手法
• Matsuno(1966)に基づき、方程式を解析的に扱う
• 赤道波の固有モードを図示する
2.モデル
浅水方程式系に対して
• 線形化、赤道β面近似
• 重力波の速度 gH 、赤道ロスビー変形半
径 c  を用いたスケーリング
u

 yv 
0
t
x
v

 yu 
0
t
y

u
v


0
t
x
y
(1)
3.分散関係式の導出
(u, v,  ) のそれぞれに u( x, y, t )  u( y)eit ikx
を代入し、 v のみの式を求める。
d 2v  2
k
2
2



k


y

v  0
dy2 


(v,  ) , (v, u ) の関係式は
u 
 

1
dv 


 yv  k
2

i (  k ) 
dy 

2
1
 i ( 2

dv 



kyv


 k 2) 
dy 


v  0 ( y  )
境界条件
を定めると、分散関係式は、
 3  ( k 2  2n  1)  k  0 (n  0,1,2,)
(2)
(3)
(4)
となり、解は、
v( y) Ce

1 2
y
2
H n ( y)
と与えられる。 H n (y) は n 次のエルミート多項式である。
4.分散関係
分散関係式 (4) は、 の 3 次方程式である。この解はカルダ
ノの公式から求まる。
近似的に解くと、
•  k
•   k
n1,n 2   k 2  2n  1
n3   k ( k 2  2n  1)
この解の形はそれぞれ中緯度の慣性重力波、ロスビー波
の形に似ている。
参照 : 中緯度における分散関係
慣性重力波
ロスビー波
   f 02  c 2 ( k 2  l 2 )
   k ( k 2  l 2 )
5.分散関係 – 特殊な場合
• n  0 の波
分散関係式は、 (  k )( 2  k 2  1)  0であるが、
3 つの解のうち、 (2) 式より、   k の解はない。
解は 01  k 2  k 22  1
02  k 2 
k
2  1
2
• n  1 の波
(1)式で v  0 とおいた時の分散関係式 (  k )(  k )  0
より、 u ,  は
1
 y
  u Ce
  u Ce
2
2
1
 y2
2
(  k )
(   k )
   k の解は境界条件 (3)式を満たさない。
解は
1  k
これは(4)式で、n  1 とした時に相当する。
6.分散関係の図
•
混合ロスビー重力波(点線)
n  0 の西進する波
•
•
•
n=3
n=2
k  1 /
2
慣性重力波の性質
n=1
k  1 /
2
ロスビー波の性質
n=0
n=-1
ケルビン波
他の東進する慣性重力波と異なり、
最小の振動数は   0
1/√2
7. u, v,  の漸化式
(2)式にエルミート多項式の昇降関係式
dHn ( y) dy  2nHn1 ( y)
H n1 ( y)  2 yHn ( y)  2nHn1 ( y)
2
を代入すると,u, v,  の漸化式が求まる.n  exp(1 2 y )Hn ( y)
とする。
• n 1
• n0
• n  1
 i (nl2  k 2 ) n

v 


 
 u     1 2 (nl  k ) n 1  n(nl  k ) n 1 


 

1
2
(


k
)


n
(



k
)

  nl 
nl
n 1
nl
n 1 
 2i (  nl  k ) 0 
v 


 
1

u   


 
1
  0l 

0 
v 
 
 
 u   0 
 
 
  1   0 
H n (y) の形
H 0 ( y)  1
H1 ( y )  2 y
H 2 ( y)  4 y 2  2
8.東向き慣性重力波
n 1
n2
風の収束発散によって、波は伝播する。
9.西向き慣性重力波
n 1
n2
10.ロスビー波
n 1
n2
地衡流平衡が成り立っている。
渦度の変化によって波は伝播する。
11. n  0 東向き慣性重力波
12. n  0 混合ロスビー重力波
南北方向では慣性重力波の性質、東西方向の波の
伝播のメカニズムはロスビー波的である。
13.n  1 ケルビン波
境界に補足される波. ここでは,赤道が境界の役割を
果たしている.東西に重力波的性質を持っている.
14. まとめ
赤道モード波の作図を行った
•
n  1 3 つの解は、慣性重力波、ロスビー波と対応。
• n  0 分散関係式の近似解 は適用できない。解は2 つ求ま
り、東進する慣性重力波、混合ロスビー重力波に対応。
• n  1 赤道ケルビン波と呼ばれる波が得られる。
(v  0)
謝辞
作図には、地球流体電脳倶楽部 dcl-5.2 を用いた。
参考文献
Matsuno T.,1966: Quiasi-Geostrophic Motion in the Equatonal Area ,J.Met.Soc.Japan,44,25-43.
小倉義光, 1978:気象力学通論,東京大学出版会
A. 重力波
南北に境界をおく。(水路)
B. エルミート多項式
H2(y)
H0(y)
H1(y)
添え字は南北の節の数に対応。
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