波数ベクトルの説明
3次元の波
k
exp(i(k r  t ))
波数ベクトル
波が進む方向を表す
問題
2次元空間(x,y)において、
波
sin(k r  t ) の波数ベクトル

がx方向であるとする。
k
k  (k ,0)
この時の波を図示せよ。
ヒント:ある時間での波の形を、
いろいろな場所で図示してみるとよい。
1
縦波と横波
縦波:longitudinal wave
波の進行方向と変位の方向が「平行」
横波: transverse wave
波の進行方向と変位の方向が「垂直」
電磁波は横波。
気体中、液体中の音波:
縦波のみ伝える。
横波はすぐ消えてしまう。(平衡位置がない、流れてしまう。)
固体中の音波:縦波と横波の両方を伝える。
(横方向のずれに関しても復元力を示す。
2
格子の振動(古典論)
a:バネの自然長
M
K: バネの強さ
大文字のK
uj
j番目の原子の変位
問1:j番目の原子に関する運動方程式を書け。
問2:uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、
ωとkの関係式(分散関係と言う)を求めよ。
またグラフに書け。
問3:周期的境界条件 uj+N=uj が全てのjについて
成立するとき、kはどのような値をとるか?
3
格子の振動(古典論)解答
M
K: バネの強さ uj
j番目の原子の変位
問1:j番目の原子に関する運動方程式
M
d 2u j
dt 2
 K (u j 1  u j )  K (u j  u j 1 )
問2:uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、
ωとkの関係式(分散関係と言う)を求めよ。
 M 2  K (e ika  e ika  2)  2 K (coska  1)  2 K sin 2
ka
2
4K
ka
分散関係:ω(k)
sin 2
M
2
グラフは次のページ ikaN
e
 1,
問3:周期的境界条件 uj+N=uj が全てのjについて
kaN  2n
成立するとき、kはどのような値をとるか?
2 
k
2n
aN
4
格子の振動(古典論)続き
uj=uexp[i(kaj-ωt)]は隣の原子の位相が、exp(ika)変化している。
したがって、kaの値で意味があるのは、-π<ka≦πの範囲。
周期的境界条件より、k=2πn/aNなので、nで言うと、
-N/2 < n ≦ N/2
n=0, ±1、... ±(N/2 –1) , N/2 の合計N個
ω
2
K
ka
 sin
M
2
-π/a<k≦π/a の範囲を
「第1ブリルアンゾーン」と言う。
-π/a
0
k
π/a
5
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