計算の理論 I
反復補題
月曜3校時
大月 美佳
平成15年7月14日
佐賀大学知能情報システム学科
1
今日の講義内容
 反復補題
–
–
–
正則表現かどうか
素数の例:教科書
ほか例
平成15年7月14日
佐賀大学知能情報システム学科
2
連絡事項
 レポート回収
– 講義終了時に回収
– 配点:100点中20点
 16日は講義
– 14回目で必須
– 試験について
 試験日は28日
平成15年7月14日
佐賀大学知能情報システム学科
3
反復補題
 別名
– ポンプの定理 (pumping lemma)
 何がしたいのか(p. 140 4.1.2)
– 何か言語が与えられたとき、正則でないことを示す。
 正則でない言語
– 例1: 0が2乗の個数であるような記号列の集合
– 例2: 0と1の記号列を2進数とみたとき、素数であるよ
うな記号列の集合
– 教科書の例: p. 143 例4.3
平成15年7月14日
佐賀大学知能情報システム学科
4
正則言語に対する反復補題
(p.140 定理4.1)
 正則集合Lに対して次の条件を満たす定
数nが存在する。
zがLに属する語で|z|≧nならば、適当な語
u, v, wを選んで、
i
z  uvw, | uv | n, | v | 1, uv w  L(i  0)
を満たすようにすることができる。このn
は、Lを受理する最小の(すなわち状態数
が最も少ない)FAの状態数を超えない。
平成15年7月14日
佐賀大学知能情報システム学科
5
鳩の巣原理?
n個の巣箱にn+1羽の鳩
→どこかひとつの巣箱には2羽の鳩が…
…
平成15年7月14日
…
佐賀大学知能情報システム学科
6
正則でないことの示し方
(背理法)
1. 正則でないことを示す対象言語:L
2. Lに対して補題の性質をもつ数nを仮定する
(敵の仮定)。仮定後変更してはならない。
3. Lの元zをひとつ決める( |z|≧n) 。
4. z を、|uv|≦nかつ|v|≧1であるようなu, v, w に分
解する(敵の作業)
i
5. uv w がLに入らないようなiを指摘する。どの
ようなnに対してもこれを示す。
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7
例1
Step 1 調べたい言語 L
 0の列で、長さが完全平方数であるものの
全体
L  {0 | iは1以上の整数}
 0, 0000, 000000000, 0000000000000000,
…
i2
1の2乗 2の2乗 3の2乗
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4の2乗
8
Step 2~4
 補題の性質をもつnを仮定
n2
z  0 とおく
 z を |uv|≦nかつ|v|≧1であるようなu, v, w
に分解したとする。このzは、
z  uvw
1 | v | n (| uv | n)
uvi w  L (i  0)
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9
Step 5
 i=2のとき、
2
2
2
2
n | uv w | n  n  (n  1)
 これは完全平方数ではなく、Lに含まれな
い。これは矛盾。
 よってLは正則ではない。
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10
レポート回収と次回内容
 レポート回収
出席チェックを兼ねる
(忘れた人は申し出よ)
出したら帰って良し
 次回(7/16)内容
試験について
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佐賀大学知能情報システム学科
11
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