ま
え
が
き
流体 の流 れ を 力学 的 に調 べ る学 問 分 野 に対 して ,水 力 学 と流 体 力 学 とい う二
つ の名称 が 古 くか ら使用 され て きた. 前 者す なわ ち水 力 学 は複 雑 な 流体 の流 れ
を 一 次 元流 れ で近 似 し, これ に経験 的 要 素 を加 えて実 用 に供 し得 る よ うに した
代 表 的 な工 学 体 系 の一 つ で あ る とい え る. これ に対 して流 体 力学 は流 れ を二 次
元 的 あ るい は三 次 元的 に, かつ よ り理 論 的 に取 り扱 う学 問 分 野 で あ る とされ て
い る. した が って 高専 や 大学 工 学 部 で は, まず水 力学 的取 扱 い に 習熟 させ, し
か る後 そ の理 論 的 背 景 と して流 体 力 学を 学 ば せ る とい う考 え方 に基 づ い て, カ
リキ ュラ ムを組 ん で い る と ころが 多 い. 近 年 ,工 学 系 で は水 力学 と流 体 力学 を
流 体 の 力学 とい う名称 の も とに一 体 化す る試 み が な され てお り, この書 名 の著
書 もか な り出版 され て い る.
本書 は馴 染み 深 さ とい う点 に重 きを お き, 古 くか ら使用 され て い る水 力学 を
書 名 と して い るが , 内 容 は従来 のそ れ に加 え て流 れ の物理 的 解 釈 に重 点 を お い
た 記述 が な され てい る. さ らに混 相 流 や新 しい 研究 分 野 で あ る非 ニ ュー トン流
体 の流 れ , 電磁 場 の作 用下 にお け る導 電 性流 体 の 流 れお よび希 薄 気体 の流 れ が
簡 潔 に述 べ られ てい る.普 通 の活字 で記 述 され て い る部 分 は従 来 の内 容 と同 じ
で, この部 分 はぜ ひ とも習熟 して い ただ きた い. 活字 の小 さな部 分 は適 宜 取 捨
選 択 され る こ とを望 む . また演 習 問題 は か な らず 読 者 自身 の手 で解 くこ とをお
薦 めす る. これ を実 行 す るこ とに よ って 理解 が深 ま る と同時 に応 用 力 が養 成 さ
れ るか らで あ る.本 書 の程 度 は工 学 部 の低学 年 , 高 専 の学 生 お よび初 級 の技 術
者 を対 象 と して い る. した が っ て独 学 で学 習 す る こ と も十 分 可能 な よ うにか な
り丁 寧 に記 述 され て い る. 以上 に よ り本 書 は 少 し気 負 ってい え ば ,古 い革 袋 で
あ る水 力学 に新 しい 酒す なわ ち新 しい研 究 分 野 を盛 り込 み, 従 来 の水 力学 を一
段 と広 い工 学 体 系 に 脱皮 させ るこ とを試 み た もの であ る といえ る.
使用 した 単位 はSI単
位 系 であ る. 現 在 は重 力単位 系 か らSI単
位 系 へ の移
行 の過 渡 期 で あ るが , 本 書 の読 者 が 活躍 され る将 来 を 考 え てSI単
位 系 で の記
述 に統 一 した .
本 書 の 内容 の すべ ては 内外 の多 くの著 書 に よ ってお り, 著 者 は上 述 の試 み な
ら び に 自身 の もつ教 育 的 配慮 に よ り適 当に 配列 変 え を したに す ぎな い. とは い
え 内容 の記述 の責 任 は もちろ ん著 者 に あ るが , 著者 の能 力不 足 の た め思 い違 い
や 誤 りの多 い こ とを恐 れ る. こ の点 に関 して諸 者 諸 賢 か ら の ご指摘 を心 か らお
願 い した い.
本 書 を 出版 す る にあ た り絶 大 な る ご援助 を いた だ い た実 教 出版 の桜井 瑞 穂 氏
に深 甚 の謝 意 を表 した い. 桜 井 氏 は原 稿 を通 読 され , 出版 と して の立場 か ら多
くの有益 な助 言を よせ られ た . 著 者 はそ れ に基 づ き多 くの個所 を削 除 あ るいは
訂 正 した. また 引用 あ るい は参 考 に させ て い ただ い た 内外 の多 くの著 書 を巻 末
に掲 げ る と と もに, これ ら の著 者 に対 して 心か ら感謝 す る次第 で あ る.
昭和56年9月
著
者
目
次
第1章 緒
1・1 本 書 で 述 べ る 事 柄 1・2 水 力 学 と 流 体 力 学 の 相 違 に つ い て 1
第2章 2・1 論
3
流 体 の 流 れ と そ の 表 し方
流 れ の 種 々 相 4
2・1・1 定 常 流 と非 定 常 流
2・1・2 一 次 元 流れ , 二 次 元 流れ お よび三 次 元 流れ
2・1・3 層流 と乱 流
2・2 経 路 線 , 流 線 , 流 管 お よ び 流 脈 経路線
(7)
2・2・2 流
線
(7)
2・2・3 流
管
(9)
2・2・4 流
脈
(9)
2・2・5 可視 化 の 一 例
流 れ の 調 べ 方 10
ラ グ ラ ンジ ュの方 法
2・3・2 オ イ ラ ーの方 法
(10)
(11)
演 習 問 題[2] 12
第3章 連 続 の 式 3・2 圧
理想 流 体 の 流 れ
14
力 15
3・2・1 流 体 内 に 働 く圧 力
3・2・2 圧 力 の 等方 性
3・2・3 圧 力 の単 位
(15)
(17)
(18)
3・3 オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式 3・4 エ ネ ル ギ の 式 3・4・1 7
(10)
2・3・1 3・1 (6)
(7)
2・2・1 2・3 (5)
ベ ル ヌー イ の定 理
19
21
(21)
3・4・2 3・5ベ
非 定常 流 に対 す るエ ネ ルギ 式
3・5・1 小 孔 か らの流 出
3・5・2 ピ トー 管
26
(26)
(28)
3・5・3 ベ ン チ ュ リ管
3・5・4 せ きを越 す 流 れ
3・6 (29)
(32)
重 力 場 に お け る 静 止 液 体 の 圧 力 3・6・1 基礎式
3・6・2 静 止 液 体 中 の 壁 面 に 働 く力
3・7 33
(33)
(35)
運 動 量 の 法 則 と そ の 応 用 3・7・1 運 動量 の法 則
3・7・2 運 動量 の法 則 の 応用
3・7・3 角 運 動量 の法 則
3・8 (24)
ル ヌ ー イ の 定 理 の 応 用 39
(39)
(42)
(46)
渦 運 動 48
3・8・1 渦 運 動 の基 礎 式
3・8・2 自由渦 運 動
(53)
(52)
3・8・3 強 制渦 運動
(53)
3・8・4 渦 の 干 渉 と安 定 性
(55)
演 習 問 題[3] 58
第4章 粘性 流 体 の 流 れ
4・1 流 体 の 粘 性 63
4・2 円 管 内 の 流 れ 69
4・3 平 行 な 平 面 間 の 流 れ 4・3・1 4・3・2 4・4 72
二 次 元 ポ ア ズ イユ の流 れ
クエ ッ トの 流 れ
(72)
(73)
流 れ の 相 似 則 と 次 元 解 析 77
4・4・1 相 似 則 とそれ を 求 め る方 法
4・4・2 力 の 比 を 等 し くす る 方 法
4・4・3 次 元解 析 的 方 法
4・5 境
界
(77)
(79)
(83)
層 86
4・5・1 境 界 層 の性 質
4・5・2 流 れ に 平 行 に 置 か れ た 平 板 に 沿 う境 界 層
4・6 乱
4・6・1 (87)
流 層 流 か ら乱 流 へ の 遷 移
(89)
92
(92)
以下目次省略
第1章
緒
論
こ の本 で述 べ られ る 内容 , お よび水 力学 と流 体 力学 の相 違
な どを 簡 単 に説 明す る.
1・1 本 書 で 述 べ る 事 柄
水 や 空 気 は 人 間 が 生 命 を 維 持 し, 生 活 を す る 上 に 欠 く こ と の で き な い 大 切 な
物 質 であ る こ とは い うまで もない . 人間 が 多 数集 ま って都 市 を 形成 す れ ば飲 料
水 な ど と して 多 量 の 水 が 必 要 とな り, しか るべ き 水 源 地 か ら 水 道 に よ っ て 水 を
供 給 し な け れ ば な ら な く な る で あ ろ う. ま た 一 方 , 水 の 流 れ を 利 用 し て 麦 や 米
な ど を ひ く機 械 を 動 か す こ とが 古 くか ら 考 え ら れ て い た こ と と思 わ れ る . 空 気
の流 れ の 利 用 に つ い て も 同 様 で あ る . こ の よ うな 場 合 , 損 失 を 最 小 限 に して 最
も効 率 よ く流 れ を 利 用 す る に は ど う し た ら よ い か と い う こ と を 考 え る の は 当 然
の こ と で あ ろ う. か く し て 流 れ に 関 す る 力 学 が 誕 生 す る こ と に な る . 小 川 の せ
せ ら ぎ や 大 河 の と う と うた る 流 れ , ゆ っ た り した 雲 の 動 き や 暴 風 雨 時 に お け る
烈 し い 空 気 の 流 れ な ど を , い っ た い ど の よ うに 表 現 した ら 万 人 が 利 用 で き る学
問 と な る で あ ろ うか . これ に つ い て は 古 来 か ら 多 く の 人 々 が 頭 を い た め た に 相
違 ない .
流 れ の 力 学 を 現 在 の よ う な 表 現 形 式 に し た の は ,17世
紀 に 作 り上 げ ら れ た
ニ ュ ー トン 力 学 を 流 体 の 運 動 に 適 用 し た オ イ ラ ー (Leonhard Euler , 1707―1783)
で あ る と い わ れ て い る. と こ ろ で 水 や 空 気 は 油 な ど に 比 べ て は るか に さ ら さ ら
して い る の で , 第 一 近 似 と して 粘 性 を 無 視 して も よい で あ ろ う. さ ら に 水 は 圧
縮 しが た く , 空 気 も100m/sの
速 度 以 下 で は 圧 縮 され な い と考 え て も流 れ の 取
扱 い で は 差 し支 え な い . よ っ て 粘 性 も圧 縮 性 も な い流 体 を 考 え れ ば , こ の 流 れ
の 取 扱 い は 簡 単 と な り, か つ 大 体 に お い て 水 や 空 気 の 実 際 の 流 れ に 近 い 流 れ を
与 え る で あ ろ う.こ の よ うな 仮 想 流 体 を 理想 流 体 (ideal fluid)
ま た は 完 全流 体 (perfect fluid)と い う. オ イ ラ ー が 取 扱 い の 対 象 と した の は こ の 理 想 流 体 の 流 れ で
あ る . し か し理 想 流 体 中 を 一 定 速 度 で 運 動 す る 物 体 に 働 く 力 , あ る い は 水 平
な 管 中 を 流 れ る流 体 の 圧 力 損 失 は と も に0に
な る と い う現 実 の 流 れ と は 相 反 す
る 結 果 が 得 ら れ る . こ の よ う な こ とが 生 ず る 原 因 は 流 体 の 粘 性 を 無 視 した こ
と に あ る . そ こ で 粘 性 を 考 慮 し た い わ ゆ る 粘 性 流体 (viscous fluid)
の 流 れ の取 扱
い が 必 要 と な っ て く る. ま た 空 高 く轟 音 を 発 し て 音 速 に 近 い , あ るい は 音 速
よ りも 速 い速 度 で 飛 ぶ 航 空 機 や ロ ケ ッ トの よ うな 物 体 の まわ りの流 れ の 取 扱 い
に は 空 気 の 圧 縮 性 が 重 要 と な る . こ の よ う な 場 合 の 流 体 を 圧 縮 性 流体 (compressible fluid)とい う. 一 方 , 流 体 の 流 れ に は 層 状 を な して 規 則 正 し く流 れ る 層 流
と, 不 規 則 な 乱 れ た 流 れ 方 を す る 乱流 が あ る. ま た 各 場 所 で の 流 れ の状 態 が 時
間 的 に 変 化 しな い 定 常 流 , あ る い は 時 間 的 に 変 化 す る非 定 常流 が あ る .
さ ら に 気 体 と液 体 , 気 体 と固 体 , 液 体 と 固 体 の 混 合 した 流 れ , い わ ゆ る 混 相
流 が 各 種 工 業 で 重 要 と な る場 合 が 多 い . そ の ほ か 原 子 力工 業 , 鋳 造 工 業 な ど で
は 高 温 の 電 離 した ほ ぼ 中 性 の 気 体 , い わ ゆ る プ ラ ズ マ(plasma)や 液 体 金 属 な ど の
導電 性 流 体 の 電 磁 場 の 作 用 下 に お け る 流 れ の 取 扱 い が 重 要 で あ る . こ の よ う
な 研 究 分 野 を 電 磁流 体 力 学 (magnetohydrodynamicsあ
るいはMHDと
略 記す る)と い
う. 水 , 油 , 空 気 な ど の 簡 単 な 化 学 構 造 を も つ 低 分 子 流 体 は ニ ュ ー トン の 粘 性
法 則 に よ く従 うの で ニ ュー トン流 体 と 呼 ば れ て い る . これ に 反 して 高 分 子 流 体 ,
血 液 , 生 体 液 , 懸 濁 液 な ど 内 部 構 造 の 複 雑 な 流 体 の 流 れ は , ニ ュ ー トン の 粘 性
法 則 では 捉 え る こ とが で きな い種 々の異 常 な 挙動 を示 す. これ らを 総 称 して広
く非 ニ ュー トン流体 とい い , そ の 流 れ の 解 明 は 重 要 な 研 究 課 題 と な っ て い る . ま
た 真 空 装 置 内 の 流 れ と か 非 常 に 高 空 の 希 薄 な 空 気 中 を 運 動 す る 物 体 (高 層 大 気
中 の 流 星 , 人 工 衛 星 , ロ ケ ッ トな ど)の まわ りの 流 れ な ど の よ う に , 分 子 の 平
均 自 由行 路 が 物 体 の 大 き さ に 比 べ て 無 視 で き な くな る よ うな 流 れ の 場 合 に は ,
も は や 流 体 を 連 続 体 と 考 え て 取 り扱 う と い う従 来 の 手 法 が 適 用 で き な くな る.
こ の よ う な 研 究 分 野 を 希 薄 気 体 力 学 あ る い は 超 空 気 力学 と呼 ん で い る .
本 書 で は い ま ま で の水 力 学 の 教 科 書 と 同 様 に理 想 流 体 , 粘 性 流 体 の 一 次 元 流
れ を 主 体 と し, そ れ に 圧 縮 性 流 体 の 流 れ の 一 次 元 的 取 扱 い を も述 べ る. さ ら に
混 相 流 , 非 ニ ュ ー ト ン流 体 の 流 れ お よび 電 磁 場 の 作 用 下 に お け る 導 電 性 流 体 の
流 れ , 希 薄 気 体 の 流 れ 等 を 現 象 の 説 明 を 主 体 と して , な るべ く簡 潔 に 述 べ る こ
とにす る.
1・2 水 力 学 と 流 体 力 学 の 相 違 に つ い て
流 体 力学 (hydrodynamics) と い う術 語 は , オ イ ラ ー の 親 友 ベ ル ヌ ー イ (Daniel
Bernoulli, 1700―1782)が30歳
ラ ー ド)で執 筆 し,1738年
代 の 初 め に 聖 ペ テ ル ス ブ ル ク(現 在 の レ ー ニ ン グ
に ス ト ラ ス ブ ル ク で 出 版 したhydrodynamicaと
い
う著 書 名 に 由 来 す る と い わ れ て い る . 現 在 , 流 体 力 学 は 流 体 の 運 動 を 純 解 析 的
方 法 に よ っ て 調 べ る と い うの が そ の 研 究 手 法 の 本 筋 に な っ て い る とい え よ う.
しか し流 体 の 流 れ は 極 め て 複 雑 で 純 解 析 的 に 調 べ る こ と は 非 常 に 困 難 な 場 合 が
多 く, 現 在 の 発 達 し た 電 子 計 算 機 を 使 用 し て も そ の 状 況 は そ れ ほ ど 変 わ ら な
い . した が っ て 実 用 的 な 観 点 か ら す れ ば , 流 れ の 様 子 を 概 略 的 で も よ い か ら も
っ と手 早 く得 ら れ る こ とが 望 まれ る . そ れ に 答 え る学 問 が 水力 学 (hydraulics)
で
あ る . さ ま ざ ま な 流 れ を 一 次 元 的 に 取 り扱 え ば 簡 単 に な る が , そ の 結 果 と実 際
と の 一 致 は 一 般 に 期 待 しが た い . そ こ で 実 験 結 果 を 用 い て 解 析 結 果 に 修 正 を 加
え , 実 用 上 十 分 な 精 度 を も つ 結 果 を 得 る よ うに 工 夫 す る こ と が 望 ま れ る . こ の
よ うな 学 問 が 水 力 学 で あ る . か く して 水 力 学 と は 字 句 通 りの 水 の 流 れ に 関 す る
力 学 で は な く, 液 体 お よび 気 体 を 含 め た 流 体 一 般 の 流 れ を 取 扱 い の 対 象 と して
お り, そ の 点 で は 流 体 力 学 と 同 じ で あ る . 本 書 で 述 べ ら れ る 水 力 学 は 最 近 よ く
見 受 け る 「流 体 の 力 学 」 とほ ぼ 同 様 な 内 容 と考 え て よい . さ ら に 「流 れ 学 」 な
る 術 語 も しば し ば 使 用 され て い る が , これ は 解 析 的 な 流 体 力 学 よ り も流 れ の 物
理 的 意 味 を 明 確 に す る こ とに 重 点 を お い た も の で あ る と考 え ら れ て い る .
第2章
流 体 の流れ とそ の表 し方
水 力学 を学 ぶ た め に 必要 とな る流 体 の流 れ
方 の種 類 , な らび に流 れ を定 量 的 に 調べ る方 法 につ い て 述べ る.
2・1 流 れ の 種 々 相
近 代 物 理 学 の 教 え る と こ ろ に よれ ば す べ て の 物 質 は 分 子 , 原 子 か ら 成 り立 っ
て い る . した が っ て 流 体 も そ の 例 外 で は な い が , 流 れ の 現 象 を 取 扱 う場 合 は 分
子 , 原 子 な ど考 え ず 空 間 内 に 連 続 的 に 分 布 し て い る , い わ ゆ る 連 続 体 と 考 え
る. した が っ て 流 体 粒 子 と い う場 合 は 分 子 , 原 子 を 意 味 せ ず , 単 な る 小 さ な 流
体 の か た ま り, す な わ ち そ の 中 で は 密 度 , 速 度 , 温 度 な どが す べ て 同 一 で あ る
と考 え て よ い 程 度 の 小 さ い か た ま りを さ して い る .
一 般 に 流体 (fluid)
と は 水 や 油 の よ う な 液 体 (liquid)
と空 気 の よ うな 気 体 (gas)
の
総 称 で , 次 の よ う な 性 質 を も っ て い る (粘 弾 性 流 体 な ど は 除 く. 図2・1参
照 ).
流 体 は せん 断 力 を受 け た とき, 変 形(ず り変 形 )が 連 続的 に生 じ,せ ん 断
力 を取 り去って も変 形 は そ の ま ま残 る.
図2・1に 示 す よ うに 弾性 体 は あ る大 き さのせ ん 断 力Sに
対 応 して , 瞬 間 的
に あ る大 き さの 変形 が 生 じてつ り合 い の状 態 に達 し, せ ん断 力 を取 り去 れ ば そ
の変 形 も0と な り元 の状態 に も ど る. せ ん断 応 力が 物 質 に よ っ て 定 ま る一 定
値 , す なわ ち降伏 値 (yield value)以 上 に な る と, 永 久変 形 が 生 じ, 外 力 を除
い て も元 の状 態 に も ど らな い. この よ うな性 質 を塑 性 とい う.
さ て 流 れ の 状 態 を 定 量 的 に 捉 え る た め に必 要 と な る物 理 量 に は 次 の よ う な も
の が挙 げ られ る.
図2・1 流 体 と弾性 体 の 相違
流れ の速 度 :
熱 力学 的 状 態量 :
た だ し熱 力 学 の 教 え る と こ ろ に よ り熱 力 学 的 状 態 量 と して は 上 述 の 中 の二 つ の
量 , 例 え ばp,ρ が わ か れ ば 他 の 量 は そ れ か ら 求 ま る . か く し て わ れ わ れ はv,
p,ρ な どが 時 間t,
お よ び 場 所 (x,y,z) の 関 数 と し て 求 ま れ ば 流 れ の状 態 が
判 明 した と い うの で あ る .
以 下 に 今 後 , 使 用 され る の で あ ろ う流 れ に 関 す る 諸 事 項 を 説 明 して お く こ と
に し よ う.
2・1・1 定 常 流 と 非 定 常 流
(1)定 常 流
あ る場 所 に お け る 流 れ の 状 態 (す な わ ち 流 速 お よ び 熱 力 学 的
状 態 量 )が 時 間 的 に 変 化 しな い 流 れ を 定 常流 (steady flow)とい う. しか し こ の 場
合 で も一 般 に 流 れ の 状 態 は 場 所 に よ っ て 異 な り場 所 の 関 数 と な る . い ま あ る時
刻 に お い て 場 所s(
そ の 場 所 を 表 す 座 標 ) の 平 均 流 速vaが
(2・1)
と表 せ る と し よ う. 図2・2に 示 す よ うな 断 面 積 が ゆ る や か に 変 わ る 円 管 内 の定
常 流 が こ の 場 合 に 相 当 す る. こ
の よ う な 流 れ で は 断 面 積 の小 さ
い と こ ろ でvaが
大 き くな る .
(2)非 定 常 流
が 時 刻tに
流 れ の状 態
よ って変 化 す る流 れ
図2・2 断 面積 が ゆ るや か に 変 わ る
円 管内 の定 常 流
(
理 想流 体 :v=va)
を 非 定 常流 (unsteady flow)と い
う. し た が っ て 式 (2・1)
に 対 し て こ の 場 合 に お け る 平 均 流 速vaは
(2・2)
と表 せ る . 例 え ば ポ ン プ の 吐 出 口 の バ ル ブ を 開 きつ つ あ る と き の 吐 出 管 内 の 流
れ は 非 定 常 流 で あ る.
2・1・2 一 次 元 流 れ , 二 次 元 流 れ お よ び 三 次 元 流 れ
図2・2に
示 す よ う な 円 管 内 の 理 想 流 体 の 定 常 流 に お い て は , 流 速vは
断 面 内 で 一 様 と な り場 所sの
所sの
各横
み の 関 数 とな る. しか し 粘 性 流 体 の 流 れ で は , 場
横 断 面 内 に お い て 流 速vは
一 様 で は な く, 管 壁 で0,
中心 軸上 で最 大
と な る よ うな 分 布 を も っ て い る . こ の よ うに 流 れ の 状 態 は さ ま ざ ま な形 を と る
が , 次 の よ うに 分 類 す る こ と が で き る .
(1)一 次 元 流 れ
流 れ の 状 態 が 空 間 的 に は 一 つ の 座 標 軸 , 例 え ば 図2・2に
示 す よ うに 管 軸 を 座 標 軸sに
流 れ (one-dimensional
と っ た 場 合 ,sの
み で 定 ま る よ うな 流 れ を 一 次元
flow)と い う. した が っ て 例 え ば 流 速vは
(2・3)
と表 せ る .
(2)二 次 元 流 れ
長 い 円 柱 を 一 様 流 れ の 中 に そ の 軸 (x軸 と す る)を 垂 直 に
して お い た 場 合 , 流 れ の 状 態 は 円 柱 の 両 端 付 近 を 除 い て そ の 大 部 分 は 軸 に 垂 直
な 平 面 (x-y平 面 )内 の 流 れ の み で 定 ま り,z方
向 に は 変 化 しな い と考 え て も よ
い . こ の よ うな 流 れ を 二 次 元流 れ (two-dimensional
向 の 流 速 成 分 をu,vと
flow)と い う. い まx ,y軸
す れ ば この場 合 には
(2・4)
と表 せ る.
方
(3)三 次 元 流 れ
空 間 内 に と っ た 座 標 軸 を (x,y,z) と し た と き, 三 次 元
物 体 の まわ りの 流 れ の 状 態 , 例 え ば 流 速 (u,v,w) が
(2・5)
と表 せ る よ うな 流 れ を 三次 元 流れ (three-dimensional flow) と い う.
2・1・3 層 流
と 乱 流
風 の な い 静 か な 室 の 中 で の 煙 草 の 煙 は 一 本 の 糸 の よ うに な っ て 上 方 に 向 か っ
て 流 れ る. しか し風 が あ る 場 合 は 乱 れ て 極 め て 複 雑 な流 れ 方 を す る . か く し て
流 れ の 状 態 は 以 下 の 二 通 りに 分 け る こ と が で き る .
(1)層
流
各 流 体 粒 子 が そ れ ぞ れ 滑 ら か な 線 を描 い て 規 則 正 し く整 然 と
運 動 す る流 れ を 層 流 (laminar flow)と い う.
(2)乱
流
各 流 体 粒 子 が 複 雑 に入 りま じ っ て 不 規 則 な 混 乱 した 運 動 を す
る 流 れ を 乱流 (turbulent flow)と い う.
2・2 経 路 線 , 流 線 , 流 管 お よ び 流 脈
流 れ の 状 態 を 調 べ る た め に 流 れ の 中 に 細 管 か ら イ ン ク を 注 入 し た り, ア ル ミ
ニ ウ ム粉 末 を 浮 べ る な ど して 流 れ の 様 子 を 直 観 的 に 見 うる よ うな , い わ ゆ る 流
れ の 可 視 化 実 験 を 行 う こ とが し ば し ば あ る. こ の よ う な 場 合 , 流 れ の場 (flow
field)
, す な わ ち 運 動 し て い る流 体 に よ って 占 め ら れ た 空 間 の 様 子 を 明 確 に 捉
え る た め に 次 の よ うな も の が 考 え ら れ る .
2・2・1 経
路
線
そ れ ぞ れ の 流 体 粒 子 が 流 れ に つ れ 時 間 の経 過 と と も に 描 く曲 線 を経 路 線 (path
line), 流れ の 道 筋 あ る い は 流 跡 とい う. 温 度 , 密 度 な ど 流 れ に 付 随 す る 物 理 量
は こ の 経 路 線 に 沿 っ て 運 ば れ る.
2・2・2 流
線
あ る 時 刻 に お い て 流 れ の 場 の 中 に 一 つ の 線 を 仮 想 し, そ の 線 上 の 各 点 に 引 い
た 接 線 が そ れ ら の 点 に お け る 速 度 の 方 向 と一 致 す る 場 合 , そ の 線 を 流 線 (stream
line)と い う(図2・3参 照 ).
流 れ の状 態 が時 間 と と もに変
わ る非 定常 流 の場 合, 流 線 の形
状 は 時 間 に よ っ て 変 化 し ,2・2・1
で述 べ た流 体 粒 子 の道 筋 で あ る
経 路 線 とは一 般 に一 致 しな い.
これ に対 して時 間 的 に変 化 しな
図2・3 流 線 と速 度
い 定 常 流 に お い て は 流 線 と経 路 線 は 一 致 す る .
【
例
題2・1】
二 次 元 定常 流 の 場 に お け る流体 の速 度Vのx,y軸
方 向 の成 分u,v
がaを 定 数 と して
で 与 え られ る とき, この 流 れの 場 に おけ る流 線 を求 め よ.
[解]流
線 の定 義 で 述 べ た よ うに, 速 度の方 向 と流 線 の接 線 方 向dy/dxは
図2・4 流
一 致す
線
る か ら, 図2・4(a)を 参 照 す れ ば
(1)
の成 立 す る こ とが わ か る. した が って
(2)
すなわち
と変 形 す る こ とが で きる の で, 積 分 定数 をC(=log
c) と して上 式 を 積 分す れ ば
と な る. これ よ り流 線 を表 す 曲線 と して
(3)
が 得 られ る. この 曲 線 は直 角 双 曲線 であ り,定 数cの 値 を変 え れ ば これ らの 曲線 群 , す
なわ ち流線 群 が 得 られ る. この二 次 元 流 れ は 図2・4(b)
に示 す 直 角壁 の 内側 を まわ る流 れ
を 表 して い る.
2・2・3 流
管
流 れ の場 の 中 に一 つ の小 さい 閉 曲線 を 考 え, この 閉 曲線 上 の各 点 を通 る多 数
の 流 線 を 引 け ば 一 つ の 管 が 構 成 さ れ る. こ の 管 を 流 管 (stream tube)と呼 ぶ . 定
常 流 で は , 流 管 の 形 は 時 間 的 に 不 変 で あ る か ら , 流 体 は あ た か も 流 管 と 同 じ形
の 管 中 を 流 れ る よ うに 考 え ら れ る . これ に 反 し て 非 定 常 流 で は , 流 管 は 時 々 刻
々に 変化 す るの で単 に各 瞬 間 に お け る流れ の方 向 を与 え るにす ぎな い.
2・2・4 流
脈
流 れ の 中 に , あ る一 つ の 点 を 考 え て そ の 点 を 以 前 に 通 過 し た す べ て の 流 体 粒
子 の 現 時 点 の 位 置 を 示 す 点 を 結 べ ば 一 つ の 線 が 得 ら れ る . こ れ を 流 脈 (streak
line)と呼 ん で い る . 例 え ば 流 れ の 中 に 細 管 か ら イ ン クを 注 入 し た と き, イ ン
クに よ っ て 着 色 され た 線 が 流 脈 で あ る . な ぜ か とい う と イ ン ク に よ っ て 着 色 さ
れ た 流 体 粒 子 は , す べ て 以 前 に イ ン クを 注 入 した 細 管 の 口を 通 過 した 粒 子 で あ
る か ら で あ る. こ の よ うに 流 脈 は あ る 一 定 点 を 通 過 し た 各 流 体 粒 子 の経 路 線 の
現 時点 の位 置 を 示 す 終 点 を 結 ん だ 線 で あ る とい え る. 定 常 流 に お いて は経 路
線 ,流 線, 流 脈 は す べ て一
致 し同一 の線 とな る.
図2・5に ,二 次 元 非定 常
流 の 中 に置 か れた 細 管 の 出
口か ら イ ン クを流 れ の 中 に
注 入 した と きの着 色 され た
線 で あ る, あ る 時 刻tに
図2・5 二 次 元非 定 常 流 に おけ る経 路 線 と流脈
お け る流 脈 と各 流 体 粒 子 の 経 路 線 が , そ れ ぞ れ 実 線 と点 線 で 示 さ れ て い る .
す な わ ち0≦ τ≦tと
し た と き ,〓 の 経 路 線 は 細 管 の 出 口をτ=0な
る時 刻 に通
過 し, 〓 の経 路 線 は 時 刻 τ=τ2(<t) に 通 過 した そ れ ぞ れ の 粒 子 の 時 刻tに
お
け る も の で あ る . 以 下 同 様 に 〓 ,〓 ,〓 の 各 線 は τ=τ3(<t),τ=τ4(<t),τ=
τ5=tに そ れ ぞ れ 細 管 出 口を 通 過 し た 粒 子 の 画 く時 刻tに
そ して そ れ ぞ れ の 経 路 線 の 終 点 を 結 ん だ 実 線 が 時 刻tに
お け る経 路 線 で あ る.
お け る 流 脈 で あ る.
2・2・5 可 視 化 の 一 例
さて 上 述 した 流 線 , 経 路 線 , 流 脈 を 実 験 的 に 求 め る 可 視 化 の 一 例 と して 次 の
よ うな 方 法 が 考 え ら れ る . 流 れ て い る 水 の 表 面 に 例 え ば ア ル ミニ ウ ム の 粉 末 を
ま い て 短 い 露 出 時 間Δtで
写 真 を と る と, 粉 末 はvΔtと
い う微 小 ベ ク トル と し
て 撮 影 さ れ る. 粉 末 が 適 当 な 濃 度 で 散 布 し て い れ ば , 各 粉 末 は 写 真 上 で つ な が
っ て 写 り, これ が 流 線 を 与 え る こ と に な る. 一 方 , 経 路 線 は 粉 末 を ま ば ら に ま
い て お い て 長 時 間 露 出 で 写 真 を とれ ば 得 られ る . ま た 水 面 上 の あ る 定 ま っ た 場
所 に 連 続 し て 粉 末 を 落 と しな が ら 瞬 間 撮 影 を す れ ば , そ の 定 ま っ た 場 所 を 通 る
そ の時 刻 に おけ る流 脈 が得 られ る.
2・3 流 れ の 調 べ 方
流 体 の流 れ を 定 量 的 に 調 べ 記 述 す る の に 二 つ の 方 法 , す な わ ち ラ グ ラ ン ジ ュ
(Joseph Louis Lagrange,
1736-1813)の 方 法 と オ イ ラ ー の 方 法 が あ る . 以 下 に こ
れ ら の 方 法 に つ い て 簡 単 に 述 べ て お こ う.
2・3・1 ラ グ ラ ン ジ ュの 方 法
流 体 は 連 続 体 と し て の 立 場 か ら考 え る と, 流 体 の 微 小 な か た ま りで あ る 流 体
粒 子 の 無 数 に 多 くの 集 合 体 とみ な せ る. した が っ て 流 体 粒 子 を 質 点 とみ れ ば 流
体 の運 動 は 無 数 の 質 点 の 相 互 運 動 に よ っ て 置 き 換 え ら れ る か ら, 質 点 系 の 力 学
を 拡 張 す る こ と に よ っ て 調 べ ら れ る で あ ろ う とい うこ とが 考 え ら れ る. こ の よ
うな記 述 法 に よ る流れ の取 扱 い はオ イ ラーに始 ま る もの で あ るが , もっぱ ら ラ
グ ラ ン ジ ュが 利 用 し た の で ラグ ラ ンジ ュの 方 法(Lagrangian method) と呼 ば れ て い
る. しか しこの方 法 に よって流 れ を調 べ る こ とは一 般 に 複雑 で, か つ見 通 しが
悪 い の で 特 殊 の 場 合 以 外 は ほ と ん ど使 用 さ れ て い な い . 以 後 本 書 で も使 用 し な
い の で こ れ 以 上 の 説 明 は 省 く こ とに す る .
2・3・2 オ イ ラ ー の 方 法
管 の 中 を 流 れ る流 量 や , 流 れ の 中 に 置 か れ た 物 体 の受 け る 力 な ど を 知 る こ と
は 水 力 学 や流 体 力 学 に とって非 常 に 重要 な こ とで あ る. そ のた め に は個 々の流
体 粒 子 の 移 動 を 追 跡 す る こ と よ り, 管 の 断 面 上 あ る い は 物 体 の 表 面 上 の 定 ま っ
た 点 に お け る 流 体 の 速 度 や 圧 力 が ど うな っ て い る の か を 知 る こ と が 必 要 で あ
る . そ こ で 速 度 や 圧 力 な ど を 特 定 の 流 体 粒 子 に つ い て で は な く, 空 間 的 に 固 定
した 点 の 位 置 と時 間 の 関 数 と し て 取 り扱 う ほ うが 都 合 が よ い . 換 言 す れ ば 個 々
の 流 体 粒 子 の 運 動 の歴 史 を 問 題 とす る よ りは , む し ろ 空 間 内 の す べ て の 点 に お
け る流 れ の状 態 , お よびそ の時 間 的 変化 を 知 る こ とが よ り必 要 とな る ので あ
る . 流 れ の こ の よ う な 記 述 法 に よ る取 扱 い 方 を オイ ラ ー の方 法 (Eulerian method)
と呼 ぶ . 一 般 に 一 次 元 流 れ に お け る 流 体 の 速 度vは
とtの
式 (2・3)に 示 した よ う にs
関 数 と な り,
(2・6)
と表 さ れ る . こ の 速 度 の よ う に 流 体 粒 子 と 共 に 運 ば れ る物 理 量 をF(s,t)
と
し, こ れ の 実 質 微 係 数 (material derivative), す な わ ち 流 体 粒 子 の 運 動 に と も
な うF(s,t) の 時 間 的 変 化 率 を 求 め て み よ う. そ こ で い ま 任 意 の 時 刻tで
v, 位 置sに
速度
あ った 流 体 粒 子 は , 時 刻 (t+Δt) で は 位 置 (s+vΔt) に 移 動 す る
か ら物 理 量 はF+ΔF=F(s+vΔt,t+Δt)
と な る . した が っ て こ の 流 体 粒 子 に
付 随 す る 物 理 量 の 変 化 は テ ー ラ ー(Brook Taylor,1685-1731)
と な る . よ っ てFの
展 開す れ ば
実 質 微係 数 は
(2・7)
と表 され る. 以 後 簡単 のた め に実 質微 分 (ラグ ラ ンジ ュ微分 ともい う)を表 す 演
算子
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