20
差集め算
∼ 和と差の問題⑤ ∼
基 本 例 題
例 題
あるお店ではえんぴつと,それより 40 円高いボールペンを売っています。えんぴつを 9 本買える
お金でボールペンを買うと 6 本買えます。えんぴつ 1 本の値段は何円ですか。
えんぴつとボールペンの本数をそろえて考えます。
1
2
3
6
7
8
9
えんぴつ ○ ○ ○・
・
・○ ○ ○ ○
全体の差= 1 本の差×本数
40円
ですから,えんぴつとボールペンを 6 本ずつ買うと,
・
・○
ボールペン ○ ○ ○・
全体の差240円
代金の差は,
40× 6 =240
(円)
この差が,えんぴつ( 9 − 6 =)3 本分の代金にあたります。したがって,えんぴつ 1 本の値段は,
240÷ 3 =80
(円)
例 題
子どもたちにみかんを配るのに, 1 人に 3 個ずつ配ると 12 個あまり, 1 人に 5 個ずつ配ると 2 個
不足します。みかんは全部で何個ありますか。
人数=全体の差÷ 1 人あたりの差
ですから,子どもの人数は,
( 5 − 3 )= 7(人)
(12+ 2 )÷
③ ③ ③・
・
・③
12個あまり
⑤ ⑤ ⑤・
・
・○
2 個不足
③ ③ ③・
・
・③ (全体の差)
したがって,みかんの個数は,
2 個(1 人あたりの差)
⑤ ⑤ ⑤・
・
・⑤
3 × 7 +12=33
(個)
14個
例 題
1 個 80 円のドーナツと 1 個 100 円のケーキを合わせて 15 個買う予定でした。しかし,ドーナツと
ケーキの個数を予定とは逆にしたため,60 円安くなりました。ドーナツは何個買いましたか。
予定より安くなりましたから,実際には,
安い方(ドーナツ)を多く買ったことがわか
ります。ドーナツとケーキの個数の差は,
60÷(100−80)= 3(個)
ですから,実際に買ったドーナツの個数は,
和差算を利用して,
(15+ 3 )÷ 2 = 9(個)
44
個数の差
予 80 円
定 100 円
80 円 …
100 円 …
80 円
100 円 100 円 … 100 円
金額の差はない
実 80 円
際 100 円
80 円 …
100 円 …
80 円
100 円
取りちがえ
80 円 … 80 円
第 3 章 和と差の問題
ポイントチェック
解答は34ページ
1 個 150 円のりんごと 1 個 200 円のなしを同じ個数ずつ買ったところ,りんごとなしの代金の差
が 400 円になりました。それぞれ何個ずつ買いましたか。
1 個 20 円の商品をいくつか買う予定でお金を持っていきましたが, 1 個 30 円に値上がりしてい
たため,買えた個数は予定よりちょうど 12 個少なくなりました。持っていったお金は何円ですか。
あるお店ではボールペンとえんぴつを売っています。ボールペン 1 本の値段はえんぴつ 1 本の値
段より 60 円高くなっています。また,ボールペンを 10 本買えるお金でえんぴつを買うと 15 本買え
ます。ボールペン 1 本の値段は何円ですか。
折り紙を 1 人に 3 枚ずつ配ると 23 枚あまり, 1 人に 4 枚ずつ配っても 8 枚あまります。折り紙
は全部で何枚ありますか。
あるクラスの生徒が長いすにすわるのに, 1 つの長いすに 5 人ずつすわると 4 人がすわれなくな
りました。そこで, 1 つの長いすに 6 人ずつすわると,最後の長いすには 2 人がすわることになり
ました。このクラスの人数は何人ですか。
1 本 50 円のえんぴつを何本か買う予定でお金を用意しましたが, 1 本 70 円のえんぴつしかなか
ったので,予定より 4 本少なく買ったところ,40 円あまりました。このとき,用意したお金は何円
ですか。
50 円切手と 80 円切手を合わせて 20 枚買う予定でしたが,買う枚数を取りちがえてしまったので,
予定より 120 円安くなりました。予定では,50 円切手を何枚買うつもりでしたか。
45
42
展開図・投影図
~ 立体図形の問題③ ~
基 本 例 題
例 題
9㎝
右の図は,円すいの展開図です。側面を表すおうぎ形の
x
中心角は何度ですか。
3㎝
こ
側面のおうぎ形の弧の部分と底面の円の円周が等しくなります。
x
9 × 2 ×円周率×360= 3 × 2 ×円周率
9 × x = 3 ×360
(度)…… x
3 ×360÷ 9 =120
母線×中心角=半径×360
中心角
=
(半径
母線
360 )
例 題
右の図は,ある立体を真正面と真上から見た図です。
真
正
面
真上から見た図は, 1 辺が 6 ㎝の正方形です。この立
体の体積と表面積を求めなさい。
4㎝
5㎝
3㎝
3㎝
真
上
見取図は,右の図のような四角すいになります。このとき,
6㎝
5㎝
4㎝
真正面から見た三角形は図のかげをつけた三角形になります。
1
6 × 6 × 4 × 3 =48
(㎤)
……体積
6 × 5 ÷ 2 × 4 + 6 × 6 =96
(㎠)……表面積
6㎝
6㎝
例 題
D
右の図の立体は直方体で,
AB= 6 ㎝,BC= 6 ㎝,AE= 2 ㎝
です。AからPを通ってGまでひもをかけるとき,ひも
の長さが最も短くなるのは,BPが何㎝のときですか。
ひもが通る面の展開図を考えます。ひもの長さが最も
P
H
A
F
D
C
短くなるのは,AからGまでひもが一直線になるときで
6 ÷ 4 × 3 =4. (
5 ㎝)
88
G
P
す。三角形ABPと三角形AFGは相似ですから,
6:
( 6 + 2 )= 3 : 4
G
B
E
C
6㎝
……相似比
……BP
A
6㎝
B2 ㎝ F
第 7 章 立体図形の問題
ポイントチェック
解答は76ページ
1 右の図は,円すいの展開図です。側面を表すおうぎ
10 ㎝
形の中心角は何度ですか。
4㎝
2 (図 1 )は,ある立体を真正面と真上から見た
(図 2 )
(図 1 )
図です。この立体の体積と表面積を求めなさい。
円周率は 3. 14 とします。
3 (図 2 )は,ある立体を真正面と真上から見た
図です。この立体の体積と表面積を求めなさい。
真
正
面
真 10 ㎝
5㎝ 正
面
真
上
真
上
8㎝
12 ㎝
4㎝
12 ㎝
4 底面の円の半径が 5 ㎝の円すいを,頂点を中心にし
つくえ
てすべらないようにして机の上を転がしたところ,4
O
回転してもとの位置にもどりました。この円すいの母
線の長さは何㎝ですか。
5 次の問いに答えなさい。
(図 1 )
のような直方体で,AからGまでひ
① (図 1 )
もをピンと張ったときのBPの長さは何㎝で
すか。
② (図 2 )
のような円すいで,底面の円周上の
C
G
B
3㎝
6㎝
(図 2 )
P
H
A
E
D
18 ㎝
12 ㎝
P
F
点Pから,側面上にひもをピンと張って 1 周
3㎝
したときの長さは何㎝ですか。
6 右の図は, 1 辺が 2 ㎝の立方体を積み重ねた立体を,
正
面
右
横
正面,真上,右横から見たものです。この立体の体積
が最も大きいとき,その体積は何㎤ですか。また,最
も小さいとき,その体積は何㎤ですか。
真
上
89
44
水の入った容器
~ 立体図形の問題⑤ ~
基 本 例 題
例 題
右の図のような 2 つの角柱の容器A,Bがあります。
Aは底面積が 60 ㎠で 10 ㎝の深さまで水が入っていて,
Bは底面積が 40 ㎠で 3 ㎝の深さまで水が入っています。
Aの容器の水をBに移して水の深さを等しくすると,
10 ㎝
3㎝
水の深さは何㎝になりますか。
A
B
60×10+40× 3 =720
(㎤)…… 2 つの容器に入っている水の体積の和
60+40=100
(㎠)
……AとBの容器の底面積の和
したがって,等しくなったときの水の深さは,
720÷100=7. (
2 ㎝)
例 題
右の図のように,底面のたてが 50 ㎝,横が 80 ㎝,深さが
50 ㎝の直方体の水そうがあります。この水そうには,はばが
10 ㎝の直方体の仕切りがあります。グラフは,Aの部分に一
定の割合で水を入れたときの時間と,Aの部分の水の深さの
関係を表したものです。
① AとBの部分の底面積の比を求めなさい。
② グラフの x にあてはまる数を求めなさい。
10 ㎝
50 ㎝
A
(㎝)
50
B
80 ㎝
50 ㎝
x
0
15
35
95
(分)
① 水を入れた時間の比と入れた水の体積の比は等しいです。
15:
(35−15)
=3:4
仕切りより下のAとBの部分は高さが等しいですから,体
積の比は底面積の比と等しくなります。したがって,Aと
Bの部分の底面積の比は 3 : 4 です。
50 ㎝
ウ 60 分
10 ㎝
ア15 分
イ 20 分
80 ㎝
② ①より,アの部分の横の長さを求めると,
80−10=70
(㎝)
……アとイの横の長さの和
70÷
(3+4)
× 3 =30
(㎝)……アの部分の横の長さ
(95−35=)60 分かかっていますから,
水を入れるのに,アの部分に 15 分,ウの部分に
15 60
30:80= 2 : 3 ……アとウの部分の高さの比
したがって,仕切りの高さ
(x)
は,
50÷
(2+3)
× 2 =20
(㎝)
92
第 7 章 立体図形の問題
ポイントチェック
解答は80ページ
1 右の図のような 2 つの角柱の容器があります。Aは
底面積が 90 ㎠で 12 ㎝の深さまで水が入っていて,B
は底面積が 60 ㎠で 3 ㎝の深さまで水が入っています。
12 ㎝
Aの容器の水をBに移して水の深さを等しくすると,
3㎝
B
A
水の深さは何㎝になりますか。
2 右の図のような,直方体を組み合わせた
(㎝)
13
形の水そうに一定の割合で水を入れました。
右のグラフは,水を入れ始めてからの時間
と水そうの底面から水面までの高さの関係
を表したものです。
5
x
12 ㎝
① 図の x の長さは何㎝ですか。
10 ㎝
0
(分)
17
5
② 水を入れ始めてから 10 分後の水面の高
さは何㎝ですか。
3 A管,B管のついた直方体の水そうがあります。この
(L)
37
水そうに,はじめ,A管だけで水を入れ,途中からA管
とB管で水を入れました。右のグラフは,水を入れ始め
19.2
16
てからの時間と水そうに入った水の量の関係を表してい
ます。B管からは毎分何Lの水が入りますか。
0
4 右の図のような,横が 1 m,深さが
8
(分)
(㎝)
80
80 ㎝の直方体の水そうがあります。こ
の水そうには直方体の仕切りがあり,
底面がA,B 2 つの部分に分けられて
5
x
80 ㎝
います。右のグラフはAの部分に一定
の割合で水を入れたときの時間と,A
A
30
B
1m
0
9
24
74
(分)
の部分の水の深さの関係を表したもの
です。
① AとBの部分の底面積の比を求めなさい。
② 図の x の長さは何㎝ですか。
93
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20 差集め算