円周率を廻る数理
目次
はじめに
 定義と近似値(アルキメデスの方法)
 マーダヴァ-グレゴリ-ライプニッツの級数
 バーゼル問題
 円周率と素数

はじめに
•
円周率は、円の面積や球の表面積・体積の公
式にも等しく登場し、小学校の算数で登場して以
来親しみ易く馴染み深い数のひとつですが、長く
豊かな研究の歴史を有し、今も尚汲めども尽きぬ
魅力と不思議を湛えています。今回は、円周率に
纏わる古今の興味深い話題を解説・紹介するとと
もに、素数研究に関する現代数学の最高峰とも
云える「リーマン予想」を導く契機となった「素数と
円周率の関係」 についても触れたいと思います。
定義と近似値

円周率は「円周と直径の比」として定義
され、ギリシャ文字のπで表します。円に
内接する正六角形の六辺の長さの和は
直径の丁度3倍であることから、円周率が
3を若干上回る値であることは視覚的か
つ直感的に理解できます。紀元前3世紀、
ギリシャのアルキメデスは円周率の近似
値として3.14を得ました。また、円周率
が無理数であることはランベルトにより17
61年に証明されました。
アルキメデス
Archimedes
(BC287-BC212)
ギリシャの数学者,物理学者,発明家.シチリア島のシラクサ
生まれ.著作「砂粒を数えるもの」の中に宇宙の大きさに関す
る記述があります.また,他の著作において,面積や体積の高
度な理論,円周率の計算,“てこの原理と重心の理論”,アル
キメデスの原理を含む流体静力学等について論じています.
当時の傑出した数理科学者であり,浮力に関する“アルキメデ
スの原理”を発見したさいに風呂場から「Eureka!:ユーレカ」
(見つけたぞ!)とさけびながら飛び出したという逸話が有名.
円周率
•
3 .1415926535897932384626433832795028841971693993751
058209749445923078164062862089986280348253421170679
821480865132823066470938446095505822317253594081284
811174502841027019385211055596446229489549303819644
288109756659334461284756482337867831652712019091456
485669234603486104543266482133936072602491412737245
870066063155881748815209209628292540917153643678925
903600113305305488204665213841469519415116094330572
703657595919530921861173819326117931051185480744623
799627495673518857527248912279381830119491298336733
624406566430860213949463952247371907021798609437027
705392171762931767523846748184676694051320005681271
452635608277857713427577896091736371787214684409012
249534301465495853710507922796892589235420199561121
290219608640344181598136297747713099605187072113499
999983729780499510597317328160963185950244594553469
083026425223082533446850352619311881710100031378387
528865875332083814206171776691473035982534904287554
687311595628638823537875937519577818577805321712268
06613001927876611195909216420199・・・・・・・
円に内接する正多角形と外接する正多角形を考えることにより、
以下の不等式*が得られ、(内接・外接する)正多角形の辺の数が
増せば多角形の周は円周に近づきますから、不等式*の左右両
辺の値は中央の円周の長さに限りなく近づくと考えられます。前述
のアルキメデスによる近似計算はこの方法で得られたものです。
正多角形の辺の数を増やしていくと周長の算出は煩雑を極めます
が、オランダの数学者ルドルフ(次のスライド)はこの方法を辺の数
が2の62乗の正多角形にまで適用して、小数点以下35桁まで円
周率の近似値を求めました。この業績により、ドイツでは円周率の
ことをルドルフの数と呼ぶことがあります。
(内接正多角形の周長)<(円周の長さ)<(外接正多角形の周長)*
ドイツでは円周率
の代名詞ともなった
数学者ルドルフ
円周率計算の歴史
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紀元前3世紀、アルキメデスにより、3.14・・・
1600年頃、ルドルフ・ファン・コイレンの35桁。
1670年代、無限級数表示(MGL級数)。
1700年頃以降、逆正接公式。
1706年、マチンの100桁。
1940年代以降、計算機による計算。
現在では、1兆桁を超える。
「円周率の計算は科学である」(金田康正・かなだやすまさ)
マーダヴァ-グレゴリ-ライプニッツの級数
(円に内接・外接する)正多角形の周長で円周の長さを近似
するアルキメデスの方法は、オランダの数学者ルドルフの生涯
を費やしての近似値計算(1600年頃)によってクライマックス
に達するとともに、この方法での人力による計算の限界が見え
たとも云えるでしょう。事実、円周率の近似値計算の新局面が
以下の(マーダヴァ・グレゴリ・ライプニッツの級数、略してMGL
級数と呼ばれる)無限級数によってもたらされることになるので
す。
この無限級数の右辺の「奇数の逆数の交代
和」という極めて簡素で美しい姿が幾多の数
学者を魅了し、また、(美しさとは裏腹の)収束
の遅さがそれを克服するための努力と成果と
いう形で数学の発展に大いに寄与することに
もなったのです。
無限級数が緩慢に収束する様子を視覚化し、
この級数に寄せられた学者の言明に耳を傾
けてみましょう。
この級数は収束緩慢で、
円周率の計算には不適当である。
(高木貞治『解析概論』)
The series is, while beautifully elegant in
appearance, utterly worthless for numerical
calculations since it converges very slowly.
("An Imaginary Tale" by Paul J. Nahin)
この級数は、上記の等式を発見した学者
に因んで、「グレゴリ-ライプニッツの級数」
あるいは
「マーダヴァ-グレゴリ-ライプニッツの級数」
と呼ばれますが、これらの学者についての
業績等についての簡単な解説を以下に記します。
James Gregory
(1638-1675)
JAMES GREGORY

生: Nov 1638 in Aberdeen, Scotland
歿: Oct 1675 in Edinburgh, Scotland
グレゴリは1663年に世界初の
反射式望遠鏡を作ったことで有名。
1667年に『円と双曲線の正しい求積』を出版
しました。そこには無限小解析(微積分)の重
要な成果が含まれていました。グレゴリ級数の
発見は1671年のことです。
1674年にエディンバラで数学の教授となるも、
間もなく盲目となり、1年後に36歳の若さで没。
ニュートン以前にすでに求積法(積分)と接線
(微分)の問題が逆の関係にあることや,テイ
ラー展開などを知っていたといわれます。
ただ、残念ながらグレゴリは図形の問題に
のみ限定して考察したため、「微積分発見」
には至らず。もし彼が問題を 解析的に,物理
学 と関連づけて考えていたら 「微積分発見」
の栄誉は彼に与えられていたかも知れませ
ん。
G. W. Leibniz
(1646-1716)
ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646年7月1日 - 1716年11月14日
ドイツ・ライプツィヒ生まれの哲学者・数学者。
ライプニッツは哲学者、数学者、科学者など幅広い分野
で活躍した学者・思想家として知られているが、また政治
家であり、外交官でもありました。17世紀の様々な学問
(法学、政治学、歴史学、神学、哲学、数学、経済学、自
然哲学(物理学)、論理学等)を統一し、体系化しようとし、
その業績は法典改革、モナド論、微積分法、微積分記号
の考案、論理計算の創始、ベルリン科学アカデミーの創
設、等々、多岐にわたります。ライプニッツは稀代の知的
巨人ということが出来るでしょう。
2進法を研究したのも彼の業績で
あり、また、彼は中国の古典『易
経』に関心をもっており、1703年、
イエズス会宣教師ブーヴェから
六十四卦を配列した先天図を送
られ、そこに自らが編み出してい
た2進法の計算術があることを見
いだしています。
インドの数学者マーダヴァについて
円周率に関するライプニツ級数(グレゴリ級数)は収束が緩慢であり、それ自体
では(円周率の)数値計算には向かないというのが通説であるが、インドの数学
者Madhava of Sangamagrama(1350-1425)はグレゴリやライプニツに遥か先立ち、
同級数に収束改良を巧みに施して円周率を小数第13位まで求めた。
南インド西海岸のケーララ地方には、14世紀から16世紀にかけて、マーダヴァ
(1350-1425, http://en.wikipedia.org/wiki/Madhava_of_Sangamagrama)を初めとし
て師弟関係で結ばれた一連の数学・天文学者が輩出した。マーダヴァ学派とも呼
ばれる彼らは、ヨーロッパのグレゴリ(1638-1675)、ライプニッツ(1646-1716)、
ニュートン(1642-1727)等に先立つこと200~300年、独自の幾何学的方法で、
円周率、および正弦・余弦・逆正接関数などの級数展開を得ていた(楠葉隆徳・林
隆夫・矢野道雄共著,『インド数学研究』, 恒星社厚生閣, 1997年)。とりわけ、MG
L級数の補正項付加による級数改良は同学派の研究成果の白眉であり、「MGL
級数の第n部分和に(第3番目の)補正を施すことで、項数n=60程度の計算で円
周率を小数第12位まで求め得た」ことは特筆に値する。因みに、円周率の計算に
関してヨーロッパでは漸く1579年にフランソワ・ビエタが(アルキメデス以来の)円
に内接・外接する正多角形の周の計算から円周率を小数第9位まで求めたといっ
た段階であった。
インド数学におけるマーダヴァ学派の驚嘆す
べき業績については、近年の研究で漸くそ
の姿が明らかになりつつありますが、ここでは
これ以上は立ち入らず、「マーダヴァの収束
改良の方法が(収束が緩慢な)一般の級数
に対しても通用する収束改良の原理を確立
することができる」ことを指摘するにとどめま
す。
バーゼル問題
グレゴリとライプニッツがMGL級数を得たと云わ
れる1670年代のヨーロッパ数学に時空を戻す
と、そこでは「バーゼル問題」と呼ばれるひとつ
の求和問題(無限級数の和を求める問題)が数
学者の注目を集めていました。
バーゼル問題
「平方数の逆数和を求めよ」
(1644年に提起)
平方数の逆数和を求めることが懸案と
なり、レオンハルト・オイラーが1735年
に上記の等式を証明し、解決。
L. Euler
(1707-1783)
オランダのルドルフが円周率の近似値の高精
度計算を遂行できた背景には、16世紀後半に
小数・十進数を普及させたベルギーの数学者
ステヴィンや対数を導入したスコットランドのネ
イピアらの業績があります。大航海時代にあっ
て、航海や測量等の実用性の観点から高度な
数値計算技術が整い、こうして高められた計算
技法が無限に纏わる真理の探求へと人々を
誘ったと考えられます。
小数・十進法
1548 ~ 1620
対数・小数点
1550 ~ 1617
大航海時代
Simon Stevin
John Napier
15世紀中ごろから17世紀中ごろまで
バーゼル問題は、バーゼル大学教授であったヤコ
ブ・ベルヌーイが広く数学界に知らしめられた問題で
あるので、その名があると云われます。この難問はベ
ルヌーイ自身もついに解決できないまま世を去り、そ
の解決は18世紀に持ち越されました。結局,オイラー
の登場により,問題提出から約90 年経った1735 年,
平方数の逆数和が円周率で書けることが明らかとなり
ました。この結果は、素数分布論において本質的な役
割を果たすリーマンゼータ関数ζ(s)の特殊値ζ(2)の
算出を意味し、「素数と円周率の関係」として以下のよ
うに表現することが可能です。
1
6
(1  2 )  2

p

p:素数
円周率πは、円という高い対称性を備えた図形に内在す
る一個の無理数に他なりませんが、その値の探求やπを含
む関係式の発見は微分積分学の発展を促し、またそれが、
広範な数学の領域においてさらに多くのπの出現の場を与
えています。円周率πは、数学の要所に顔を見せるという多
面性とともに、πの在処を源泉にして数学の新たな理論が
湧き上がるという不思議が人々を魅了しているように思えま
す。
最後に、全数学のなかでも最も神秘的で美しいとされるオ
イラーの等式を再び掲げ、旧ドイツ紙幣に記された円周率
πを含む関数(ガウス分布の確率密度関数)をお目に掛け
て講義の締めくくりとします。
i
e  1
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第4回(2010/05/10) 円周率を廻る数理