パターン認識
ー特徴抽出と不変特徴抽出ー
担当:和田 俊和
部屋 A513
Email [email protected]
講義資料はhttp://wada1.sys.wakayama-u.ac.jp/PR/
Fourier 変換
Mellin変換
演習課題
Fourier 級数展開からFourier変換へ
• 内積の積分区間を無限大に拡大し、周波
数を実数領域とした複素型のFourier級数
展開とみなすこともできる。

F ( )= f (t )e

 jwt
dt
• Fourier変換は、実関数f(t)から複素関数
F(ω)への写像である。
• その際に、関数の変数tは周波数を表す変
数ωに変わる。
Fourier変換と畳み込み積分(1)
• 畳み込み積分

f (t ) * g (t )   f ( ) g (t   )d


  f (t   ) g ( )d

f ( )
g ( )


反転してtずらす
掛け合わせて積分
f (t ) * g (t )
g (  t )
t

結
果
t
Fourier変換と畳み込み積分(2)
• 畳み込み積分のFourier変換







f ( ) g (t   )d e
• 単なる掛け算になる。
 j t
dt  F ( )G( )
Fourier変換と自己相関関数(1)
• 自己相関関数

R(t )   f ( ) f (  t )d

f ( )

掛け合わせて積分
R(t )
f (  t )

結
果
t
Fourier変換と自己相関関数(2)
自己相関関数のFourier変換







f ( ) f (  t )d e
 j t
dt  F ( ) F ( )
*
|| F (ω) ||
パワースペクトル
2
Fourier変換の結果はパワーと位相に分解できる
2
パワー: P( ) || F ( ) ||
位相 :  ( )  tan ( Im(F ( )) / Re(F ( )) )
1
Fourier 変換と平行移動
f (t   )
f (t )

t

F ( )= f (t )e

 jwt
t
dt

F ' ( )   f (t   )e


  f (T )e
回転因子
e
dt
 jw ( T   )

 j
 jwt
F ( )
dT
平行移動成分の除去方法(1)
パワースペクトルを求める
F ' ( )  e
 j
F '*( )  e
j
F ( )
F ( )
*
|| F ' ( ) || || F ( ) ||
2
2
これを行うと、全ての位相成分が消えてしまうため、平行移動以
外の成分も消えてしまい、識別に有効な情報まで消えてしまう。
ではどうするのが正しい方法か?
平行移動成分の除去方法(2)
対数を求める
F ' ( )  e F ( )
log F ' ( )   j  log F ( )
 j
離散化して考える
log F ' (i )   ji   log F (i )
δ   j (1 , 2 ,,  M )とすると、平行移動の成分は
δで表される。
log F ' ( )
δ
δ  直交補空間
log F ( )
平行移動成分の除去方法(2続き)
直交補空間への射影
F  log F ( )
F'  log F ' ( )
とする。このとき、
F'  δ  F
が成立している。ここで、次式が成立する


δδ 
δδ 
 I 
F'   I 
F
2 
2 
 || δ || 
 || δ || 
T
T
log F ' ( )
この方法は、平行移動成分しか除去しない
ので、識別に有効な他の情報は失われない。
δ
log F ( )
Mellin変換:一般化されたモーメント
• 定義

F( )   f (t )t dt

• 連続次数のモーメント

Mellin 変換と伸縮
f ( t )
f (t )
t

F( )= f (t )t dt

t


F' ( )   f ( t )t dt


あとは、対数を求めれば、
Fourier変換の場合と同じ
ようにして不変特徴が求
められる。

1



 ( 1)
   dT
f (T ) T
F( )

不変特徴の導出方法
• 変換
– Fourier変換:平行移動などの加法的変換を除
去するために用いる。
– Mellin変換:拡大・縮小などの乗法的変換を
除去するために用いる。
• これらの結果に対して対数を求め、変換に
対する直交補空間に射影することによって
不変特徴量が求められる。
演習課題
パターンf(x)を観測する際に、これに直交
する観測誤差n(x)が加わり、且つ、パター
ンの振幅がα倍され  ( f ( x)  n( x)) が観
測されるものとする。
n( x)のみが既知である場合、上記の変換
がかかった信号からf ( x) を求める方法を
説明しなさい。
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