1.1 条件付期待値関数
母集団回帰関数(PRF)と標本回帰関数(SRF)
(Population Regression Function) (Sample Regression Function)
表 1-1 母集団のデータ
所得
消費
条件付
期待値
10
8
8
9
9
10
8.8
20
16
17
17
18
19
19
30
15
20
23
24
25
27
28
40
20
26
30
32
32
33
34
50
26
28
30
32
33
44
47
60
29
36
38
40
59
70
39
45
60
64
52.0
80
50
63
72
75
65.0
90
50
80
100
55
80
17.7
23.1
36
38
31.2
34.3
40.4
65.0
83
90
77.0
散布図
母集団(population)のデータ
100
90
80
70
条件付き期待値
60
消費
•
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
所得
70
80
90
100
110
条件付期待値 E(Y|X)
• E(Y|X):Xが所与の際のYの期待値
・個別(i番目)のYの観測値
Yi = E(Y|Xi) + ei, i=1,2,..,n
PRF
撹乱項(誤差項)
・PRFは未知推定する。
• E(Y|X)= a + bX と仮定する。
(a,b)は定数であり、 母集団回帰係数
(Population Regression Coefficients)
と呼ばれる。
• Yi = a + bXi + ei
• 標本回帰関数
(Sample Regression Function) 標本からPRFを推定したもの。
未知の(a,b)を標本から推定
直線 a+bXをデータに当てはめる
90
80
残差 ei = Yi-a-bXi
70
60
消 50
費 40
残差の二乗和、iei2
30
を最小にする。
20
10
0
0
20
40
60
所得
80
100
120
•
最小二乗法・回帰(直線のあてはめ)
注意:SRFは標本ごとに違ったものとなる。
100
90
80
消費
70
標本1
標本2
標本1による回帰
標本2による回帰
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
所得
70
80
90
100 110
最小二乗基準
• あてはめの誤差 ei = Yi - a - bXi
• ei を残差(Residual)と呼ぶ。
• 残差二乗和を最小化(Least Squares)
 iei2 = i(Yi - a - bXi)2
 RSS (Residual Sum of Squares)を最小化する
(a,b)を求める。
解の条件
 ( RSS )
= -2i(Yi-a-bXi)
a
 ( RSS )
= -2i(Y-a-bXi)Xi
b
一階の条件
(1-3-3)
i(Yi-a-bXi) = 0
(1-3-4)
i(Yi-a-bXi)Xi = 0
解(a,b)
a= Y-bX
(1-3-5)
Yi,Xiの平均からの偏差を小文字yi,xiで表す。
yi = Yi - Y ,
xi = Xi - X
(1-3-4)に(1-3-5)を代入
ixiXi = ixi2
iyiXi = ixiYi = iyixi
=>
i(yi-bxi)Xi = 0
=>
b  iyiXi/i xiXi
解b
(1-3-6)
b = iyixi/ixi2 = ixiYi/ixi2
(1-3-7)
b = i(Yi- Y )(Xi - X )/i(Xi- X )2 = SXY/SX2
標本共分散
SXY= i(Yi - Y )(Xi - X )/(n-1)
標本分散
SX2=i(Xi - X )2/(n-1)
最小二乗推定量
OLSE
(Ordinary Least Squares Estimator)
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