6 箱の中の自由粒子
井戸型ポテンシャルの井戸の高さ(深さ)
領域Ⅱの波動関数は

2m(V0  E )
2
  II ( x)  0
を無限に高くする
 II  De x
 II  Ce x
だったので
V0
V0  
で
as V0  
無限に高いポテンシャルの壁の中には
波動関数は入り込む事ができない。

無限に高いポテンシャルの壁は剛体表面
 
周囲を剛体壁面で囲まれた直方体の中の自由粒子の運動
0
V (xyz)  

箱の中
箱の外
シュレディンガー方程式は
2   2
2
 2 

 2  2  ( xyz)  E ( xyz)
2

2   x
y
z 
波動関数が満たさなければならない条件
一価,有限,連続
連続

箱の外側には波動関数はないので,
箱の内側表面で波動関数は0
境界条件
 (0, y , z )   (a, y , z )  0
 ( x,0, z )   ( x, b, z )  0
 ( x, y ,0)   ( x, y , c)  0





6.1 変数分離
 2   2
2
 2 

 2  2  ( xyz )  E ( xyz )
2

2  x
y
z 
y
z だけの微分
だけの微分
x だけの微分
2
xy
や
2
yz
のような
Cross term がない
 ( xyz )  X ( x)Y ( y)Z ( z)とおいて変数分離ができる
 ( xyz)  X ( x)Y ( y ) Z ( z )
を
2   2
2
 2 

 2  2  ( xyz)  E ( xyz)
2

2   x
y
z 
に代入する。
2   2
2
 2 

 2  2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )  EX ( x )Y ( y ) Z ( z )
2

2   x
y
z 
2   2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )  2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )  2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 



2
2


2 
x
y
z 2


EX ( x )Y ( y ) Z ( z )
 2 X ( x)Y ( y ) Z ( z )
x 2
x
で偏微分するときは
を見てみよう。
Y ( y ) や Z (z )
は定数と見なしてよいので
 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z )  2 X ( x )

Y ( y )Z ( z)
2
2
x
x
となる。
したがって

2   2 X ( x )
 2Y ( y )
2Z ( z)

Y ( y )Z ( z) 
X ( x)Z ( z) 
X ( x )Y ( y ) 
2
2
2


2   x
y
z


E X ( x )Y ( y ) Z ( z )
両辺を
X ( x)Y ( y ) Z ( z ) で割ると
2   2 X ( x ) 1
 2Y ( y ) 1
 2 Z ( z ) 1 



E
2
2
2


2   x
X ( x)
Z ( z) 
y Y ( y )
z
2 X ( x)
を X ' ' ( x ) と書くと
2
x
2  X ' ' Y ' ' Z ' ' 




E
2  X
Y
Z 
つまり
2 E
 X '' Y '' Z'' 



 2
Y
Z 

 X
2 E
 X '' Y '' Z'' 






Y
Z 
2
 X
y
x
z
だけの関数
だけの関数
だけの関数
右辺は一定だから
x

  y, z が一定なら,この2項は一定

を変化させても
X ' ' ( x)
は一定でなければならない
X ( x)
すなわち
X ' ' ( x)
A
X ( x)
A, B, C
Y ' ' ( y)
B
Y ( y)
は定数。
Z ' ' ( z)
C
Z ( z)
すなわち
X ' ' ( x)  AX ( x) Y ' ' ( y )  AY ( y )
2 E
A B C   2

より
2
E
( A  B  C)
2
境界条件は
X ( 0)  X ( a )  0 

Y ( 0)  Y ( b )  0 
Z (0)  Z ( c )  0 
X ' ' ( x)  AX ( x)
Z ' ' ( z )  AZ ( z )
を解こう
A0
A  2
の場合
とおける。そうすると X ' ' ( x)   2 X ( x) だから
X ( x)  D1 e Ax  D2 e Ax
x0
のとき
X (0)  D1  D2  0  D2  D1
xa
のとき
X (a)  D1 e
Aa
 D2 e
 D1 e Aa  e Aa
Aa
 0
 0  D1 e
a0
だから
D1 も D2 も0 だから X (x) は恒等的に0
A0
の場合 境界条件を満足する解はない。
Aa
 D1 e
D1  0
Aa
0
A0
の場合
X (x) は2回微分すると0になる関数だから x の1次関数
X ( x)  D1 x  D2
x0
のとき
X (0)  D2  0
xa
のとき
X (a)  D1 a  0  D1  0
D1 も D2 も0 だから X (x) は恒等的に0
A0
の場合 境界条件を満足する解はない。
A0
の場合
A  2 とおける。そうすると X ' ' ( x)   2 X ( x)だから
X ( x)  D1 sin x  D2 cos x
x0
xa
のとき
X (0)  D2  0
のとき
X (a)  D1 sina  0  a  l
l
 

a
l  0,1,  2,  3,
2 2
l

A   2   2
a
l  0 の時は   0 となり, X (x) は恒等的にゼロ
l  0 の時は D1 の符号を変える事と同じだから不必要
したがって
D1
 l 
X ( x)  D1 sin  x 
a 
l  1, 2, 3,
は規格化することによって求められる。
規格化

a
| X ( x) |2dx 
0

a
0
 l
D1 sin 2 
a

x dx  D1


a
0
1
2l
(1  cos
x)dx
2
a
a
D12 
a
2l 
D12

x
sin
x 
a 1

2 
2l
a 0
2
したがって D1 
こうして X ( x ) 
Y ( y), Z ( z )
2
a
2  l 
sin  x 
a a 
を得る。
についても同様にして以下の結果を得る。
8
 l   m   n 
lmn( xyz ) 
sin  x  sin 
y  sin  z 
abc  a   b   c 
エネルギーは
2E
2
A  B  C   2 だったので E   ( A  B  C )
2

l 2 2
A     2
a
2
で,
y, z
についても同様に
m 2 2
n 2 2
C 2
B 2
c
b
したがって
 2 2 l 2 m 2 n 2
E (lmn )  
( 2  2  2)
2 a
b
c
l, m, n  1, 2, 3,
となり,離散的な固有値になる。
6.2 ゼロ点エネルギー
箱の中の自由粒子の状態は離散的なエネルギー固有値を持つ固有状態
だけが許される。
その固有状態は正の整数の組
(l m n) で指定される
例えば (l  1, m  2, n  1 ) の場合
 2 2 1
4
1
( 2  2  2)
エネルギー固有値は E (1,2,1)  
2 a
b
c
8
    2    
sin  x  sin 
y  sin  z 
波動関数は 121( xyz ) 
abc  a   b   c 
このように量子力学的状態を指定するラベル
(l m n)
を量子数 という
固有状態のうちエネルギーが最小の状態を基底状態とよび
それ以外の状態を励起状態とよぶ。
今の場合,基底状態の量子数は l  1, m  1, n  1 でありこのときのエネルギーは
 2 2 1
1
1
E (1,1,1)  
( 2  2  2) 0
2 a
b
c
となって,0ではない。
量子力学では基底状態(エネルギーが最小の状態)でも
エネルギーは0にはならない。
基底状態でも粒子は運動エネルギーをもっている。

粒子は静止しないで運動している
ゼロ点運動

このエネルギーをゼロ点エネルギーという
縮退
左の図のように,その高さがエネルギーを
表す線を エネルギー準位 という。
a  1.0, b  1.1, c  1.2 から,
a  b  1.0, c  1.2 になると,
2本のエネルギー準位が重なる
さらに a  b  c  1.0 になると
3本のエネルギー準位がかさなる。
1つのエネルギー準位に複数の異なる
状態が重なることを 縮退 と言う
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箱の中の自由粒子