6 三平方の定理
1章 三平方の定理
§1 三平方の定理
(4時間)
§1 三平方の定理
三平方の定理
直角三角形の直角をはさむ2辺の長
さを a , b , 斜辺の長さを c とすると、c
次の関係が成り立つ。
a 2+ b 2= c 2
B
a
三平方の定理の逆
△ABC で、
BC=a , CA=b , AB=c
とするとき、次のことがいえる。
a 2+ b 2= c 2 ならば、
∠C=90° B
A
b
C
A
c
a
b
C
《三平方の定理の証明1》
E
D
c2
F
B
A
c
b b2
a
C
a2
a 2+ b 2= c 2
《三平方の定理の証明1》
E
a
b D
c2
=四角形EFCD-△ABC×4
a
1
2
=( a+b ) -― ab×4
2
A
=a 2+2 ab+b 2-2 ab
b
c2
a
F
c
b B
a
b =a 2+b 2
2
2
2
よって、
a
+
b
=
c
C
《三平方の定理の証明2》
D
E
c2
B
A
c
b b2
a
C
a2
a 2+ b 2= c 2
《三平方の定理の証明2》
D
c 2 (青枠の四角形DEBA)
E
c2 b
ab
B
a
c
a
=赤枠の四角形+△ABC×4
1
2
=( a-b ) +― ab×4
2
A
=a 2-2 ab+b 2+2 ab
b =a 2+b 2
2
2
2
よって、
a
+
b
=
c
C
《三平方の定理の逆の証明》
『△ABCで、a 2+ b 2= c 2 ならば、∠C=90º 』
【証明】
右の図の △ABC に対して、
c
B’C’=a , C’A’=b , ∠C=90º
であるような △A’B’C’ をかき、
a
B
A’B’=x とする。
△A’B’C’ は、∠C’=90º の直角三角形
であるから、三平方の定理によって、
x
a 2+ b 2= x 2 ・・・・・・①
また、仮定から、 a 2+ b 2= c 2 ・・・・・・②
①、②から、
x 2= c 2
a
B’
x , c は、ともに正の数だから、
x= c
したがって、AB=A’B’ , BC=B’C’ , CA=C’A’
なるから、
△ABC≡△A’B’C’
よって、
∠C=90º
A
b
C
A’
b
C’
と
《問題1》
下の表には、直角三角形(ア)~(オ)の3辺の長さ
a , b , c が示されている。この表の空らんをう
めなさい。ただし、c は斜辺の長さとする。
a
(ア
)
3
(ウ
)
8
5
b
c
(イ
)
5
13
17
(エ
)
10
(オ
)
10
5
10
END
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