岩 倉 市日 本語 ・ ポル ト ガル 語 適応 指 導教 室
三角形の面積は,長方形の面積を半分にしたものと考えて求める
ことができます。
三角形ABOの面積を求めましょう。
①
三角形ABCを三角形ABEと
三角形ACEに分ける。
②
三角形ABEと三角形BADは,
形も大きさも同じ三角形である。
三角形ACEと三角形CAFも,
形も大きさも同じ三角形である。
③
このことから,三角形ABCの
面積が,長方形DBCFの面積の
半分になっていることがわかる。
長方形の面積=たて×横より,三角形ABCの面積は,
4×6÷2=12で,12c㎡であることがわかります。
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三角形ABCで,辺BCを底辺とするとき,
す い ち よ く
頂点Aから辺BCに垂直にひいた直線ADの
長さを高さといいます。
図①で辺ACを底辺とすると,これに
垂直な直線BDの長さが高さになる。
図②で辺BCを底辺とすると,これに
垂直な直線ADの長さが高さになる。
辺ABを底辺と考えると,直線CEの
長さが高さになる。
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三角形の面積は,次の公式で求められます。
三角形の面積=底辺×高さ÷2
〔例〕
右の三角形ABCの面積は,
辺BCを底辺とすると,
直線ADが高さになるので,
6×4÷2=12
で,12c㎡であることがわかる。
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す い ち よ く
三角形の面積を求める計算では,底辺と高さが垂直になることに
注目します。
8×5÷2=20
で,面積は20c㎡
となる。
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辺ABと辺ACが
垂直なので,
3×4÷2=6
で,面積は6c㎡
となる。
辺BCと直線AD
が垂直になるので
4×4÷2=8
で,面積は8c㎡
となる。
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形も大きさも同じ2つの台形を組み合わせることによって平行四辺形
ができることから,台形の面積を求めることができます。
2つの同じ台形を組み合わせてできる
平行四辺形の底辺の長さは,もとの台形
の上の辺の長さと下の辺の長さをたした
ものになっている。
平行四辺形の面積=底辺×高さより,
台形を2つ合わせた平行四辺形の面積=(上の辺十下の辺)×高さとなる。
台形の面積は,この平行四辺形の面積の半分なので,
台形の面積=(上の辺+下の辺)×高さ÷2
となる。上の図で台形の面積は,
(3+6)×4÷2=18で,18c㎡である。
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2本の対角線の長さがわかっているひし形の面積は,たてと横の辺
の長さが,ひし形の2本の対角線の長さと同じ長方形の面積の半分に
なっていることから求めることができます。
たてと横の辺の長さが,ひし形の2本の対角線の長さと同じ長方形
を考えてみると,アと才の面積が同じになっている。
同じようにイと力,ウとキ,エとクも同じ面積なので,ひし形の面
積が長方形の面積の半分になっていることがわかる。したがって,2
本の対角線をそれぞれ対角線①,対角線②とすると,
ひし形の面積=対角線①の長さ×対角線②の長さ÷2
となる。上の図でひし形の面積は,
4×7÷2=14で,14c㎡である。
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1つの対角線の長さがわかっている正方形の面積は,1辺の長さが
その対角線の長さと同じ正方形の面積の半分になっていることから
求めることができます。
正方形の2本の対角線の長さは同じである。1辺の長さが,もとの正
方形の対角線の長さと同じ正方形を考えてみると,アと才の面積が同じ
になっている。
同じようにイと力,ウとキ,エとクも同じ面積なので,もとの正方形
の面積が大きな正方形の面積の半分になっていることがわかる。したが
って,
正方形の面積=対角線の長さ×対角線の長さ÷2
となる。上の図でもとの正方形の面積は,
6×6÷2=18で,18c㎡である。
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形のちがう三角形であっても,底辺の長さが等しく,高さも等しけれ
ば,面積は等しくなります。
三角形の面積=底辺の長さ×高さ÷2なので,底辺の長さと高さが等
しければ,形のちがう三角形であっても,面積は等しくなる。
図のように,三角形ABCの
頂点Aが,底辺BCに平行な
直線アの上のどこにあっても,
面積はみな同じになる。
図の三角形の面積はどれも,
8×6÷2=24
で,24c㎡である。
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次のように,平行四辺形の中を区切って作った色ぬりの三角形の面積
は,すべて等しく,平行四辺形の面積の半分になっています。
次の平行四辺形ABCDの面積は,どれも48c㎡です。色ぬりの三角形
の面積がどうなっているか考えてみましょう。
三角形ABCの面積は,
8×6÷2=24(c㎡)
で,平行四辺形の面積
の 半分 に なってい る。
三角形AGDの面積は,
8×2÷2=8(c㎡) 平行
形BGCの面積は,こ
8×4÷2=16(c㎡)で,
で,あわせて,24c㎡
となリ,平行四辺形の
積の半分になっている。
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三角形ABCの面積が三
角形ABCの面積と同じ
24c㎡なので,三角形A
EDと三角形BEDを合
せた面積は,
48-24=24c㎡で,
やはり平行四辺形の面積
の半分になっている。
四辺形の内がわのど三角
に点Gをとっても,三
角形AGDと三角形BG
Cを合わせた面積は
24c㎡となり,平行四辺
形の面積の半分になる。
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次のような図形の面積は,いくつかの三角形に分けて,それぞれの
三角形の面積の和を求めます。
〔例〕次の長方形ABCDの中にある四角形ABEFの面積を
求めてみましょう。
四角形ABEFを三角形ABFと三角形BEF
に分ける。三角形ABFの面積を,底辺をAB,
高さをFHとして求めると,
6×8÷2=24(c㎡)
となる。
三角形BEFの面積を,底辺をBE,高さを
CFとして求めると,
3×4÷2=6(c㎡)
となる。
したがって,四角形ABEFの面積は,
24+6=30
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で,30c㎡である。
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三角形の高さをそのままにして,底辺の長さを2倍,3倍,…にする
と,面積も2倍,3倍,…になります。
〔例〕
高さが6cmの三角形の底辺の長さと面積の関係は,表のよう
になる。
〔例〕 底辺の長さをそのままにして,高さを2倍,3倍,…にすると,
三角形の面積も,2倍,3倍,…になります。
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平行四辺形の面積は,長方形になおして求めることができます。
長方形の面積=たて×横
より,上の図の平行四辺形の面積は,
4×6=24で,24c㎡であることがわかります。
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て
い
へ
ん
平行四辺形の1つの辺を底辺とするとき,その底辺とこれに平行な
辺との間のはばを高さといいます。
図①で辺BCを底
辺とすると,これ
に垂直な直線AE
や直線FG,直線
DHなどの長さは
どれも同じになっ
ている。
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同じ平行四辺形
ABCDであって
も,図②のように
辺CDを底辺とす
ると,直線AEや
直線FGなどの長
さが高さになる。
図③では,辺BC
を底辺と考えると,
直線AEや直線D
Fなどの長さが高
さになる。
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平行四辺形の面積は,次の公式で求められます。
平行四辺形の面積=底辺×高さ
〔例〕
右の平行四辺形A日CDの面積,
辺BCを底辺とすると,直線EFが
高さになるから,
6×4=24
で, 24c㎡であることがわかる。
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平行四辺形の面積を求める計算では,底辺と高さが垂直になること
に注目します。
図①の平行四辺形
ABCDの面積は,
辺BOを底辺とす
ると直線ECが高
さになるから,
8×4=32で,
32c㎡である。
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図②の平行四辺形
ABCDでは,辺
CDと直線AEが
垂直になっている
から,面積は
5×6=30で,
30c㎡である。
図③では,直線CEと直
線DEは垂直になってい
るが,どちらも平行四辺
形ABCDの底辺にはな
っていない。辺BCと直
線DEは,はなれている
が,垂直になっているか
ら,面積は2×3=6で,
6c㎡である。
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平行四辺形の高さをそのままにして,底辺の長さを2倍,3倍,…
にすると,面積も2倍,3倍,…になります。
底辺の長さをそのままにして,高さを2倍,3倍,…にすると,
平行四辺形の面積も2倍,3倍,…となります。
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※ 教科 算数テキスト 小5 2学期 11月