カオス水車のシミュレーションと
その現象解析
数理情報科学コース
中山研究室
北 いづみ
はじめに
カオスとは、簡単な規則にしたがって起こるのに、不規
則に揺れ動いて先の予測ができない動きのことである。
複雑な動きをするもの
水車モデル
水車モデ
ル
参考文献 科学シミュレーション研究会:「パソコンで見る
複雑系・カオス・量子」 より導出
問題点
導出されている式に疑問がある
カオス性の証明がない
研究目的
水車モデルの解析を詳しく行い、カオス性を検証する。
Java による現実水車のシミュレーション
回転速度、回転の減衰率、かごの穴の直径、注水量を初期値
として与える。
回転速度のグラフを表示
左回りを正、右回りを負の回転とし、時間推移による
速度の動きを表す。
回転の減衰率・・・水車の回転が遅くなる割合。
かごの穴の直径・・・かごの底には穴が開いていて
水はそこから抜け落ちている。
現実水車数学モデル
d
  dt
d N
 
dt
I
 i (t )   (t ) 
7
7
i 0
i 0

4
i (i  0 ~ 7)
 gl mi (t ) cos i (t )  k( I f  l 2  mi (t ))
If l
7
2
 m (t )
i
i 0
 dmi (t )
 p   mi (t ) (i番目のかごに注水中) 
 dt
各かごの慣性モーメント

l cos i (t )
I i (it()t )l 2
 dm
i (t()t ) (注水していないと
mi (t ) gl cos
 i (t )
 mm
き) i

 dt
力のモーメント
l  : 水車の回転角  : 回転速度
N ip(t:)注水量  mi (t ) gd : 穴の直径 l cos i (t )
mi (t ) g
S : かごの底面積  
2 g i (t ) 2 mi (t ) : 各かごの水量 k : 回転の減衰率  d
I f : 空の水車の慣性モーメ ント
S
4
現実水車モデルの問題点
かごに注水が行われるかどうかによって
水の変化量の微分方程式が切り替わって
しまい、解析が難しい。
かごの中の水の総和を一定にできない。
理想的現実水車モデルを立てる
理想的現実水車モデルのしくみ
かごの数はn個
注水は高さに比例してすべてのかご
に行われる。
Java による理想的現実水車のシミュレーション
回転速度、回転の減衰率、かごの穴の直径、注水量を初期値として与
える。
回転速度のグラフを表示
左回りを正、右回りを負の回転とし、時間推移による
速度の動きを表す。
シミュレーションにおいてはかごの数は8個とする。
回転の減衰率・・・水車の回転が遅くなる割合。
かごの穴の直径・・・かごの底には穴が開いていて
水はそこから抜け落ちている。
理想的現実水車数学モデル
n 1
n 1


d
 gl mi (t ) cos i (t )  k( I f  l 2
mi (t ))
 d
d
n 1
i 0
i 0
  n1
dt
 dt
gl mi (t ) cos i (t )  k2( In f 1  l 2
mi (t ))
dt
d

 dmi (t ) dt

I f l
i 0
n 1



i 0
mi (ti)0
2
I

l
mi (t )

p


m
(
t
)
f
i

dmi i 0(t )
 dt
 A  2B sin i (t )  hmi (t )

dmi (t )
dthmi (t )
dm
(
t
)

A

2
B
sin

(
t
)

i
i

 dt mi (t ) 
 dt
n 1
水量の総和
An
n 1 m (t ) n1
n 1
n 1
i
d
An
h
m
(
t
)

A

2
B
sin

(
t
)

hmi (t )  An  h mi (t )  0
i
i
m
(
t
)

i

0
i
dt i 0
h
i 0
i 0




i 0

理想的現実水車の問題点
変数の数が多くなってしまうことから
解析が難しい。
かごが無限個あるとする理想水車を考える
理想水車数学モデル(W.Malkusモデル)
新しい関数を定義する
d
  mi (t ) if ( y, t )    i (t ), t 
m( y,dtt )  
22A
 2
2 2A
gl
m( (t )  x, t ) cos( (t )  x)dx  kl
( y, t )dy

0 md
0
h
h

1
dt
2 2nA
2
l
m (t )  x, t cos (t )  x dx  h mi (t ) cos i (t )
0
n
i 0

2

n 1
dm( (t )n21x, t )
) cos
A 2B
sin(

(t()I  x)l2 hm(m

(2(tt)A
 x, t )
2

gl
m
(
t
(
t
)

k

))
 gldtm(i (t )  x, t )i cos( (t )  xf )dx  
kl i
d

0
dt
dt


i 0
n 1
22 2A
l
I f l
i 0

h m (t )
i 0
i
h
Java による理想水車のシミュレーション
初期値として、回転速度、注水量の高さに関する
定数を入力する。
回転速度のグラフを表示
左回りを正、右回りを負とし、時間推移による速さの動きを
表す。
ローレンツ方程式の導出
dm( (t )  x, t )
 A  2B sin( (t )  x)  hm( (t )  x, t ) より導出
dt
d 2
m (t )  x, t sin (t )  x dx
dt 0

2
2
  m (t )  x, t cos (t )  x dx  h m (t )  x, t sin (t )  x dx  2B


0
d
dt
0
2
 m (t )  x, t cos (t )  xdx
0
 
2
2
 m (t )  x, t sin (t )  xdx  h m (t )  x, t cos (t )  xdx
0
d

dt
 gl
0

2
m( (t )  x, t ) cos( (t )  x)dx  kl 2
0
l2
2A
h
2A
h
ローレンツ方程式の導出
2
  x, m (t )  x, t cos (t )  x dx   y, 
0
2B
m (t )  x, t sin (t )  x dx   z 
0
h

2
線形変換
ローレンツ方程式
 dx
 dt   ( y  x )

 dy
  xz  rx  y

 dt
 dz
 dt  xy  bz 
h 1
 k 
2B
h
b 1
r 
gh
2lA
ローレンツアトラクタ
 dx
 dt   ( y  x )

 dy
  xz  rx  y

 dt
 dz
 dt  xy  bz 
  10.398, r  28.274, b  1
まとめ
現実水車モデルから導出した微分方程式系
よりローレンツ方程式が導かれ、そのローレンツ
アトラクタがバタフライのように描かれた。
水車はカオス的な振る舞いをすると考えられる。
終わり
角速度の変化量(角加速度)
質点の運動
回転運動
F(力の大きさ)
N(力のモーメント)
m(質量)
d
N I
dt
I(慣性モーメント)
d
角加速度
dt
加速度
8
I  I f l2
7

l cos i (t )
l
 i (t )
mi (t ) gl cosN i(t ) gl
mi (t ) g
各かごの慣性モーメント
I (i)  l 2  mi (t )
力のモーメント
N i (t )  mi (t ) g  l cos i (t )
i
i 1
mi (t ) cos i (t )  kw( I f  l 2
i 0
d N
 
dt I
 m (t )
7

 gl
7
 m (t))
i
i 0
mi (t ) cos i (t )  kw( I f  l 2
i 0
7
 m (t ))
i
i 0
8
I f l
2
 m(i)
i 1
m(i) : 各かごの水量 I f : 空の水車の慣性モーメ ント
l : 水車の半径 g : 重力加速度 k : 回転の減衰率
理想水車数学モデル
水の変化量
注水量
注水量
水量
A  2B sin 
m( , t )
a
dm( , t )
 ( A  2B sin )  hm
dt
水車全体の水の変化量
d m d 2
  m d  2A  hm
dt dt 0
θθ
基準の高さ
水車全体の水量
m
点θでの水の変化量
2
 m( , t )d
0
 : 左回りにはかった回転 角
A, B : 注水量に対する比例定 数
h : 抜け落ちる水に対する 比例定数
 2A  e  ht C
(2A  hm  0)

h

 2A  e  ht C
m
(2A  hm  0)
h

 2A
 h (特異解) (C : 積分定数)

特異解より、水車全体の質量は一定とする。
角速度の変化量
θにおける力のモーメント
N ( )  (mg  a cos )
水車全体の角運動量 a m
2
a cos
角運動量を時間tで微分したものは
力のモーメントに等しい
a
θθ
d (a 2 m)
  gam cos  ka 2 m
dt
m( , t ) g
水車全体の水量は一定のため、
d
gh
 k 
m cos dt
2Aa
2A 

m 

h 

水車全体の力のモーメント
2
  mg  a cos d  gam cos
0
 d

 : 角速度
 
 dt

a : 水車の半径
k : 回転の減衰率
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