修士論文発表
2003年2月10日
ボーズ・フェルミ混合超流動原子気体の集団励起
栗原研究室 M2
ヴァルタン光
目次:
I. 序
II. モデル
III. 理論
IV. 結果と考察
V. 結論と課題
I. 序
歴史的背景
ボーズ・アインシュタイン凝縮の成功(MIT: 1995)
磁気トラップ;レザー冷却;蒸発冷却
ii. Bogoliubov音波の観測 (MIT:1997)
iii. Feshbach共鳴の成功 (MIT:1998)
aeff  1000aB
iv. 縮退フェルミガス (JILA : 1999)
最近では0.1TFまで達成(超流動の兆?)
v. ボーズ・フェルミ混合系で量子縮退(ライス大:2001)
i.
i.
フェルミオン冷却の難点
パウリ排他律
縮退に近づくにつれ、蒸発冷却が非効率に
ボソンとの混合冷却?
ii.
対生成の為の引力
Li6以外は斥力相互作用
Feshbach 共鳴?
iii. 超流動の観測
混合冷却
二つのhyperfine状態のフェルミオンをトラップ
することにより、S-波散乱が可能。
縮退付近でパウリ排他率
の効果が著しくなる
BECとの散乱が可能
研究の主題
希薄なボソンとフェルミオン混合系で、
両方共に超流動転移をした時の集団励起について、
経路積分の手法を用いて調べる。
本研究の計算は一様系を想定する:
ボソンとフェルミオンの重なりは
緩やか或いは箱型のトラップである場合のみ大きい。
II. モデル
虚時間経路積分で記述される混合系の
大分配関数から出発:
Ζ gr   D D D D




 1





 exp S B [ ,  ]  S F [ , ]  S BF [ ,  , , ] 
 


複素場 (ボソン成分)

グラスマン場 (フェルミオン成分)
混合系の作用
Bose gas:
S B [ ,  ] 

 

d
0
 
 

 2
gB
4
dx   x,  

  B  x,  
  x,   
2
  2mB



Fermi gas:
 
 

 2
S F [ , ] 
d dx   x,  

    x, 
0

  2mF


gF
2
2

  x ,       x ,   
2





Hyperfine States
 &
Bose-Fermi Interaction :
 

S BF [ , ,  ,  ]   d



dx g   x,   x, 
2
2
0
Coupling constants :
g x  2  2ax mR
III. 理論
i. Stratonvich-Hubbard変換
BCS order-parameterに相当する補助場を導入
 a ( x, )
ii. フェルミオン場を経路積分
iii. 南部空間での回転 (ゲージ変換)
ギャップが実数に成る様な位相を選ぶ
iv. ゆらぎについて摂動展開
ボソン場
Bogoliubov 近似
補助場
平均 + ゆらぎ
v. 運動量空間へのフーリエ変換
 ( x, )  nB   ( x, )
a ( x, )  0   ( x, )
vi. ゆらぎの一次
 S 1  0
の条件
Bose Field
Hugenholz-Pines Relation
 B  g B nB  g n  gn
Pairing Field
BCS Gap equation
0
F x, ; x,  
gF
ix. ゆらぎの二次
RPA 分極バブルの計算
実部
Feynman’s techniqueで解析的に
虚部
解析接続の後に数値的に
+ Ward高橋の恒等式
ゲージ不変性により、基本4種類から全てが求まる
f0 (k ,  n )、 g0 (k ,  n )、 h0 (k ,  n )、 k0 (k ,  n )
ix. ゆらぎの二次
ゆらぎの二次はグリーン関数の逆数だから:
ベクトルを導入:
†  A ( k ,  ) P ( k ,  )  ( k ,  )  ( k ,  ) 
S
1

2V
( 2)
長波長極限 :

d  †G -1 ( k ,  , T ) 
k
DetG-1  0 &   ck
G -1 
 2 mk  2 g B nB  g A2 nB g 0 ( k )  f 0 ( k ) 
 B
i
  g 2 n g ( k )  f ( k ) 
0
 D B 0
2k 2
i



2 mB

g D nB k0 ( k )  k0 ( k )
0




i
g
n

k
(
k
)

k
0
A
B 0 0
0 (k )

2 2





g D nB k

0 (k )
k

0 (k )


- ig A n B  0 k
0
0
h0 ( k )  f 0 ( k )  g1F
0
0


0 (k )
k

0 (k )
20 h0 ( k )  f 0 ( k )  g1F











IV. 結果と考察
ボソンとフェルミオンの結合
によるモード反発
The Dispersion Relation
2
 

2
2
2
2



1 g B nB v F
g A N 0vF nB  2
 1 g B nB v F
2
   
   
  
k
3
4  mB
3
6 mB
 2  mB

Bogoliubov mode

vA
Anderson mode
Repulsion between
Bogoliubov velocity
and Anderson velocity
vB
0
k
vA
不安定性の条件:
2
4

a
m
B R
aA2 
k F mB mF
Velocity (units of vF )
Instability of superfluid
vB
Exp: Mixture of 6Li & 87Rb
aA (a.u.)
ボゾン超流動の崩壊?
その前に相分離か?
ボゾン・フェルミオン間が引力の場合は??
Decay rate
音速の虚部(結合による減衰):
104 vF
A
B
  (cB  i B )k
  (c A  i A )k
Imaginary coefficient of k
Temperature

in Mixture of 6Li & 87Rb
For a  a  150a0
対破壊、Landau減衰が無い範囲では安定
K BT
0
IV. 結論と課題
結論
ボソン・フェルミオン超流動混合系に於いて:
• 集団励起モードの分散関係
• ボソンとフェルミオンの超流動モードは結合により反発しあう。
• 片方の超流動に不安定性が存在する
• 有限温度で結合による減衰
今後の課題
トラップの効果とフェルミオンの超流動転移温度付近の物理
付録:
A. Stratonvich-Hubbard変換
 


 

exp


d
dx
0
2
2
gF
   x,      x ,    



1

D D exp




d
0

   x,   2 




dx 
   x,   x,   x,     x,   x, x, 
 g F 


BCS order-parameterに相当する補助場を導入
B. Integration over fermionic fields


 

S eff  , ,  ,    d


0
dx
  x,  
gF
2


 
 S B   ,   Tr ln -G
1

第三の項摂動展開
C. 摂動展開
   2
2


   g 
1  2mF
G 1  








2
 
2


   g  
 2mF

D. 南部空間での回転 (ゲージ変換)
ユニタリー変換 :
U    e

i
 3   x , 
2
Trace of Green’s function invariant
~ 1
G  U  G 1 U 1  
ギャップを振幅と位相に :
x,   ae
i p  x, 
   p をギャップが実数に成るように取る
E. 摂動展開
ボソン場
Bogoliubov 近似
補助場
平均 + ゆらぎ
 ( x, )  nB   ( x, )
a ( x, )  0   ( x, )
G 1 G01  
量子ゆらぎを小さいとして,
 
 T r ln G
1
  T rlnG 
1
0


1
  T r G01
j 1 j
を二次まで展開.

j
F.摂動展開ゆらぎの部分
1 K  L M
x,    
    x,  
  x,  


K LM
1
  K 3  L  M  0   1 

where:
mF v 2  x,  






K  i  x ,   
 g A nB   x,     x,     x,   x, 
2
i

L  , v x,  ; M  g D nB   x,      x,     x,   x, 
2
 
 

 
v  x,   
 x,  ;  x,    x, 
2mF
2
g  g
gA 
2
g  g
; gD 
2




G. フーリエ変換
1
 ( x,  ) 
V
i  k x -  

(
k
,

)
e

n
n
k ,n
G0 ( x, ; x, ) 
1
V
i  k  x - x - n    
G
(
k
,

)
e
 0 n
k ,n
Ak ,  n   i n    k i n    k    0
2
2k 2
 k  
   g n
2m
H. unperturbed Green’s function
0
 i n    k 




G0 k ,  n  
0
i n    k 
Ak ,  n  
G k ,  n  F k ,  n 

 





F
k
,

G
k
,

n
n



I. RPA 分極バブル
f0 (k ,  n ) 
1
V
F
g0 (k ,  n ) 
1
V
G ( p ,  m G
)
( p  k, m  n )

h0 ( k ,  n ) 
1
V
G ( p ,  m G
)
( p  k, m  n )


0 (k ,  n )
1
V
G ( p ,  m )F
g1 ( k ,  n ) 
1
V
 ( p  k 2 )G ( p ,  m G
)
( p  k, m  n )

g2 (k ,  n ) 
1
V
 ( p  k 2 ) 2G ( p ,  m G
)
( p  k, m  n )

k

p ,m
F
( p,  m )
(p

k, m

n )
p ,m
p ,m
p ,m
(p

k, m

n )
p ,m
p ,m
etc.
高次のバブルが低次のバブルで表せる
J. TheWard Identity
Change of Green’s function upon rotation of phase
G ( x, x)  e
G
1
( x , x )
i  (x)
3
2
e
G ( x, x)e
i  (x)
3
2
 3G
G
G
( p)
1
G
( p  k)
 2i  (x) 3
( x , x )
e
 2i  (x) 3
G
1
i 
n

3  mF
k


1
( p  k 2 ) 0  2i 0  2 G
k2
mF
g 2 ( k )  f 2 ( k )   i n k g1 ( k )  f1 ( k )  

 G
3
g1 ( k )  f1 ( k )   i n g 0 ( k )  f 0 ( k )   2

1 (k )
( x , x )
( p  k)
k
mF
k
ゲージ不変性から:
G ( x, x)  G ( x, x)  O(  2 )
We obtain :
k
mF
:


0
k

0 (k )
20k

k
( x , x)
( p)
 k0 ( k )

1 (k )
 O(  2 )
k


 (k )

k 2 nF
2
 k1 ( k )  i n k0 ( k )  k0 ( k )  2  0 h0 ( k )  f 0 ( k )   2gF0
e
i  (x)
0
2

 in f 0 ( k )  0 k0 ( k )  k0 ( k )

K.バブルの実部
Using Feynman’s technique
1
1  [a  (1   )b]2 d
ab 0
and at absolute zero
2


N 0  
2 
v
k
2
F
  
e f 0 ( k ,  ) 
1  2    
2  6 0 
3 

2


N 0  
2 
v
k
2
F
  
e g 0 ( k ,  )  
1  2    
2  6 0 
3 

2


1 N 0  
2 
v
k
2
F
  
e h0 ( k ,  ) 

1  2    
gF
2  3 0 
3 


N 0  
2 
vF k 2 
2
  
e k0 ( k ,  ) 
1  2    
4 0  6 0 
3 

g  g
  
L.解析接続
Analytic continuation :
m 1V G ( p,  )F
(p

k, 

p ,m
n )

 ( 21 )4 mGR ( p,  ) mFR ( p  k ,    )  tanh 2kBT  tanh 2(kBT )
m  0
GR FR
m  
GA FR
GA FA
解析接続

i n  
Retarded Polarization Bubbles:
 N 0  
m f 0 ( k ,  , T ) 
sinh2kBT
2 v F k

 N 0 
m g 0 ( k ,  , T ) 
sinh2kBT
2 v F k

2
0
where:
for which :



 
 


 2 E 2  2  2E  ( E   ) cosh E coshE   1 
2 k BT
2 k BT
E


dE 2

2
0
E   0  2 E 2  2  2E  ( E   ) cosh E coshE   1 
2


2 k BT
2 k BT
1C

m f0 (k ,  )  m h0 (k ,  )  0 m (k0 (k ,  )  k0 (k ,  ))
E   2  2 ; E ,  E   ; C 

for


 ( E   ) cosh E coshE   1 
2 k BT
2 k BT
E


dE 2

2

1
0
E   0  ( E   ) cosh E coshE   
2


2 k BT
2 k BT
1C

2k 2
2 mF
  2   ( g  2g




) nB


 1 ,
 1 ,   0 :
2k BT
0
N 0 20 
m f 0 ( k ,  , T )  
8 k BT vF k
N 0 20 
m g 0 ( k ,  , T )  
8 k BT vF k

vF k
 1;
;     2   ( g  2g




) nB
M.バブルの虚部



dE
0
1C 2
sech2 2 kEBT
E 2  20

2E
dE

0
1C 2
2

 20 sech2 2 kEBT
E 2  20

N. Spectral Weight
Bogoliubov mode



1

103~ 4
10
AA, B ( k ,  , T )
1
v F k
0
m G A, B ( k ,  , T )
m   (c A, B  i A, B )k 

0
1
v F k
0
103~ 4
10

0
Anderson mode
N. Phase separation
相分離の条件(normal):
aA2 
 aB mR2
k F mB mF
(Stoof et al.: PRA 2000)
ダウンロード

ボーズ・フェルミ混合超流動原子気体の集団励起