線積分
図のように、地上気温Tがx-y平面上に分布しているとする。そのとき、例えば近鉄の線路
上の沿った気温の平均値を求めたいという人がいたとしましょう。
近鉄の線路の経路をcとした場合、その線路に沿った気温Tを足し算してそれを経路の
長さで割り算すれば、平均気温を計算できることは、小学生でもわかるでしょう。
線積分とは、その経路上の気温を足し算することを意味します。なので、
線積分をた値をその経路の長さで割れば平均気温になります。
近鉄ではなくJRの線路に沿った平均気温を知りたいなら、経路cをJR線に変えればよいのです。
なので、線積分は、選ぶ経路によってその値は変わってきます。
T
T ( x, y )
y
T
 T ( x, y)dr
C
y
曲線 C
x
x
T
すべての場所の気温Tが1Kで同じ値だったら線積分の値は
その経路の曲線の長さになるのはあたりまえですね。
y
1K
C
 T ( x, y)dr  1曲線cの長さ
C
x
面積分とは
線積分が分かれば面積分も簡単です。今度は、x-y平面上の紀伊半島地域の気温分布図があったとしましょ
う。それでは、紀伊半島の中にある奈良県だけの平均気温を知りたいという場合を考えましょう。奈良県の県
境の境界線で囲まれる線の内側の気温を全部足し算して、それを奈良県の面積で割れば奈良県の平均気
温を求めることができることは小学生でも分かると思います。面積分とは、面積で割り算する前の段階の奈
良県内の気温の合計値を意味します。つまり面積分の値を面積で割ればその県の平均気温が出る。という
ことです。選ぶ地域は任意です。伊賀市の平均気温を知りたい人は、伊賀市の市境で囲まれたエリア内で計
算すればいいのです。ですから面積分は選ぶ「面」によって値が変わります。
第2段階合
計
T
y
 T ( x, y)ds
s
S
x
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線積分とは