包絡線
• 「ほうらくせん」と読む。包括線や包路線では
ない
• 一連の曲線の一番外側を覆う曲線
f  x, t  x0 
f  x, t  x1 
g  x
x0
x1
f  x, t 
x:変数、t:パラメータ
g  x
:各 x ごとの
f  x, t の最小値
g  x   mint f  x, t 
g  x   mint f  x, t 
t  x
各xごとに最小値を与えるt
g  x   f  x, t  x    f  x , t 
各関数がすべて微分可能として、xに
ついて微分
f  x, t  x   f  x, t  x  
g ' x 

t ' x
x
t
f  x, t  x   f  x, t  x  
g ' x 

t ' x
x
t
最小化の必要条件
f  x, t  x  
t
g ' x 
0
f  x, t  x  
x
g ' x 
f  x, t  x  
x
f  x, t  x0 
f  x, t  x1 
右図になる
傾きが等しい
g  x
包絡線
x0
x1
包絡線定理について
•
•
•
•
毎回制約を微分するなどすれば出る
重要な応用がある
ラグランジュ乗数の意味
シェファードの補題、ホテリングの補題、Roy
の法則(中級ミクロ経済学の主要命題)
制約を含むときの包絡線定理
max f  x1,..., xn , t 
st
g1  x1 ,..., xn , t   0
.....
g m  x1 ,..., xn , t   0
各制約がパラメータtに依存しているとする。
行儀がよくて、各tに対して、ラグランジュ乗数法で一意の解
x1 *t  ,..., xn *t  , 1 * t  ,..., m * t 
が存在し、微分可能だとする。
x1 *t  ,..., xn *t  , 1 * t  ,..., m * t 
をラグランジュアンに代入すると
L  x1 *  t  ,..., xn *  t  ; 1 *  t  ,..., m *  t  , t 
 f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t   1 *  t  g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
....  m *  t  g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
微分すると、合成関数微分でパスに注意すると次のスライド
dL  x1 *  t  ,..., xn *  t  ; 1 *  t  ,..., m *  t  , t 

dt
f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
 1 *  t 
g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
t
g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
....  m *  t 
t
結局ここが残
る
t
 f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 

 1 *  t 
x1
x1

g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t   dx1 *  t 
....  m *  t 

x1
 dt
...
 f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 

 1 *  t 
xn
xn

g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t   dxn *  t 
....  m *  t 

xn
 dt
d  * t 
d  * t 
 1
g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t   ....  m
g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
dt
dt
ラグランジュ乗
数法により0
制約により0
dL  x1 *  t  ,..., xn *  t  ; 1 *  t  ,..., m *  t  , t 

dt
f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
 1 *  t 
g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
t
g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
....  m *  t 
t
t
と
L  x1 *  t  ,..., xn *  t  ; 1 *  t  ,..., m *  t  , t 
 f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
1 *  t  g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
....  m *  t  g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  
制約により0
 f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
から次のスライドの式が成立する
df  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 


dt
f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
dL  x1 *  t  ,..., xn *  t  ; 1 *  t  ,..., m *  t  
 1 *  t 
dt
g1  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
t
g m  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
....  m *  t 
t
t
限界的なパラメータの変化が、目的関数の変化に与え
る影響
x1 *t  ,..., xn *t  , 1 * t  ,..., m * t 
の変化を通じた間接的な効果が無視できる。
制約のないときと制約にパラメータが入らないときは
df  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
dt
f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t  経済学的に有用

t
制約のないときと制約にパラメータが入らないとき
df  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
dt

f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
t
積分する
f  x1 *  t1  ,..., xn *  t1  , t1   f  x1 *  t0  ,..., xn *  t0  , t0 
t1
f  x1 *  t  ,..., xn *  t  , t 
t0
t

dt
ミルグロムのオークションの本で繰り返し使われる
パラメータが複数のとき
  t1 ,..., t p 

ti
f  x1*,..., xn *, t1 ,..., t p 
ti
....  m *
 1 *
g1  x1 *..., xn *, t1,..., t p 
g m  x1*,..., xn *, t1 ,..., t p 
ti
ti
制約のないときと制約にパラメータが入らないとき
  t1 ,..., t p 
ti

f  x1*,..., xn *, t1 ,..., t p 
ti

ラグランジュ乗数の意味
max f  x1,..., xn 
st
g1  x1 ,..., xn   0,
.....
の代わりに
max f  x1,..., xn 
g m  x1 ,..., xn   0
st
g1  x1 ,..., xn   T1 ,
.....
を考える
g m  x1 ,..., xn   Tm
max f  x1,..., xn 
st
g1  x1 ,..., xn   T1 ,
.....
ラグランジュアン
g m  x1 ,..., xn   Tm
L  x1 ,..., xn ; 1 ,..., m ; T1 ,..., Tm 
 f  x1 ,..., xn 
1  g1  x1 ,..., xn   T1   ....  m  g m  x1 ,..., xn   Tm 
L  x1 ,..., xn ; 1 ,..., m ; T1 ,..., Tm 
 f  x1 ,..., xn 
1  g1  x1 ,..., xn   T1   ....  m  g m  x1 ,..., xn   Tm 
包絡線定理を用いてT1 について、微分する
df  x1 ,..., xn  dL  x1 ,..., xn ; 1 ,..., m ; T1 ,..., Tm 

dT1
dT1
L  x1 ,..., xn ; 1 ,..., m 

T1
m  g m  x1 ,..., xn   Tm 
f  x1 ,..., xn  1  g1  x1 ,..., xn   T1 


 .... 
T1
T1
T1
 1
各ラグランジュ乗数は、制約が限界的に変化
したとき、目的関数が、限界的に如何に変化
するかを示す
例 所得の限界効用とロワのルール
家計問題
max u  x1,..., xn 
st p1 x1  ....  pn xn  I
ラグランジュアン
L  u  x1,..., xn     p1x1  ....  pn xn  I 
行儀がよければ、
x1 ,..., xn
で微分した式と予算制約から
最大値を与える一意の x1 ,..., xn ,  がある。
最大値を与える一意の
p1 ,..., pn , I
x1 ,..., xn , 
がある。
が決まると決まる(変化すると変化する)
x1  p1,..., pn , I  ,..., xn  p1,..., pn , I 
需要関数
効用関数に代入
v  p1 ,..., pn , I 
 u  x1  p1 ,..., pn , I  ,..., xn  p1 ,..., pn , I  
間接効用関数
L  u  x1,..., xn     p1x1  ....  pn xn  I 
包絡線定理を用いてIについて、微分する
v  p1 ,..., pn , I  du  x1  p1 ,..., pn , I  ,..., xn  p1 ,..., pn , I  

I
dI
 u  x1 ,..., xn     p1 x1  ....  pn xn  I 


I
ラグランジュ乗数の意味と同じ計算
予算制約のラグランジュ乗数は、所得の限界効用
L  u  x1,..., xn     p1x1  ....  pn xn  I 
包絡線定理を用いてp1について、微分する
v  p1 ,..., pn , I  du  x1  p1 ,..., pn , I  ,..., xn  p1 ,..., pn , I  

p1
dp1
L  u  x1 ,..., xn     p1 x1  ....  pn xn  I 


p1
p1
  x1
v  p1 ,..., pn , I 

I
x1  p1 ,..., pn , I   
v  p1 ,..., pn , I 
p1

v  p1 ,..., pn , I 
I
v  p1 ,..., pn , I 
  x1
p1
v  p1 ,..., pn , I 
p1

ロワのルール
ロワのルールの意味
v  p1 ,..., pn , I 
pi
xi  p1 ,..., pn , I   
, i  1,..., n
v  p1 ,..., pn , I 
I
• 一本しかない間接効用関数が
n個の需要関数の情報をすべて含んでいる
間接効用関数は選好に関する情報をすべて含
んでいる
家計の双対問題
2財のと き
max x1 ,x2 u  x1, x2  s.t. p1x1  p2 x2  I
主問題
予算制約の下での効用の最大化
双対問題
min x1 , x2 p1 x1  p2 x2 s.t. u  x1, x2   u
一定の効用を 確保する と き の最小所得
I
I'
A
H
B
max x1 ,x2 u  x1, x2  s.t. p1x1  p2 x2  I
min x1 , x2 p1 x1  p2 x2 s.t. u  x1, x2   u
一般の場合の双対問題
max x1 , x2 ,...., p1 x1  ....  pn xn s.t. u  x1,..., xn   u
解は補償需要関数


xi  Di p1 ,...., pn , u , i  1,..., n
最小値は支出関数

Ei p1 ,...., pn , u




 p1 D1 p1 ,...., pn , u  ...  pn D n p1 ,...., pn , u

シェファードの補題





Ei p1 ,...., pn , u  p1 D1 p1 ,...., pn , u  ...  pn D n p1 ,...., pn , u


制約 u  x1 ,..., xn   u にp1,...., pnが入っ ていない
包絡線定理を用いてp1について、微分する

Ei p1 ,...., pn , u
pi
D
i
 p ,...., p , u 
1
n
タバコを100本吸っている人の支出は効用を確保し
ようとするときタバコが1円高くなると100円多くなる

スルツキー方程式の導出
行儀がいいと 、 需要=補償需要




Di p1 ,...., pn , u  Di p1 ,..., pn , Ei p1,...., pn , u

 D i p1 ,...., pn , u



p jで微分

p j

Di p1 ,..., pn , Ei p1 ,...., pn , u
p j
  D  p ,..., p , E  p ,...., p , u  E  p ,...., p , u 
i
1
n
i
1
n
i
1
I
n
p j
シェ フ ァ ード の補題



Di p1 ,..., pn , Ei p1 ,...., pn , u
p j
  D  p ,..., p , E  p ,...., p , u  D
i
1
n
i
I
1
n
j
 p ,...., p , u 
1
n
スルツキー方程式の導出(続き)

 Di p1 ,...., pn , u
p j
  D  p ,..., p , E  p ,...., p , u   D  p ,..., p , E  p ,...., p , u  D
i
1
n
i
1
n
i
p j
1
n
i
n
I
移項
Di  D i Di


Dj
p j p j
I
1
所得効果
代替効果
j
 p ,...., p , u 
1
n
Di
 0 : 正常財
I
Di
 0 : 劣等財
I
 Di
 0 : 代替財
p j
 Di
 0 : 補完財
p j
代替効果の対称性

 D i p1 ,...., pn , u

p j

 Ei p1 ,...., pn , u

p j
pi


 2 Ei p1 ,...., pn , u

 Ei p1 ,...., pn , u

pi
p j


pi
シェファードの補題

pi p j
 D j p1 ,...., pn , u



ヤングの定理
シェファードの補題
費用関数
2 要素の例
K : 資本投入 L : 労働投入
y  F  K , L : 生産関数
rK  wL s.t y  F  K , L
解は投入関数K  y, r, w , L  y, r, w
最小値は費用関数
C  y , r, w   rK  y , r , w   wL  y , r , w 
シェファードの補題
C  y, r, w  rK  y, r, w  wL  y, r, w
制約  y  F  K , L  に r, wが入っ ていない
包絡線定理を用いてr,wについて、微分する
C  y, r, w
C  y, r, w 
 K  y , r, w  ,
 L  y , r, w 
r
w
一般の場合の費用関数
y1, y2 ,..., ym : 産出ベク ト ル
x1, x2 ,..., xn : 投入ベク ト ル
費用q1x1  q2 x2  ...  qn xnを技術制約の下で最小化
解は投入関数
x1  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn  ,..., xn  y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn 
最小値は費用関数
C  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn 
 q1 x1  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn  ...  qn xn  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn 
一般の場合のシェファード補題
最小値は費用関数
C  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn 
 q1 x1  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn  ...  qn xn  y1 , y2 ,..., ym , q1 , q2 ,..., qn 
技術制約に投入価格q1, q2 ,..., qnが入っていない
包絡線定理を用いてqiについて、微分する
C  y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn 
 xi  y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn 
qi
シェファード補題の意味
C  y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn 
 xi  y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn 
qi
• 生産にガソリンを10000リットル使うとき、ガソ
リンがリットルあたり1円あがると費用が
10000円弱上がる
費用関数が技術に関する情報をすべて含んで
いることを意味する
一般の利潤最大化問題
p1, p2 ,..., pm : 産出価格ベク ト ルq1, q2 ,..., qn : 投入価格ベク ト ル
y1, y2 ,..., ym : 産出ベク ト ル q1, q2 ,..., qn : 投入ベク ト ル
  p1 y1  p2 y  ...  pm ym  q1x1  ...  qn xn : 利潤
net putで表す
zi  yi : 産出
zi   xi : 投入
  p1z1  p2 z2  ...  pr zr : 利潤
一般の利潤最大化問題(続き)
  p1z1  p2 z2  ...  pr zr : 利潤
利潤を 技術的制約の下で最大化
解は産出の供給関数と 投入の需要関数
z1  p1 , p2 ,..., pm  , z2  p1 , p2 ,..., pm  ,..., zr  p1 , p2 ,..., pm 
最大値は利潤関数
  p1 , p2 ,..., pm 
 p1 z1  p1 , p2 ,..., pm   z2  p1 , p2 ,..., pm   ...  pr zr  p1 , p2 ,..., pm 
ホテリングの補題
最大値は利潤関数
  p1 , p2 ,..., pm 
 p1 z1  p1 , p2 ,..., pm   p2 z2  p1 , p2 ,..., pm   ...  pr zr  p1 , p2 ,..., pm 
技術制約に価格p1, p2 ,..., pnが入っていない
包絡線定理を用いてpiについて、微分する
  p1, p2 ,..., pm 
 zi  p1, p2 ,..., pm  , i  1,..., r
pi
利潤関数生産技術についての情報をすべて
含んでいる
一般的なCES生産関数の例
1

 n
 
min y   qi xi , s.t. y     i xi 
i 1
 i 1

n
ラグランジュアン
1


n
n



 
L   qi xi      i xi   y 
i 1

 i 1

一階の条件(微分して0)
L
1
 
 qi      i xi 
xi
  i 1

n
1

1
 i xi  1  0
L
1
 
 qi      i xi 
xi
  i 1

n
1

1
 i xi  1  0
n



x

y
 ii
i 1
qi    y  
1 

xi  1   y1  i xi  1
両辺を
qi

 1
xi  qi

1
 1


 1

y   i
1
 1
y i


 1

 1

 1
乗
xi 
 qi

1
1 

1
1 
i
1
1 
y
xi  qi
1
 1


1
 1
y i


 1
 qi

1
1 

1
1 
i
1
1 
y
両辺を  乗し て  iを かけ て 加え る
n
n
i 1
i 1
y     i xi     i qi
 y
 n
1 

i 1

   i
 i 1

n
1
1 
qi


1 
1

1 
i




1 


qi


1 

1 


1 
 y
i

1 
y
 n
1 

i 1
xj  qj
j
1
1 

1
1 

qj
1
1 
i

qi

1 
 n
1




1 
1 

q


i
i

i

1


1
1 



 n 11 1
   i qi
 i 1

1 










1
1 
1

y
j
1
1 
j
y
1
1 

qj
1
1 
 n 11 1
   i qi
 i 1
1



y
要素需要関数の同次性
j
1
1 
 q 

1
1 
j
1


 n
1
1 
  1   q
 i
i

 i 1






1
1 
1
1 




1
1 

j
1
1 

qj
 n 11 1
   i qi
 i 1
j
y
1
1 


1
1 

qj
1
1 


 n
1
1   
  1  
1 
q

i
 i 1 i


1



y
j
1
1 

qi
1





1
1 
 n 11 1
   i qi
 i 1
1



y
y
j
1
1 


1
1 

qj
1
1 
 1 n 11 1
 i qi
 

i 1

1



y
費用関数
n
C  q1 ,.., qn , y    q j x j   q j
j 1
1
1 
n

q 
j 1
j
j

qj
 n
   j
 j 1

1
1 
qj
j 1
1
1 
 n 11 1
   i qi
 i 1


1 
j
n
1
y



j 1
j
1
1

qj
1
1 
qj
 n
y    j
 j 1

1
1 
qj
y
1



1
1 
 n 11 1
   i qi
 i 1



1


 n 11 1
   i qi
 i 1
1
1 
n
1
1 
1
1 
n
j 1
y
1
j
qj

1 
 n 11 1
   i qi
 i 1





1 






1 

y
1



y
費用関数の同次性

 n 11

C  q1 ,..,  qn , y      j  q j  1 
 j 1

 1 n 11 1
 
 j qj


j 1









1 

y
1 

n
y    j
j 1
1
1 

qj

1 
y
シェファードレンマ
 n
1



C  q1 ,.., qn , y 
 
1 
1 


q

  j
j
qi
qi  j 1

1   n

   j
  j 1
1
1 
 n 11 1
   j q j
 j 1




qj



1 




1 

1
i
1
1 
i
1
1 

qi
1
1 
1 



y




1 


1 
qi
 
 y
 1 

1





y  xi
ラグランジュ乗数の意味
C  q1 ,.., qn , y  
   j
 j 1
y

n
1
1 
qj


1 




1 


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8.包絡線定理とその応用