二要素生産モデル
• 貿易理論などに出てくる
• 今までの知識を動員して纏める
• 生産要素は、資本(K)と労働(L)
– 労働が纏められるかは怪しい
– 資本の集計は、もっと怪しい
• 資本論争
– こうした問題はさておく
Y  F  K , L
Y
産出
K
資本投入
L
労働投入
Y  F  K , L
• 仮定
行儀がよく困らないように、微分ができる
– 2~3階連続微分可能
一次同次性(資本と労働をα倍すると産出もα倍)
  0  F  K , L   F  K , L
地球や宇宙を二つ作れば、地球や宇宙は、二倍になる
本質的な希少性が存在しない
F  K , L   F  K , L 
1

L
1
1 
1
K 
F  K , L   F  K , L   F  ,1
L
L L 
L 
K
 k 資本労働比率
L
K 
F  ,1  F  k ,1  f  k 
L 
一人あたり産出は資本労働比率だけで決まる
1
1 
1
K 
F  K , L   F  K , L   F  ,1
L
L L 
L 
K 
F  ,1  F  k ,1  f  k 
L 
K
F  K , L   Lf  
L
K
F  K , L   Lf  
L
両辺をKとLで微分
F  K , L 
 Lf
K
K1
'   f 'k 
 LL
F  K , L 
K
 f    Lf
L
L
 f k   f 'k  k
 K  K 
'    2 
 L  L 
F  K , L 
 f 'k 
K
F  K , L 
 f k   f 'k  k
L
覚えておくといい
一人あたりで、
資本の取り分
を引いた分が
労働の取り分
費用最小化問題の結果
F  K , L 
K
F  K , L 
L
資本賃料rに比例
賃金率wに比例
二階の微分
F  K , L 
 f 'k 
K
両辺をKで微分
 F  K , L 
K 1 K

f '    f " 
2
K
K  L  L  L 
2
F  K , L 
 f k   f 'k  k
L
両辺をLで微分
2 F  K , L  

f
2
L
L 
K
 K  K  
   f '    
L
 L  L  
K K
 K  K 
 K  K  K 
  2 f '    f '   2   f "    2  
L
L
 L  L 
 L  L  L 
2
K
K
 3 f " 
L
L
f " k   0
 F  K , L 1  K 
 f "   0
2
K
L L
2
 F  K , L K 2  K 
 3 f "   0
2
L
L
L
2
資本と労働の両方に対して、収穫逓減
F  K , L
一次同次
一般にp次同次関数の偏導関数p1次同次
f  ax1 ,..., axn   a p f  x1 ,..., xn 

f k  ax1 ,..., axn  a  a p f k  x1 ,..., xn 

f k  ax1 ,..., axn   a p 1 f k  x1 ,..., xn 
F  K , L  F  K , L 
,
K
L
0次同次
F  K , L  F  K , L 
,
K
L
0次同次
オイラー法則
f  ax1 ,..., axn   a p f  x1 ,..., xn 

f k  x1 ,..., xn 
pf  x1 ,..., xn    xk
xk
k ~1
2
n
 F  K , L
 F  K , L
K
L0
2
K
K L
2
2
 F  K , L
 F  K , L
K
L0
2
LK
L
2
 F  K , L
 F  K , L
K
L0
2
K
K L
2
2
 F  K , L
 F  K , L
K
L0
2
LK
L
2
2
  F  K , L    F  K , L 

 

2
 K
 ,  K L 
 2 F  K , L   2 F  K , L  

 

L
 LK  

2
2
一次従属
  F  K , L    F  K , L 

 

2
 K
 ,  K L 
 2 F  K , L   2 F  K , L  

 

L
 LK  

2
2
 F  K , L  F  K , L
2
K
K L

0
2
2
 F  K , L  F  K , L
LK
L
2
2
一次従属
 F  K , L  F  K , L
K 2
K L

0
2 F  K , L  2 F  K , L 
LK
L
2
2
F(K,L)は厳密な凹関数ではない
2 F  K , L
2F  K , L 
0
 0,
2
2
K
L
2 F  K , L 2F  K , L 
厳密な凹関数の条件
K 2
K L
0
2
2
 F  K , L  F  K , L
LK
L2
原点を通る同じパスに乗るとき
 K1, L1    ak, a  ,  K2 , L2   bk, b
F    K1 , L1   1    K 2 , L2  
 F   K1  1    K 2 ,  L1  1    L2 
 F   ak  1    bk ,  a  1    b 

 F k  a  1    b ,  a  1    b
  a  1    b F  k ,1
  aF  k ,1  1    bF  k ,1
  F  ak , a1  1    F  bk , b 
  F  K1 , L1   1    F  K 2 , L2 

原点を通る同じパスにのらないとき
K0  K0  1    K1 K1
K 0 K1



L0  L0  1    L1
L1
L0
L1
fが厳密に凹
 K0 
 K1 
 F  K 0 , L0   1    F  K1 , L1    L0 f    1    L1 f  
 L1 
 L0 

1    L1
 K0 
 K1  

 L0
  L0  1    L1  
f
f  

 L0  1    L1  L0   L0  1    L1  L1  
 
1    L1

 L0
K0
K1  
  L0  1    L1   f 

 

L

1


L
L

L

1


L
L
 1 0

 1 1  
0
  0 
  K 0  1    K1 
  L0  1    L1  f 
  F  K 0  1    K1 ,  L0  1    L1 
  L0  1    L1 
Fは凹
f  k  の形状
f 'k   0
f " k   0
凹関数
limk 0 f '  k   ,limk  f '  k   0 稲田条件
単位費用の最小化
費用の最小化
min K ,L C  rK  wL  c  r, w Y
st Y  F  K , L
r:資本賃料
w:賃金率
単位費用の最小化
c  r, w  min K ,L rK  wL st 1  F  K , L
理由は次のスライド
c  r, w  min K ,L rK  wL st 1  F  K , L
解を
K0  r, w , L0  r, w
F YK0  r, w , YL0  r, w  YF  K0  r, w , L0  r, w  Y

なので YK0  r, w , YL0  r, w
c  r, wY

は Y を
で生産できる
F  K1, L1   Y , rK1  wL1  Yc  r, w
K1
L1
 K1 L1 
F  ,   1, r
 w  c  r , w
Y
Y
Y Y
単位費用最小化に反する
単位費用の最小化問題
c  r, w  min K ,L rK  wL st 1  F  K , L
ラグランジュアン
L  rK0  wL0    F  K0 , L0  1
KとLで微分して0
F  K0 , L0 
r 
  f 'k 
K0
F  K0 , L0 
w
   f  k   kf '  k 
L0
F  K0 , L0 
r 
  f 'k 
K0
F  K0 , L0 
w
   f  k   kf '  k 
L0
オイラー法則
c  r , w   rK 0  wL0
F  K 0 , L0  
 F  K 0 , L0 

K0 
L0 
K 0
L0


  F  K 0 , L0   
単位投入
K0  r, w , L0  r, w
ラグランジュアン
L  rK0  wL0    F  K0 , L0  1
rとwで微分して、シェファードの補題
を適用
c  r, w 
 K0  r, w 
r
c  r, w 
 L0  r, w 
w
競争市場の均衡条件
• 数学でなくお話
• 集計的な生産関数は同じ生産関数を持つ多
数の企業の生産関数の合計
• 各企業は、非常に小さいので、この生産物の
市場価格と賃金率や資本賃率に影響を与え
ない
p:生産物価格
p  c  r, w
二倍作ると二倍もうかる
どんどん生産を増やしたほうがいい
水平な供給曲線
c  r, w
超過供給
p  c  r, w 作ると損する
生産量が正で均衡すると
生産量は0
超過需要
p  c  r, w
p  c  r, w
F  K , L 
p
r
K
p
F  K , L 
p
w
L
一次同次の生産関数では、単に利潤
最大化条件でなく、均衡条件を含む
たまたま p  c  r, w のとき最大の利潤が0
 K , L
で利潤最大化
p  c  r, w
 K , L で利潤最大化
正の生産量で利潤最大化は
できない
代替の弾力性
F  K0 , L0 
r 
  f 'k 
K0
F  K0 , L0 
w
   f  k   kf '  k 
L0
費用最小化の一階の条件
F  K 0 , L0 
f 'k 
K 0
r
 

w F  K 0 , L0  f  k   kf '  k 
L
要素価格比率と資本労働比率の関係
f 'k 

f  k   kf '  k 
右辺を微分
 f  k   kf '  k   f " k   f '  k   f '  k   f '  k   kf "  k  
 f  k   kf '  k  
2

f  k  f " k 
 f  k   kf '  k  
2
0
右下がり・・逆関数が存在
k *  
費用最小化を与える資本労働比率
k *  
費用最小化を与える資本労働比率
この弾力性が代替の弾力性
dk *   
 dk *   
k *  
 

d
k *   d 

正にするため-で評価
要素価格比が1%変化したとき、投入
要素比率が何%変化するかを示す
CES生産関数
• Constant elasticity of Substitution・・代替の
弾力性が一定になる
F  K , L    K  1    L


1
 
F  K , L    K  1    L


1
 
両辺をKとLで微分
1
F  K , L  1

  1
 1
  K  1    L   K
K

1
F  K , L  1

  1
 1
  K  1    L  1     L
L

1
F  K , L  1

  1
 1
  K  1    L   K
K

1
F  K , L  1

  1
 1
  K  1    L  1     L
L

F  K , L 
r
K
 
w F  K , L 
L
F  K , L 
 1
r
 K
    1

K
 


k



w F  K , L  1    L 
 1 
L
    1
 
k
 1 
両辺の対数をとる
  
ln     ln 
    1 ln  k    
 1 
両辺をで微分
k '  
   1

k 
1
 dk *   
1
 

k *   d  1
 dk *   
1
 

k *   d  1
  
 0
F  K , L   lim   K  1    L

例

1
 
 min  K , L 
KL


L

 
 
 K  1    L    K    1    K 


1
0

     

K
 K     1       
1


L




1
0
1
 


 dk *   
1
 

k *   d  1
  
 0
1
F  K , L   lim   K   1    L   min  K , L 
L
資本と労働を一定割合で使っ
て生産
要素価格比が変化しても、一
定比率(この場合は1)で要素を
使う
K
 dk *   
1
 

k *   d  1
 1
  0 コッブ・ダグラス K  L1
コッブ・ダグラスの弾力性が1であることはすぐにわかる
 0
1
F  K , L    K   1    L   K  L1
次のスライドで示す
F  K , L    K  1    L


1
 
両辺の対数を取る
ln F  K , L  
lim xa
ln  K  1    L




ロピタルのルール
f  x  lim xa f '  x  lim xa f  x   lim xa g  x   0


lim xa g '  a   0
g  x  lim xa g '  x 

d
ln  K   1    L   K  ln K  1   L ln L


d



d
 K   1    L
d
 1
  ln K  1    ln L  ln K  L1
ln F  K , L  K L
 dk *   
1
 

k *   d  1
 
 1
F  K , L   K  1    L 線形

r

1 w

r

1 w
L
資本だけを使う
労働だけを使う
K
二財二要素モデル
• 各国で二財のみ存在
• 各財は、資本と労働を投入する一次同次の
生産関数で生産
• 完全競争で価格を与件として利潤最大化(し
て、超過利潤が0)
• 貿易理論や法人税の帰着の分析で用いられ
る
K
一国に存在する資本の量(endowment)
L
一国に存在する労働の量
K1 , K2
各財の生産に使われる資本の量
L1 , L2
各財の生産に使われる労働の量
K1  K2  K
L1  L2  L
各生産要素はどちらかの財の生産に使われる
K1  K2  K
L1  L2  L
F1  K1 , L1  F2  K2 , L2 
各財の一次同次の生産関数
r
資本賃料
w 賃金
c1  r, w
c2  r, w
各財の単位費用関数(一次同次)
要素は、部門間を自由に移動するので要素価
格は等しい
c1  r, w
c2  r, w
シェファードの補題
c1  r , w
c1  r , w
 K1 *  r , w
 L1 *  r , w
r
w
c2  r , w 
c2  r , w 
 L2 *  r , w 
 K2 *  r , w
w
r
各財を一単位生産するのに使う各生産要素
c1  r , w

c
r
,
w


1
 K1 *  r , w
 L1 *  r , w
r
w
c2  r , w 

c
r
,
w

  L * r, w
2
 K2 *  r , w


2
r
w
各財を一単位生産するのに使う各生産要素
Y1 , Y2
各財の生産量
K1  K1 *  r, w Y1 L1  L1 * r, wY1
K2  K2 * r, wY2 L2  L2 *  r, w Y2
各財の生産に使われる各生産要素
K1  K1 *  r, w Y1 L1  L1 * r, wY1
K2  K2 * r, wY2 L2  L2 *  r, w Y2
各財の生産に使われる各生産要素
K1  K2  K
L1  L2  L
K1 *  r, w Y1  K2 *  r, wY2  K
L1 *  r, w Y1  L2 *  r, wY2  L
要素市場(資本市場と労働市場)の均衡条件
財市場の均衡条件(1)
p1, p2
各財の価格
価格が単位費用より高いときは、超過供給、
低いときは、需要が0でなければ超過需要
p1  c1  r, w
p2  c2  r, w
財市場の均衡条件(1)
貿易をしていないときの均衡をもとめるためには、
需要関数が必要
各財の需要が各財の価格と総所得Iに依存すると
D1  p1, p2 , I 
D2  p1, p2 , I 
価格と所得が比例的に増加しても、経済状態は
変わらないので0次同次
D1  p1, p2 , I   D1  p1, p2 , I 
D2  p1, p2 , I   D2  p1, p2 , I 
D1  p1, p2 , I 
D2  p1, p2 , I 
超過利潤が0なので、総所得は要素所得のみ
I  rK  wL
生産と需要の均等化(需要と供給の均等)
D1  p1, p2 , rK  wL  Y1
D2  p1, p2 , rK  wL   Y2
財市場の均衡条件(2)
均衡条件をまとめる。
K1 *  r, w Y1  K2 *  r, wY2  K
L1 *  r, w Y1  L2 *  r, wY2  L 要素市場の均衡条件
p1  c1  r, w
価格と費用の均等化
p2  c2  r, w
D1  p1, p2 , rK  wL  Y1
D2  p1, p2 , rK  wL   Y2
p1 , p2 , r, w, Y1 , Y2
財市場の均衡条件
決定される変数
どちらも6つだが、実効的には一つずつ少ない
K1 *  r, w Y1  K2 *  r, wY2  K
L1 *  r, w Y1  L2 *  r, wY2  L
右辺は1次同次な
p1  c1  r, w
ので、両辺ともα倍
p2  c2  r, w
になる。
左辺は財価格と要
D1  p1, p2 , rK  wL  Y1
素価格について0
D2  p1, p2 , rK  wL   Y2
次同次なので変化
p1 , p2 , r, w, Y1 , Y2 で均衡すれば
 p1 , p2 , r, w, Y1, Y2 でも均衡
しない
方程式体系は3つの相対価格のみに依存
ワルラス法則
p1D1  p1 , p2 , rK  wL   p2 D2  p1 , p2 , rK  wL 
 rK  wL
家計の予算制約
 p1Y1  p2Y2
超過利潤が無いので要素費用=売上
D1  p1, p2 , rK  wL  Y1
D2  p1, p2 , rK  wL   Y2
ワルラス法則
• 一つの財市場以外の財市場が均衡すれば、
その財市場も均衡する。
• これにより、財の数より一つ少ない相対価格
が決まる
• 今のモデルでは、生産量とあわせ、実効的な
方程式と未知数が5つずつ
• 行儀がよければ、一つの解がある。
貿易モデルの諸定理
p1 , p2
国際価格で与えられる
K1 *  r, w Y1  K2 *  r, wY2  K
L1 *  r, w Y1  L2 *  r, wY2  L
p1  c1  r, w
p2  c2  r, w
で
r, w, Y1, Y2
が決まる
要素価格均等化定理
p1  c1  r, w
p2  c2  r, w
単位費用価格の一次同次性
r 
wc1  ,1
p1 c1  r , w 
w 
r



 
p2 c2  r , w 
w
r 

wc2  ,1
w 
r
1  p1 
  
右辺が単調なら
w
 p2 
要素価格比は、賦存量に関係なくどの国でも等しい
リプチンスキー定理
K1 *  r, w L1 *  r, w K2 *  r, w L2 *  r, w
0次同次で要素価格比が決まると決まる
K1 *  r, w Y1  K2 *  r, wY2  K
L1 *  r, w Y1  L2 *  r, wY2  L
の係数は一定
K1 *  r, w Y1  K2 *  r, wY2  K
L1 *  r, w Y1  L2 *  r, wY2  L
の係数は一定
Kで微分
Y1
Y2
K1 *
 K2 *
1
K
K
Y1
Y2
L1 *
 L2 *
0
K
K
解く
Y1
L2 *


K K1 * L2 *  L1 * K 2 * K1 *
1
L1 *
Y2
L1 *


K1 *
K
K1 * L2 *  L1 * K 2 *
L1 *
K *
 2
1

L2 *
L1 *
k1  k2
1
L1 *
L2 *
K *
 2
1
L2 *
L2 *

k1  k2
1
Y1
L1 *

K k1  k2
1
Y2
L2 *

K
k1  k2
k1  k2
片方の財の生産は増え、もう片方
の財の生産は、片方の生産要素が
増え、もう片方も減らないのに減る
第1財がより資本集約的
1
Y1
L1 *

0
K k1  k2
資本集約的な財の生産は増加し、
労働集約的な財の生産は減少する。
1
Y2
L2 *

0
K
k1  k2
リプチンスキーの定理
サミュエルソン・ストルパー定理
• 国際価格が要素価格に与える効果
p1  c1  r, w
p2  c2  r, w
p1 で微分
c1  r , w  r c1  r , w  w

1
r
p1
w p1
c2  r , w r c2  r , w w

0
r
p1
w p1
c1  r , w  r c1  r , w  w

1
r
p1
w p1
c2  r , w r c2  r , w w

0
r
p1
w p1
c2  r , w 
c1  r , w
 K2 *  r , w
 K1 *  r , w
r
r
c1  r , w
c2  r , w 
 L1 *  r , w
 L2 *  r , w 
w
r
w
K1 *
 L1 *
1
p1
p1
r
w
K2 *
 L2 *
0
p2
p2
w
r
w
K1 *
 L1 *
1
p1
p1
r
w
K2 *
 L2 *
0
p2
p2
解く
L2 *
r


p1 K1 * L2 *  L1 * K 2 * K1 *
1
L1 *
L1 *
K *
 2
K2 *
K2 *
w


K1 *
p1
K1 * L2 *  L1 * K 2 *
1
L2 *
L1 *

k1  k2
L1 * L2 *

K *
 2
L1 *
L2 *
K2 *
L1 * L2 *
k1  k2
1
L1 *
r

p1 k1  k2
K2 *
w

p1
L1 * L2 *
k1  k2
k1  k2
価格が上がった財により集約的に
使われる要素の価格は上がり、そう
でない財により集約的に使われる要
素の価格は下がる
第1財がより資本集約的
1
L1 *
r

0
p1 k1  k2
w

p1
K2 *
L1 * L2 *
0
k1  k2
資本賃料が上がり、賃金率は下が
る
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9.二要素生産モデル