重力と乱流
慶應義塾大学
村田佳樹
重力乱流?
乱流現象
Navier-Stokes方程式

1
+  ⋅  = −  +  2 


非線形性
Van Dyke,“An Album of Fluid Motion”
Einstein方程式
1
 −   = 
2
計量 に対する非線形方程式
重力(一般相対論)でも乱流現象が起きるだろうか?
YES. 最近Anti-de Sitter時空のダイナミクス
に”乱流”現象が発見された。
Bizon&Rostworowski,11
目次
1.AdS時空の乱流現象
AdS乱流のレビュー
Bizon&Rostworowski,11
2.重力乱流条件
AdS乱流には何が本質的なのか?
3.ホログラフィックQCDにおける乱流
AdS乱流のholographic QCDへの応用
1.AdS時空の乱流現象
Anti-de Sitter(AdS)時空とは
負の宇宙項を持つEinstein方程式の解で、最も対称性の高い時空。
2
2


 2 = − 1 + 2  2 + 1 + 2
ℓ
ℓ
−1
 2
+
 2 Ω22
t
(2,2)
ℓ2
=
− 2 +  2 + sin2  Ω22
2
cos 
 = ℓ tan 
Null geodesicは有限時間で、無限遠( = ∞)に到達。
AdS境界は”鏡”の役割をする。
AdS時空中の摂動は、散逸しない。
“AdS時空はconfined box”
r
なぜAdS時空?
AdS/CFT対応
•
•
•
•
N=4 super Yang-Mills理論
QCD
物性系
etc…
強結合
等価
AdS時空中の
重力理論
弱結合
強結合領域の場の理論を、古典重力理論で扱える。
AdS時空は安定か?
線形摂動論
Breitenlohner&Freedman,82
Ishibashi&Wald,04
一番簡単なmassless scalar場摂動を考えよう。
□ = 0
on fixed AdS background
 +  = 0
(, ) =  − ()
2 > 0
1
2 )
=−

(tan


tan2 
 = 2 
もし2 < 0だったら、不安定。
 = 0,1,2, ⋯
固有振動数
 = 2 + 3
固有関数
  = cos 3  (−,  + 3; sin2 )
スカラー場摂動に対して安定
重力摂動、Maxwell場摂動に対しても同様に安定性が示せる。
AdS上の波動は非分散的
固有振動数
各モードの周期
 = 2 + 3
0 =
2
,
3
1 =
2
,
5
2 =
2
,⋯
7
Δ = 2の時間がたつと、すべてのモードの位相が元通り。
t
Δ = 2

=
2
x
波束は時間発展でばらつかない。
(非分散的)
非線形でも安定だろうか?
Bizon&Rostworowski,11
背景時空への反作用も取り入れる。
=
∫ 4
6 1
− [ + 2 −  2 ]
ℓ
2
3
1
1
 − 2  = [   −   2 ]
ℓ
2
2
□ = 0
Metric anzatz
AdS時空は  = 1,  = 0
数値計算結果
A. Rostworowski
氏の発表スライドか
ら拝借
終状態はブラックホール
スカラー場の波束
x=π/2
x=0
数値計算では、無限小の初期摂
動でもブラックホール生成が起き
ることが示唆されている。
AdS(+揺らぎ)は、ほっとくと勝手に
ブラックホールになる。
global AdSは不安定
エネルギースペクトルの
時間変化
保存エネルギー
1
≃
2
/2
   ()
各モードjのエネルギー
0
≃
=
 2 +  ′2 tan2  
1
2
 2 + 2 2 =

 ()
空間次元


 ∼ j−
=
6 4 −3
+
5
5
大スケールから小スケールへ
のエネルギー流
Kolmogorov-like law
Weakly turbulent instability
A. Rostworowski氏の
発表スライドから拝借
なぜ乱流不安定性が起きたのか?
~摂動論的理解~
摂動展開を考えよう。
 −
 = 1 +  3 3 + ⋯
 =
(0)

+
1 =
1st order solution:
(2)
 2 
3
1
1

=
[


−
  2 ]



2
ℓ
2
2
□ = 0
+⋯
 cos(  +  )  

(2)

2nd order solution:
3rd order equation:
3 + 3 =  1 , 
2
∼
cos   cos   cos   ∼

cos  ±  ±  

 ±  ±  は固有振動数に一致し得る。
共鳴
3 ∼  cos  
高次摂動の不安定性
2.重力乱流条件
任意の初期条件に対して、
乱流不安定性が起きるか?
Bizon&Rostworowski,11
Maliborski&Rostworowski,13
Buchel,Lehner&Liebling,13
Dias,Horowitz&Santos,11
No. ずっと振動する解も存在する。
 = 0モードがdominateする初期データ
スカラー場のphase space
時間方向に周期的な解
さらに、安定性も強く示唆されている。
初期データ空間
安定
不安定
AdS時空は本質的か?
No. Minkowski上でcavityを考えた場合も起きる。
Maliborski, 13
Maliborski&Rostworowski,14
Okawa,Cardoso&Pani,14
Minkowski時空
Scalar場摂動
ブラックホール
鏡(ディリクレ条件)
Einstein方程式は本質的か?
No. 非線形Schrodinger方程式でも起きる。
Colliander et al,10
Carles&Faou,10
  + Δ =   2 
()

1 + 2
=

 
2

n-thフーリエモード
 

→ ∞ ( → ∞)
for s>1.
非分散的スペクトルは重要か?
Controversial.
Minkowski時空
Scalar場摂動
分散的スペクトル
二つの論文で違う結果
鏡(ノイマン条件)
Maliborski&Rostworowski,14
安定
Okawa,Cardoso&Pani,14
不安定
つまり、乱流条件についてはあまりよく分かっていない。
ここまでのまとめ
AdS時空には、”乱流”不安定性が存在する。
大きなスケールから小さなスケールへのエネルギー流。
Kolmogorov-like law
終状態はブラックホール。
乱流条件はよく分かっていないが、少なくとも、
●confined geometry
●非線形性
は必要。
3.ホログラフィックQCDに
おける乱流
•
•
•
K,Hashimoto,S.Kinoshita,KM,T.Oka, ”Electric Field Quench in AdS/CFT”, arXiv:1407.0798, JHEP 1409 (2014) 126.
K,Hashimoto,S.Kinoshita,KM,T.Oka, ”Turbulent meson condensation in quark deconfinement”, arXiv:1408.6293
K,Hashimoto,S.Kinoshita,KM,T.Oka, ” Meson turbulence at quark deconfinement from AdS/CFT”, arXiv:1412.4964
Non-equilibrium process in
AdS/CFT
•
•
•
•
N=4 SYM
QCD
Condensed matter physics
etc…
AdS/CFT
Gravity theories
Non-equilibrium
First-principles calculation
is not tractable.
(Lattice simulation, Boltzman
equation…)
Tractable.
At least, there is no problem in the
formulation. (Cauchy problem)
The AdS/CFT gives one of the hopeful approaches to study
the non-equilibrium process in strongly coupled systems.
We study the non-equilibrium process in holographic QCD induced
by time dependant electric field (electric field quench).
D3/D7 model
Karch&Katz, 02
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nc D3 ✓ ✓ ✓ ✓
Nf D7 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
1,2,3
D3-D7 strings compose fields with
fundamental representation of SU(Nc).
Quark degree of freedom
D7
D3
F-string
 =  +     +   + ⋯
8,9
4,5,6,7
9
N=2 Super symmetric QCD
Gravity dual
In the limit of  ≫  , we can neglect the back reaction from D7-branes.
Near horizon lmit
of D3-branes
D7
D3
in AdS5 x S5.
Motion of D7-brane is described by
the DBI action.
D7-brane fluctuations correspond to meson excitations.
Kruczenski,Mateos,Myers&Winters, 03
Electric field quench
in N=2 supersymmetric QCD

Δt
SQCD
/Δ
Boundary condition:
Brane motion
z

=0
= − 
Dynamics of the D7-brane
(subcritical case)

= 0.19,
2
Δ = 2
0

ℎ
At t ~12, we can see a
singular behavior.
Our numerical
calculation has crushed
there.
What’s happened?
Singularity formation
D-brane version of the weakly
turbulent instability.
singularity
(Ricci scalar = ∞)
Propagation of
brane fluctuation
AdS boundary
Pole
A light ray going through near the singularity
is strongly redshifted.
A mesonic fluctuation becomes very
weak when it arrive at the AdS boundary.
特異点の発生は、
メソンのDeconfinementに対応する。

≠0

Mode decomposition of the
non-linear solution
(, ) =  ,  − 
Non-linear solution
Background solution
We decompose the non-linear solution
into eigen functions in linear theory.
(, ) =
   

Energy contribution from n-th mode
1 2
 () = ( +2 2 )
2
2 = 4  + 1  + 2
Energy transfer from large to
small scale
There is an energy flow from
large scale to small scale.
Weak turbulence
Many heavy mesons are
produced just before the
deconfinement.
Why are many heavy mesons produced
before the deconfinement?
Deconfinement occurs due to
heavy quark condensate
Polyakov, 78
Pisarski&Alvaretz, 82
Patel, 84
Lucini et al, 05
Hanada et al, 14
Heavy mesons = long QCD strings
Reconnection with
background
long QCD strings




 and  can propagate freely.
Heavy meson condensation
Quark deconfinement
Our AdS/CFT calculation supports this idea.
Kolmogorov-like law just
before the deconfinement
Quasi-static analysis for
Electric field quench
Electric field quench
The spectrum seems to approach power law:
Mass quench
 ∝ −5
Universal for the deconfinement transition in N=2 SQCD?
まとめ
We found a “weakly turbulence” in the D3/D7 system.
There is a energy flow from large to small scale.
This can be regarded as production of many heavy mesons in SQCD.
Just before the deconfinement spectrum becomes  ∝ −5 .
Universal for the deconfinement transition in N=2 SQCD?
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