ハミルトンの運動方程式
1
ラグランジュ関数
L  T U
復習
ラグランジアンとも言う
T: 運動エネルギー
U: ポテンシャルエネルギー

Lは、ある座標 q とその時間微分 q の関数
ラグランジュ方程式


d  L  L


0

dt   q  q


(摩擦力、束縛などのない場合)
qはx, y, zでも角度でもよい。
2
共役運動量
pi 
L

 qi

L(qi , q i , t )
ハミルトン関数
ハミルトニアンとも言う

H (qi 
, pi , t )   pi q i  L
pi 
qi   q1 , q2 ,...
1自由度なら

H ( q , p, t )  p q  L
q,p,tの関数
p
L

q
L

 qi
問題1
pi 

L
H   pi q i  L

 qi
注意:Hはqとpの関数
重力場内での3次元の運動に関して、
2
2
2
mx my mz
L


 mgz 2
2
2
問1 x,y,zの共役運動量pxなどを求めよ。
問2 ハミルトン関数Hを求めよ。
5
問題1の解答
2
2
pi 
2
mx my mz
L


 mgz 2
2
2



L
問1 p x    m x, p y  m y, p z  m z
x
問2
2
L

 qi
2

H   pi q i  L
2
 2 2 2 mx m y mz
H   pi q i  L  m x  y  z  


 mgz 2
2

 2

2
2
2
mx my mz



 mgz
2
2
2
2
py
2
2
px
pz
H


 m gz
2m 2m 2m
6
2
問題2
m x kx
L  T U 

2
2
1次元の単振動に関して、
L
問1 共役運動量 p   を求めよ。
x
問2 ハミルトン関数を求めよ。

H ( q , p, t )  p q  L
7
2
2
問題2の解答
m x kx
L

2
2
2
問1 共役運動量
p
L


 mx
x
問2 ハミルトン関数2

2
2
2

2 mx
kx m x kx
H  p q L  m x 



2
2
2
2
2
2
p kx
H 
2m 2
8
ハミルトン関数
2
1次元のばねの場合、
問
2
2
p kx

E
2m 2
p kx
H 
2m 2
2
E0
(x,p)の2次元上で、どんな図形になるか。
後で、量子力学で使う。
座標と運動量の関数。
座標と運動量
非常に小さい世界では、
座標と運動量の両方を正確に
求めることはできない。
座標と運動量の片方を正確に求めると、
もう片方は不正確になる。
例:電子を波としてみる。
運動量を正確に決めると座標不明。
電子を粒子としてみると、
座標を正確に決めると運動量不明
全微分
f ( x, y) に対して、
f
f
df  dx  dy
x
y
意味:x,y平面上でfは高さと考える。
fは山や谷の高さ。地形を表す。
fの変化は、x方向の変化とy方向の変化の
和で近似できる。
3変数なら、もう1項増える。
ハミルトン方程式の導出
p
L

q


d  L  L

0
 

dt   q  q



H ( q , p, t )  p q  L
問 1自由度の場合に、ラグランジュ方程式を
使って、ハミルトンの方程式を導け。
H
q
p

H
p
q


H ( q , p, t )  p q  L
解答
L
L
L
dL(q, q, t )  dq   d q  dt
q
t
q


p
L
q
d  L  L

0
 

dt   q  q


 L
dp
 dq  pd q  dt
dt
t
L
dH  q dp  pd q  dL  q dp  p dq  dt
t




dHの全微分の式 dH  H dp  H dq  H dt
p
q
t
両方の式を比較して、
dq H

dt p
dp H

dt q

ハミルトンの方程式
統計力学
14
力学と統計力学は何が違うか
これまでやった力学(解析力学)は、
個別の粒子の運動を記述した。
しかし個数が増えてくると、全部を追うことは難しい。
たくさんの粒子の統計的性質を考える。
力学
各粒子の動き
統計力学
たくさんの粒子
の性質
熱力学
巨視的な量
圧力、体積、
エネルギー、温度など。
15
統計力学とは
統計学を原子や分子の系に応用している。
では、統計学とは何か?
たくさんのデータをどう扱うか。
最初に統計学の復習をします。
16
統計学や統計力学を勉強すると、
何がいいか。
・分子の計算ができるようになる。
例:タンパク質と水分子多数個の系
・ビッグデータ(大量のデータ)を
コンピュータで処理できるようになる。
-> ニーズのある業界。
就職活動で有利。
17
統計学の復習
18
平均とは
average
期待値とも言う。
expectation value
x1 , x2 ,...,xN
平均 x  または x
データ
1
x 
N

N
x
i 1
i
和の記号
意味
 x1  x2  ... xN  / N
sum
19
和の記号

大文字のシグマ(ギリシャ文字)
和(足し算の結果) sum
足し算
a
j
summation
 a1  a2  ...
添え字(小さい字)について
足し算
シグマの上下に足し算の範囲を
書くことも書かないこともある。
20
分散とは
variance
x  x 
平均からのずれの
2乗の平均
2
問題1
(1)
(1)式の2乗の部分を展開して
x  x 
2
 x  x
2
2
を示しなさい。
問題2 次のデータがある時に、平均と分散
を計算しなさい。
4, 6, 2, 1, 9
問題1の解答
x  x 
2
 x
2

 x  2x x  x
2 x
2
2
 x
2
 x
2
2
 x

2
問題2の解答
次のデータがある時に、分散を計算しなさい。
4, 6, 2, 1, 9
平均は、(4+6+2+1+9)/5=22/5=4.4
分散は、
(0.4)2+ (1.6)2+ (2.4)2+ (3.4)2+ (4.6)2
=0.16+2.56+5.76+11.56+21.16
=41.2 5で割って8.24
確率がある場合
の確率がそれぞれ p1 ,
x1 , x2 ,...,xN
平均
p2 ,..., pN
N
x   pi xi
i 1
N
A( x)   pi A( xi )
他の量でも同様
i 1
確率をかける
x  x 
2
  pi xi  x
N
i 1

2
24
問題
あるゲームで10点を取る確率が1/3で
20点を取る確率が2/3の時、
平均と分散を求めなさい。
25
解答
平均
あるゲームで10点を取る確率が1/3で
20点を取る確率が2/3の時、
平均と分散を求めなさい。
1
2 50
10   20  
 16.66
3
3 3
平均との差は、
2
2
2
2
50  1 
50  2  20  1  10  2

10      20           
3 3 
3 3  3  3 3 3

100(4  2) 200


 22.2
27
9
確率を掛けるのを忘れないようにする。
ダウンロード

none