プリント問題
1.
関数の極限
解説
xy
(1) lim
は存在しない 解説 類題1 類題2
2
2
( x , y )( 0, 0 ) x  y
x3  2 y3
解説 類題1 類題2
(2) lim
0
2
2
( x , y )( 0, 0) x  y
2
x
(3)
lim
は存在しない
解説 類題1 類題2
( x , y )( 0, 0 ) y
関数の連続性
解説
1

 x sin y  0
f ( x, y )  
は ( x, y )  (0,0) で連続である
y

y0
 0
解説 類題1 類題2
2.
xy
lim
( x , y )( 0, 0 ) x 2  y 2
 x  r cos
 y  r sin 

は存在しない
(r  0, 0    2 )
と曲座標で表すと
( x, y)  (0,0)  r  0
であり
lim
( x, y )(0,0)
xy
x y
2
2
 lim
r 2 cos sin 
r 0 r 2 cos2 
 r sin 
2
2
 lim cos sin 
r 0
 cos sin 
は  によって変わるから一定の値ではないので,
極限は存在しない。
曲座標
xy 平面の点 (x, y) に対して,原点
O との距離を r, x 軸との角度を 
とおけば
 x  r cos
 y  r sin 

O
が成り立つ。xy 平面の点を (r, )
を用いて表したものを極座標という。
(x, y)
r

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曲座標