確率・統計Ⅰ
第9回 正規分布
ここです!
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確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布(続き)、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布(続き)
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1(母集団と標本、確率論との関係)
統計学の基礎2(正規分布を用いた推定・検定)
正規分布
1. 標準正規分布・正規分布
2. 正規分布の標準化
3. 二項分布の正規近似
4. 正規分布の平均・分散
標準正規分布
確率密度関数 が次の式で与えられ
る確率分布を、標準正規分布と呼び、
N(0, 1) と書く:
f ( x) 
1
e
2
x2

2
標準正規分布のグラフ
標準正規分布 N (0, 1)
f ( x) 
1
e
2
0.4
x2

2
0.3
左右対称
0.2
0.1
-3
-2
-1
変曲点
1
x =0
最大値
2
変曲点
3
x
正規分布
確率密度関数 が次の式で与えられ
る確率分布を、正規分布 と呼び、
N(μ,σ2) と書く:
f ( x) 
1
e
2 

x   2

2 2
(問) これが確かに確率分布であることを確かめよ。
正規分布のグラフ
標準正規分布 N (0, 1)
f ( x) 
1
e
2
0.4
x2

2
0.3
左右対称
0.2
0.1
一般 N (μ,σ2)
f ( x) 
1
e
2 
-3
-2
-1
σ

x   2

2 2
1
変曲点
2
σ
x =μ
最大値
変曲点
3
x
正規分布のグラフと平均
μによる変化
(σ = 1)
0.4
0.3
0.2
0.1
-4
-2
2
4
正規分布のグラフと分散
σによる変化
(μ= 2)
0.8
0.6
σ= 0.5
0.4
σ= 1.0
0.2
σ= 1.5
σ= 2.0
-5
5
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正規分布
1. 標準正規分布・正規分布
2. 正規分布の標準化
3. 二項分布の正規近似
4. 正規分布の平均・分散
正規分布の標準化
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
Z 
*
Z 

(Zの標準化)
とおくと、 Z* は標準正規分布 N(0,1) に従う
(問) これらを確かめよ。
正規分布
1. 標準正規分布・正規分布
2. 正規分布の標準化
3. 二項分布の正規近似
4. 正規分布の平均・分散
二項分布の正規近似
X を 二項分布 B(n, p) に従う確率変数、
Z を正規分布 N(np, npq) に従う確率変数とする。
(ド・モアブル-ラプラスの定理)
n→∞のとき、
P(a  X  b)  P(a  Z  b)
二項分布の正規近似の様子
 X  np

npq  P
 x 
 npq



p = 0.3
n = 10
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x’
二項分布の正規近似の様子
 X  np

npq  P
 x 
 npq



p = 0.3
n = 100
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x’
二項分布の正規近似の様子
 X  np

npq  P
 x 
 npq



p = 0.3
n = 1000
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x’
二項分布の正規近似の様子
標準正規分布
1
f ( x) 
e
2
x2

2
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x
二項分布の正規近似の方法
確率変数 X は二項分布 B(n, p) に従う
確率変数 Z は正規分布 N(np, npq) に従う
とする。
p が 0 や 1 に近くなく、n が十分大きいとき、
目安: n≧25 で np≧5 かつ nq≧5
P( X =
x)
= P( x - 0.5 ≦ X ≦ x + 0.5 )
≒ P( x - 0.5 ≦ Z ≦ x + 0.5 )
二項分布の正規近似と
ポアソン近似の関係について
正規近似[ B(n, p) → N(np, npq) ] の条件:
p が 0 や 1 に近すぎず、 n が十分大きいとき
(目安: n≧25 かつ np≧5 かつ nq≧5)
ポアソン近似[ B(n, p) → λ=np のポアソン分布] の条件:
p が小さく、 n が(npが小さすぎない程度)大きいとき
(目安: n≧100 かつ p≦0.05)
※ 逆に言えば、 pがやや小さくても、 n が非常に大きいなど、
両方の条件がクリアされているなら、どちらを使ってもよい。
二項分布の正規近似と
ポアソン近似の関係について
Y をパラメータλのポアソン分布に従う確率変
数とする。
λ→∞ のとき、
Y は N(λ, λ) に近づく。
ポアソン分布のグラフとλ(再)
λによる変化
0.5
λ= 0.7
0.4
λ= 1
0.3
0.2
λ= 2
λ= 3
λ= 5
λ= 8
0.1
r → 0 1 22
4
6
8
10
12
14
ポアソン分布のグラフ(再)
ポアソン分布 (λ=10 )
f ( x) 

x
x!
0.12
 e 
( x = 0, 1, 2, …… )
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
2.5
5
7.5
10
12.5
x =λ
最大値
15
17.5
20
正規分布
1. 標準正規分布・正規分布
2. 正規分布の標準化
3. 二項分布の正規近似
4. 正規分布の平均・分散
標準正規分布の平均・分散
確率変数 Z* が標準正規分布 N(0,1)
に従うとき、
1. E(Z) =0
2. V(Z) =1
(問) これらを確かめよ。
正規分布の平均・分散
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
1. E(Z) =μ
2. V(Z) =σ2
(問) これらを確かめよ。
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