高次元臨界ブラックホールの分類問題
石橋 明浩
KEK
高次元Black Hole研究最前線
基研 2009年12月25日
ブラックホールの基本性質
•
4次元:
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•
厳密解 e.g. Kerr ブラックホール(定常軸対称真空解)
安定 (終状態)
球面的ホライズン
一意性(No-hair, other than 3):
保存量
で ブラックホール解を唯一に特定可能
高次元:
球面的とは限らない
4次元と同様な類の一意性は成り立たない
(保存量だけでは情報が足りない)
高次元ブラックホール分類問題
• ブラックホール解を唯一に決定するのに必要十分な(でき
るだけ物理的意味の明快な)パラメーター達を同定する。
• そのパラメーターを用いて全ての解を具体的に構成する。
臨界ブラックホール
• 2つ以上のパラメーターを持つ解の
ホーキング温度ゼロの極限
e.g. Kerr BH
• 宇宙のほぼ臨界ブラックホール?
GRS 1915+105
• 理論の試験場、超弦・超重力理論での興味
e.g. Entropy counting
• ブラックホール解の全体集合の“境界”に存在
分類問題に解空間の“端”から取り組もう
臨界ブラックホールのホライズン近傍
• ホライズン近傍の時空領域をズームアップして眺める
スケール極限
より単純化された時空構造をもつ
臨界ブラックホール解の分類
先ずその“スケール極限解”の分類から考えよう
* 臨界BH解とそのスケール極限解は同じ理論に従う
* 元の臨界BH解よりも高い対称性をもつ(より単純)
* 実際にエントロピー計算などで利用するのは
このスケール極限解
Kerr-CFT correspondence
• Observation:
There exist boundary conditions such that the asymptotic
symmetry group of NHEK is generated by a single copy of
centrally extended Virasoro algebra (plus time ranslations)
• Conjecture:
Quantum gravity in NHEK w/ these boundary conditions is
equivalent to a chiral CFT in (1+1) dimensions
• Evidence:
Bekenstein-Hawking entropy can be reproduced by
CFT calculation
Uniqueness of 4D extremal rotating black hole
• Theorem:
The only stationary, rotating, asymptotically flat
vacuum solution with a single smooth degenerate
horizon is the extremal Kerr black hole solution
• -- generalized to charged Kerr hole case
Amsel-Horowitz-Marolf-Roberts 09
高次元臨界ブラックホールの
スケール極限解の分類
Gaussian-null coordinates
: 計量成分(滑らかでホライズン上で
)
: ホライズンを横切る光的測地線の
アフィン・パラメーター
が Killing vector の場合には
臨界ブラックホールのホライズンの場合
縮退したホライズン近傍のスケール極限
• 座標変換
• スケーリング極限
•
ホライズン上での角度座標
の関数となる
のみ
例: extreme charged black holes
スケール極限
Approximate each other arbitrary closely
Carter 1972
Scaling limit
A horizon neighborhood
of Extreme black hole Near-Horizon Geometry
AdS
その他の例
• Near-Horizon-Extreme-Kerr (NHEK) geometry
Symmetry Theorem:
Kunduri-Lucietti-Reall 06
Consider D=4 or 5 stationary extremal black holes in
• Theory
• with (D-3) rotational symmetries
Then Near-horizon limit admits global isometry
ここでは、まず単純な解のクラスとして
• 定常 + D-3 個の回転対称性をもつ真空解
の場合について考察していくことにする
Consequence of symmetry and dynamics
• 対称性の仮定: Stationary + (D-3)-rotation symmetries
polar angle 座標のみに依存する関数になる
• ダイナミクスは常微分方程式系に帰着する
さらに拡大された対称性 O(2,1) × U(1) D-3
c.f. Kunduri - Lucietti 08 D=4, 5の場合のスケール極限解の分類
• ホライズン断面の位相構造
D>5
Kaluza-Klein black holes
Matrix (sigma-model) formula
New coordinates
Coordinate transformation
And use the vacuum Einstein equations
constants
: function of polar coord.
We wish to determine
by using
the remaining components of Einstein’s equations
c.f. Standard Weyl-Papapetrou form
Matrix expression
Maison 1979
Einstein’s equations
General solutions
Most general solutions for near-horizon metric
are characterized by the real parameters
(Further constraints on
come from the smoothness)
軸対称性の固定点とホライズン・トポロジー: 例
5D spherical hole
ホライズン両隣のベクトル
5D ring
に着目すると
“hole”
“ring”
Horizon topology
Classification parameters:
All possible vacuum near-horizon metrics w/
the assumed symmetries are parameterized
by the real parameters and integers
:
continuous parameters related
to e.g., Horizon area, Angular momenta
Constructing All possible solutions
例: D=5 “リング”的位相を持つ場合のスケール極限解
Near-horizon of 5D extremal black ring is globally
isometric to that of a boosted extreme Kerr-string
Summary
• We have identified all parameters that determine
all possible vacuum near-horizon geometries in
D-dimensions w/ symmetries SO(2,1)×U(1)D-3
by using the matrix (sigma-model) formula
• We have explicitly constructed all solutions
characterized by those parameters
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