2.2 無損失線路の電圧と電流
2.2.1 無損失線路
線路長lの伝送線路受端に

インピーダンス Z L を接続する。
R=G(1/R)=0,LとCは既知とする。


受端電圧 V L 電流 I L とすると



VL  ZL IL
2.2.2 伝送定数と特性インピーダンス

R  jLG  jC  |R G 0 

j LC
α=0(Np/m),β=  LC (rad/m)
(2.21)
(2.22)
R  jL
L
Z0 
|RG0 
Ω→無損失線路の特性インピーダンスは純抵抗
G  jC
C
(2.23)
2.2.3 無損失線路上の電圧と電流
送端から距離zの点Pでの電流と電圧
分布定数線路の基本式でα=0と置く



V ( z )  V 1 e  jz  V 2 e jz

I ( z) 


V 1  jz V 2 jz
e

e
Z0
Z0
(2.24)
[1]境界条件
受端(z=l)での電圧



V L  V 1 e  j l  V 2 e j l



V L電流 I L を(2.24)に代入


(2.25)
IL 

V 1  jl V 2 jl
e

e
Z0
Z0
(2.26)

積分定数 V1 ,V2 を(2.25)より導く。(2.26)の両辺にZ0をかけ(2.25)を加える


Z0 I L  V 1 e


 jl
VL  V 1 e
+

 V 2 e jl
 j l

 V 2 e j l


→ Z I  V L  2V 1 e  jl → V 1  Z 0 I L  V L e jl
0 L




2
(2.25)を引くと


Z0 I L  V 1 e
-


 jl
VL  V 1 e
 j l

 V 2 e jl

V 2 e
j l


V1 ( z )  V 1 e

I 1 ( z) 
 jz

V 1  jz
e
Z0

V 2 ( z )  V 2 e jz


I 2 ( z)  


2
[2] 入射波と反射波



→ Z I  V L  2V 2 e jl → V 2   Z 0 I L  V L e  jl
0 L


V 2 jz
e
Z0
(2.28)
(2.27)
入射波:z軸の正の方向に
速度v=ω/βで伝播する進行波
(電源側から負荷側に進む)
反射波:z軸の負の方向に
速度v=ω/βで伝播する進行波
(負荷側から電源側に進む)
v

1


LC
(2.29)
β=  LC




入射波の電圧 V1 ( z ) と電流 I 1 ( z ) は同相
反射波の電圧 V2 ( z ) と電流 I 2 ( z ) は逆相
2.2.4 無損失線路における電力の関係
送端から距離zの点Pでの電圧と電流が
電力は



Pz   ReV ( z ) I * ( z )




V (z ) I (z )
のとき,点Pでの伝送
(2.30)
P(z)は点Pの瞬時電力の1周期Tにわたる時間平均
Pz  
1
T
 vz, t i * z, t dt
T
0
(2.24)の電圧

V (z )と電流

I (z )を(2.30)の右辺に代入


 



V
V




ReV 1 e  jz  V 2 e  jz  1 e  jz  2 e jz 
Z0

 Z 0





V1  V1e
j1

V2  V2 e j2
とおくと
*
2

 V1
V2

(2.31)


Z0
 Z0




Pz   ReV ( z ) I * ( z )


   jz   jz 
 V 2 e   V1e j 1  z   V2 e j 2  z 
V 1 e




 V1  jz V2 jz  V1 j 1  z  V2 j 2  z 

e 
e

e
 Z e
Z0
Z0
 Z0
 0


2




V ( z)  V 1 e


 jz
(2.30)

 V 2 e jz

V 1  jz V 2 jz
I ( z) 
e

e
Z0
Z0
(2.24)
*

 

V1  j 1  z  V2  j 2  z 
 V1  jz V2 jz 
e

e

e
 e
 Z

Z0
Z0
Z0

 0

 V1  j 1  z  V2  j 2  z  

e
V1e
 V2e
 e

Z
Z
0
 0

V12 V22 V1V2 j 2 1  2 z  V1V2  j 2 1  2 z  
 

e

e

Z
Z
Z
Z
0
0
0
 0


j 1  z 
j 2  z 

(第3項と第4項は共役:
実数部同士の差は0)
2


V1
Pi 
2
V2
Pr 
Z0
Z0
(2.32)
Piは入射電力,Prは反射電力で,伝送電力はP=Pi-Pr
電力差が負荷に供給される。
伝送線路で最大の電力を負荷に供給するためには,反射波を0にする
必要がある。
例題2.6 Z0=50Ωの無損失伝送線路で,入射波と反射波の実効値が
それぞれ1Vと0.5Vのとき,負荷に供給される電力は

2

V1
Z0
2
V2

Z0

1 0.25

 15m W
50 50
2.2.5 無損失線路における電力の関係
(受信端からの距離dによる表示)


V ( z)  V 1 e

I ( z) 
 jz

 V 2 e jz


V 1  jz V 2 jz
e

e
Z0
Z0




Z 0 I L  V L j  l V 2   Z 0 I L  V L e  j l
V1 
e
2
2


を代入し,基準を受端にとる(原点をl右側に移動:P点はz-l<0)




V L  Z 0 I L j l  z  V L  Z 0 I L  j l  z 
V ( z) 
e

e
2
2






V (d )  V i e
(2.33)
V L  Z 0 I L j l  z  V L  Z 0 I L  j l  z 
I ( z) 
e

e
2Z 0
2Z 0




I (d ) 

Vi 
jd


 V r e  jd
(2.34)

V i j  d V r  j d
e 
e
Z0
Z0



V L  Z0 I L
V L  Z0 I L
,Vr 
2
2

(2.35)
(2.33)(2.34)の第1項はd軸の負方向(右方向)に伝播する進行波(入射波)
第2項はd軸の正方向(左方向)に伝播する進行波(反射波)
例題2.7


式(2.34)の V (d ) と I (d )から伝送電力を計算すると

2
2

Vi



P  ReV (d ) I (d ) 

Z0

 Z0

*





V (d )  V i e
Vr

 V r e  jd



jd

V i j  d V r  j d
I (d ) 
e 
e
Z0
Z0
(2.34)
Vr  Vi が成り立つことの証明
(2.35)の Vと
Vに対して
r
i
電力が負荷に供給されている場合

2

Vi
Z0
Vr

Z0
2


 0 。よって Vr  Vi

Vi 




V L  Z0 I L
V L  Z0 I L
,Vr 
2
2

(2.35)
2.2.6 無損失線路とインピーダンス
線路の受端から距離dの点Pで
負荷側を見たインピーダンス





V L  Z 0 I L jd V L  Z 0 I L  jd
e 
e
2
2




V L  Z0 I L
cos d  j sin d   V L  Z 0 I L cos d  j sin d 

2
2
V (d ) 


 V L cosd  jZ 0 I L sin d

I (d ) 





(2.36)

V L  Z 0 I L jd V L  Z 0 I L  jd
e 
e
2Z 0
2Z 0


V L  Z0 I L
cosd  j sin d   V L  Z 0 I L cosd  j sin d 
2Z 0
2Z 0


VL
 I L cos d  j
sin d
(2.36)
Z
0




V d  V L cos d  jZ 0 I L sin d
Z (d )  

(2.37)


I d 
VL
I L cos d  j
sin d
Z




を代入すると
VL  ZL IL


Z (d ) 


Z L I L cosd  jZ 0 I L sin d


I L cosd  j

ZL IL
sin d
Z0

 Z0
Z L cosd  jZ 0 sin d

Z 0 cosd  j Z L sin d

 Z0
Z L  jZ 0 tand

Z 0  j Z L tand
(2.38)
d=lとおくと Z (d )は線路の送端から負荷側を見た線路の入力インピーダ
ンス


例題2.8 l=λ/4の特性インピーダンスZ0Ωの無損失線路に Z L の負荷を
接続したときの入力インピーダンスは




2  
l 
  tan l  
 4 2

Z in  Z 0

Z L  jZ 0 tand

Z 0  j Z L tand
Z (d ) 

 Z0
Z L / tand  jZ 0

Z 0 / tand  j Z L

Z 02
V d  V L cos d  jZ 0 I L sin d




I d 
VL
I L cos d  j
sin d
Z0

ZL
2.2.7 無損失線路のインピーダンスの例

[1] 整合が取れた線路
Z  jZ 0 tan d

Z (d )  Z 0 0
 Z 0 (2.40)
整合: Z L  Z 0 (2.39)
Z 0  jZ 0 tan d
線路上のすべての点で特性インピーダンス:Z 0 に等しい。
反射波の係数は

Vr 




V L  Z0 I L Z L I L  Z0 I L

0
2
2
負荷に最大の電力が供給される。
[2] 受端開放線路

ZL 

Z o (d )  Z 0
1  jZ 0 / Z L tand

Z 0 / Z L  j tand
  jZ 0 cot d
Z o (d ) は0<d<λ/4で容量性,
d=λ/4で直列共振,
λ/4<d<λ/2で誘導性,
d=λ/2で並列共振となり,
λ/2で繰り返される。
[3] 受端短絡線路
ZL 0
Z  jL 
1
1 

 j L 
0
jC
C 

並列共振
Y



直列共振
(2.41)
1
1
1 

 jC 
 j C 
0
Z
jL

L




Z s (d )  Z 0
Z L  jZ 0 t an d

Z 0  j Z L t an d
 Z0
jZ 0 tand
 jZ 0 tand
Z0
(2.42)

Z s (d ) は0<d<λ/4で誘導性,d=λ/4で並列共振,λ/4<d<λ/2で容量性,d
=λ/2で直列共振となり,λ/2で繰り返される。
例題2.9 (2.41)と(2.42)の両辺の積を取ると負荷を短絡,開放したとき
の入力インピーダンスから線路の特性インピーダンスが求められる。


Z   jZ 0 cot d
o
Z  jZ 0 tan d
s



Z Z Z
o
s
2
0

Z0  Z Z s
o
ダウンロード

第二回