標本抽出法入門
(第3章 統計的推定 補足)
統計学 2015年度
母集団(個体数N)
×
×
×
標本(個体数n)
×
×
×
•
×
×
母平均
•
×
×
区間推定
標本平均
標本平均にもとづいて母平均を区間推定するとき、できる限り精度の高い、すな
わち信頼区間の幅の小さい推定量を得ることを考える。
標本平均  の分散は
2
  =

であり、標本の個体数nを大きくすれば、推定量の精度は高まる。
• しかし、標本の個体数nを大きくすることにはコストの面などから限界がある。そこ
で、標本の抜き出し方を工夫することによって、推定量の精度を高めることをか
んがえていく。これが標本抽出法(サンプリング)の問題である。
標本抽出法は、まず次の2つに大別できる。
•有意抽出法
街を歩く人にアンケートをとるなどの方法であり、抜き出された標
本が、一定の傾向を持つ(標本の偏りを持つ)可能性がある。
•無作為抽出法
母集団の中から無作為(ランダム)に標本を抜き出す方法。
母集団の中からくじ引きの原理によって標本を抜き出す、単純
無作為抽出法がその代表格である。
今までの推測統計の理論では、この単純無作為抽出法を前提
としている。
有意抽出法でなく、単純無作為抽出法を用いた場合でも、
たまたま特定の傾向を示す人が多く選ばれることによって、
偏った標本となってしまうおそれある。
⇒ 信頼区間内に母平均を含まない標本となるおそれ
そこで、標本誤差を少なくするための標本抽出の工夫が
おこなわれる。代表的な工夫として次のようなものが挙げ
られる。
– 層別抽出法(層化抽出法ともいう) - できるだけ同じような性質
のグループに分ける。都市なら人口規模、産業構造など、人なら
性別、年齢などによっていくつかの層にわける。
– 多段抽出法 - 市町村を選び、その中から世帯を選ぶなど、何
段階かに分ける。
• 日本の官庁統計では標本誤差を少なくするために無作
為抽出法に層別抽出法、多段抽出法を組み合わせた方
法を用いている。
(例) 家計調査の場合
1.全国の市町村を168の層に分け、その中から1つ選ぶ。
2.各市町村から調査地区(単位区)を選ぶ。全国で約1400単位区
3.各単位区から6世帯を乱数表によって選ぶ
<層別抽出法の理論的背景>
− 2
−1 
• 標本平均  の分散が   =
であり、標本数nを大きくすれば、
推定量の精度は高まる。
• 反対にnを固定して考えると、母分散σ2の小さい母集団の推定は、精度
が高くなる。
• 母集団を分散の小さいいくつかの層に分割すれば、それぞれの層内で
の精度は高くなる。
母集団(個体数N)
層1:個体数N1、層内平均μ1、層内分散σ21
層2:個体数N2、層内平均μ2、層内分散σ22
層3:個体数N3、層内平均μ3 、層内分散σ23
 =

とおく。

 = 1 1 + 2 2 + 3 3
理論から 2
 =  2 +   − 
2
が導出される。
• 層別抽出によって抜き出された標本平均は、 =
分散は
2

−





  =
2
 − 1 
  となり、その
となる。
<例題> 男女合わせて500人の集団に4点満点のテストをおこなったと
き、Excelファイルの度数分布表のようになった。
このとき、単純無作為抽出でn=50の標本を選んだときの標本平均の分
散と、層別抽出でn1(男子)=30、n2(女子)=20の標本を選んだときの標本
平均の分散を比較してみる。
母集団(個体数N=500)
層1
個体数
N1 =300
層内平均
μ1=2
層内分散
σ21=1
 −   2 500 − 50 1.24
  =
=
= 0.022365
−1 
500 − 1 50
層2
個体数
2
N2 =200
2  −  

層内平均   =
 − 1 
μ2=3
300 − 30 1
200 − 20 1
層内分散
2
2
= 0.6
+ 0.4
= 0.018072
σ22=1
300 − 1 30
200 − 1 20
 = 2.4,  2 = 1.24
男女ごとに標本を抽出した時の方が分散が小さい
⇒ 精度が高い
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