平成23年度前期期末試験問題E5信号処理No.1(2010.08.04 Thu. 3・4) No. Name
問1 以下の文章はフーリエ級数展開.(FSE).からフーリエ変
問2 フーリエ変換.の性質について以下の設問に答えよ。
換.(FT)、ラプラス変換.(LT).への発展過程について述べたもの
である。( )内に最適な語句や数式・数値を記入せよ。
(1).フーリエ変換は線形変換か、非線形変換か。該当に○
( )線形変換 ( )非線形変換
時間関数.f.(t).を周波数領域に写像することで、信号の新た
な特徴を知ることができる。FSE,.FT,.LT.はその写像のため
のツールであり、それぞれ次のように表記される。
f (t) <=> {ck} .f.(t) <=> F(ω) .f.(t) <=> F(s)
(2).フーリエ変換.は複素変換であるが、偶関数信号を変換
すると実数関数となる。このような信号を何というか。
( )位相信号
. .
これらは変換の(① )と呼ばれ、以下の式で計
算される。
ck = ( )(k.= )
(3).重要な性質である双対性を以下の手順で証明せよ。
フーリエ逆変換の定義式は次式のように表される。
.f.(t) =
1
2π
∫
+∞
−∞
F(ω ) e + jω t dω
よって、
F(ω) = ( )
∫
+∞
(
−∞
) e jω t dω = (
) f (t)
ここで、t.=>.−t.とすると
F(s) = ( )
∫
+∞
(
) dω = (
−∞
これを見ると、いずれも時間関数.f.(t).に(複素)指数関数を乗
さらに、変数変換で.t.と.ω.を入れ換えると
じ、定積分を行っている。複素指数関数は展開すると、
∫
e jω.t = ( )
のようにcos,sin.関数で表される。cos,sin.関数は時間関数.f.(t).
+∞
(
)=(
−∞
) f(
) f(
)
)
上式の左辺は. F.(t) のフーリエ変換であるから
F.(t) <=> 2π f.(−ω)
に乗じて積分したときに、同じ周波数成分についてのみ値
が生じるという性質がある。FSE,.FT,.LT.のいずれも、この
(4).フーリエ変換において、時間分解能と周波数分解能は
相反する。この性質を何というか。
直.( )性を利用する点では共通している。
FSE.は(② )関数に限定して適用される。関数
が②性をもつ場合、その②の( )倍の周波数成分
(5).関数の時間を..f.(t).=>.f.(t−a).のようにシフトすると、周波
数スペクトルにはどのような変化があるか。
のみ考えればよく、級数に展開できるからである。した
がって、②関数の周波数スペクトルは( )スペ
クトルとなる。
問3 次の信号のフーリエ変換を求めよ。
FSE.を一般化・拡張し、非②関数に対応させたものが.FT
である。この場合、関数を構成する周波数成分に特定の条
件は存在しないので、そのスペクトルは.( ).ス
ペクトルとなる。
対象関数の無限区間での積分値が有限でない場合、.FT.は
収束しない。そこで、FT.に.( ).因子を乗して振
幅を制限し、実際の信号処理系がもつ.( )性を
考慮して積分範囲を限定したものが(片側).LT.である。LTは
複素平面上への2次元変換であるが、その( )軸
上の値が.FT.に相当する。
(1)..f.(t) = δ.(t)
※定義式に従って計算
平成23年度前期期末試験問題E5信号処理No.2(2010.08.04 Thu. 3・4) No. Name
(2)..f.(t) = e..−.a.t.•.1 (t)
問4 以下に示す関数のラプラス変換および逆変換を、導出
(a > 0 : 因果性減衰指数関数)
過程を示して求めよ。
(1)..f.(t) = 1 (t) :単位ステップ関数
(3)..f.(t) = 1
(2)..f.(t) = e.−.at:指数関数
(− ∞ < t < + ∞ : 単位直流信号)
(3)..f.(t) = a.t:ランプ関数
(4)..f.(t). =.1 (.t.=.−.T./.2~.+.T./.2.), 0. (otherwise):ボックス関数
※定義式に従って計算し、sinc関数の形に整理
平成23年度前期期末試験問題E5信号処理No.3(2010.08.04 Thu. 3・4) No. Name
(4).F(s) =
1 1次遅れ系のインディシャル応答
s(s + 2)
問5 図に示すシステム関数.h.(t).をもつ系に単
1
位ステップ関数 .1 (t).を入力した。以下の設問 h(t)
0
に答えよ。
0
t
1
(1).出力.y.(t).は入力.u.(t).とシステム関数.h.(t).のたたみ込みで
与えられる。その一般式を記せ。
y.(t) =
(2).(1)式に従い、t.<.0.における応答を求めよ。.h.(t).と.u.(t).の
状態を図に描き、計算過程も示すこと。
(5).F(s) =
1
.重極がある2次遅れ系のインディシャル応答
s(s +1)2
(3).同じく、0.<.t.<1.における応答を求めよ。※図と計算過程
(4).同じく、t..>1..における応答を求めよ。※図と計算過程
(5).以上より、出力の概形を描け。
y(t)
配点 問1:各1,計14点 問2:各解答部分1,計12点
問3:(1)(2)5,(3)(4)6,計22点 問4:(1)(2)5,(3)(4)6,(5)8,計30点
問5:(1)2,(2)~(5)5,計22点 総計100点
0
0
1
t
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