2002 年度大学院一般相対論講義
小玉 英雄
京都大学基礎物理学研究所
- 2-
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目次
第 1 章 序論
1.1 一般相対論の諸問題とアプローチ
1.1.1 諸問題 . . . . . . . . . . .
1.1.2 様々なアプローチ . . . . .
1.2 Einstein 方程式の構造 . . . . . .
1.2.1 摂動論 . . . . . . . . . . .
1.2.2 時空の分解 . . . . . . . .
1.2.3 初期値問題 . . . . . . . .
第 2 章 宇宙論
2.1 一様等方宇宙モデル . . . . . . .
2.1.1 基礎方程式 . . . . . . . .
2.1.2 一般的性質 . . . . . . . .
2.1.3 標準的な宇宙モデル . . .
2.2 摂動論 . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 背景時空 . . . . . . . . . .
2.2.2 摂動変数とゲージ自由度 .
2.2.3 テンソルの既約分解 . . .
2.2.4 テンソル型摂動 . . . . . .
2.2.5 ベクトル型摂動 . . . . . .
2.2.6 スカラ型摂動 . . . . . . .
2.2.7 長波長極限 . . . . . . . .
2.2.8 RW 宇宙でのスカラ型摂動
2.2.9 断熱モード . . . . . . . .
2.2.10 n の固有値 . . . . . . . .
2.3 非等方一様宇宙モデル . . . . . .
2.3.1 変換群 . . . . . . . . . . .
2.3.2 等長変換群と不変基底 . .
2.3.3 基礎方程式 . . . . . . . .
2.3.4 一般的性質 . . . . . . . .
2.3.5 Bianchi types . . . . . . .
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2.3.6 厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
第 3 章 ブラックホール
3.1 Weyl テンソルと Petrov タイプ .
3.1.1 Weyl テンソル . . . . . .
3.1.2 Petrov タイプ . . . . . .
3.2 球対称ブラックホール . . . . .
3.2.1 球対称時空 . . . . . . .
3.2.2 Birkhoff の定理 . . . . .
3.2.3 Schwarzschild BH . . . .
3.2.4 2次元共形図式 . . . . .
3.2.5 ホライズン . . . . . . .
3.3 Hodge 双対 . . . . . . . . . . .
3.4 定常軸対称時空 . . . . . . . . .
3.5 静的軸対称ブラックホール . . .
3.5.1 静的時空 . . . . . . . . .
3.5.2 Weyl クラス . . . . . . .
3.5.3 Schwarzschild 計量 . . .
3.5.4 Israel-Kahn 解 . . . . . .
3.5.5 Weyl 解 . . . . . . . . .
3.5.6 C-metric . . . . . . . . .
3.6 軸対称定常ブラックホール . . .
3.6.1 Ernst 形式 . . . . . . . .
3.6.2 Ernst 方程式 . . . . . . .
3.6.3 Kerr-TS class . . . . . .
3.6.4 Kerr-Newman 解 . . . .
3.7 一意性定理 . . . . . . . . . . .
3.7.1 諸定義 . . . . . . . . . .
3.7.2 ホライズンの位相 . . . .
3.7.3 非回転ブラックホール .
3.7.4 軸対称ブラックホール .
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序論
1
§1.1
一般相対論の諸問題とアプローチ
1.1.1
諸問題
• 弱い重力場の効果: 一般相対論の古典的テスト
• 天体と時空の構造: 相対論的天体,ブラックホール,降着円盤,ジェット,
時空特異点,特異物体(宇宙ひも,ドメインウォール,ソリトン)
• 強い重力場による新たな物理現象: 重力レンズ,粒子生成
• ダイナミクス:近接連星,重力崩壊,相対論的天体衝突,重力波放出,宇宙
の構造と進化
• 大域的問題: 時空のトポロジー,因果構造,時空特異点
• 原理的諸問題: ブラックホールの蒸発,ブラックホール熱力学,真空のエネ
ルギー,量子重力・量子宇宙論
• 重力理論の変更: 統一理論,高次元理論
1.1.2
様々なアプローチ
• 厳密解
• 大域微分幾何学による数学的アプローチ
• 摂動論
• 数値シミュレーション
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第 1 章 序論
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§1.2
Einstein 方程式の構造
Einstein 方程式
Gµν + Λgµν = κ2 Tµν
(1.1)
ここで,
1
Gµν = Rµν − Rgµν ,
2
Rµν = Rα µαν ,
(1.2)
(1.3)
Rα βµν = ∂µ Γανβ − ∂ν Γαµβ + Γαµγ Γγνβ − Γανγ Γγµβ ,
1
Γαµν = g αβ (∂µ gνβ + ∂ν gµβ − ∂β gµν ) .
2
(1.4)
(1.5)
特徴
• 一般共変性(微分同相不変性,座標変換不変性)
• 縮約 Bianchi 恒等式
∇ν Gµν = 0
1.2.1
⇒
∇ν Tµν = 0
(1.6)
摂動論
【公式 1.2.1】 計量テンソル gµν の変分 δgµν = hµν に対して、接続係数、曲率テンソルなど
の幾何学的諸量は次のように変化する:
δg µν
= −hµν + O(h2 ),
δ|g|
= |g|h + O; h = g hµν ,
1
= (∇ν hµλ + ∇λ hµν − ∇µ hνλ ) + O(h2 ),
2
= ∇λ δΓµνσ − ∇σ δΓµνλ + O(h2 )
1
= (∇λ ∇ν hµσ − ∇σ ∇ν hµλ − ∇λ ∇µ hνσ + ∇σ ∇µ hνλ
2
+Rλσ µ β hβν + Rλσν β hµβ ) + O(h2 ),
1
= (−∇2 hµν − ∇µ ∇ν h + ∇µ ∇α hαν + ∇ν ∇α hαµ
2
+Rµα hαν + Rνα hαµ − 2Rµανβ hαβ ) + O(h2 ),
(1.7h)
= −hµν Rµν + ∇µ ∇ν hµν − ∇2 h + O(h2 ).
(1.7i)
δΓµνλ
δRν νλσ
δRµν
δR
(1.7a)
µν
(1.7b)
(1.7c)
(1.7d)
(1.7e)
(1.7f)
(1.7g)
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第 1 章 序論
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摂動方程式
δgµν = hµν ,
1
ψµν = hµν − hgµν
2
(1.8)
とおくと,
ψµν − ∇µ ∇α ψνα − ∇ν ∇α ψµα + ∇α ∇β ψαβ gµν
−Rµα ψνα − Rνα ψµα + 2Rµανβ ψ αβ − Rαβ ψαβ gµν + Rψµν
= −2κ2 δTµν .
(1.9)
ゲージ変換
xµ → xµ = xµ + ξ µ
(1.10)
に対して,
δ̄hµν = −∇µ ξν − ∇ν ξµ ,
(1.11)
δ̄ψµν = −∇µ ξν − ∇ν ξµ + ∇α ξ α gµν .
(1.12)
Flat background : ゲージ条件(調和ゲージ)
∇ν ψµν = 0
(1.13)
の元で,摂動方程式は
ψµν = −2κ2 δTµν .
(1.14)
これは重力波に対する波動方程式を与える.ただし,ゲージ条件は
∂0 ψ00 = ∂ i ψ0i ,
∂0 ψ0i = ∂ j ψij
(1.15)
を与えるので,(00) 成分および (0i) 成分は実際には ψ0µ に対する Poisson 型の方程
式となっている:
ψ00 − ∂ i ∂ j ψij = −2κ2 δT00 ,
(1.16a)
ψ0i − ∂0 ∂ j ψij = −2κ2 δT0i .
(1.16b)
これらの方程式は,縮約 Bianchi 方程式とゲージ条件より,ある時刻で満たされれ
ばその後の時刻で常に満たされる.さらに,調和ゲージはゲージを完全には固定
せず,
δ̄(∇ν ψµν ) = −ξµ − Rµα ξ α = 0
(1.17)
を満たす ξ µ に対する残留ゲージ自由度を残している.したがって,独立な力学自
由度(重力波の自由度)は,6 − 4 = 2 となる.
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第 1 章 序論
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時空の分解
1.2.2
Riemann 接続 : Riemann 多様体 (M , g) の Riemann 接続 ∇ は次の条件を満た
す一意的な線形接続である.
1. (計量条件) ∇g = 0.
2. (ねじれ条件) ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ].
˜ ,M 内の超曲面を Σ,n を Σ
Gauss の公式 : 時空 (M , g̃) の Riemann 接続を ∇
の単位法ベクトル場とする.Σ に接するベクトル場 X, Y に対して,
˜ X Y = ∇X Y − K(X, Y )n;
∇
∇X Y //Σ
(1.18)
と直交分解すると,[X, Y ] が Σ に接することより,∇ は g̃ から Σ に誘導された計
量 g に関する Riemann 接続となり,また K(X, Y ) は Σ 上の対称テンソル(第2基
本形式ないし外部曲率)となる:
K(X, Y ) = K(Y, X).
(1.19)
Weingarten の公式 : X を Σ に平行なベクトル場,n を Σ の単位法ベクトル場
として,Σ 上の (1, 1) 型混合テンソル場 K(X) を
g(K(X), Y ) = K(X, Y )
(1.20)
により定義すると,
˜ X n = ±K(X) //Σ;
∇
g(n, n) = ±1
(1.21)
が成り立つ.
計量による表現
: (d + 1) 次元時空の計量は一般に,
ds2 = −N 2 dt2 + gij (dxi + β i dt)(dxj + β j dt)
(1.22)
と表される.この表示のもとで,t = 一定面 Σt の単位法ベクトル n は
n=
1
(∂t − β i ∂i )
N
(1.23)
となる.T = Nn とおくと,
1 ˜
1
˜ T X, Y )
g̃(∇X T, Y ) = ± g̃([X, T ] + ∇
N
N
1
(L
−T g)(X, Y )
=±
2N
K(X, Y ) = ±
(1.24)
より
Kij = ±
1
(∂t gij − ∇i βj − ∇j βi )
2N
(1.25)
を得る.
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第 1 章 序論
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Riemann 曲率 : 線形接続 ∇ の曲率テンソルは次式で定義される:
R(X, Y )Z = (∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] )Z.
(1.26)
特に,計量 g に関する Riemann 接続に対して
R(X, Y, Z, W ) = g(Z, R(X, Y )W )
(1.27)
とおくとき,次式が成り立つ:
R(X, Y, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z),
(1.28a)
R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ),
(1.28b)
R(X, Y, Z, W ) + R(X, Z, W, Y ) + R(X, W, Y, Z) = 0,
(1.28c)
0.
(∇W R)(X, Y, U, V ) + (∇U R)(X, Y, V, W ) + (∇V R)(X, Y, W, U) =(1.28d)
第3式は第1 Bianchi 恒等式,第4式は第2 Bianchi 恒等式と呼ばれる.
Gauss-Codazzi 方程式 :∇X Y の分解公式より,Σ の接ベクトル場 X, Y, Z に対
して,
˜ X∇
˜YZ − ∇
˜ XZ − ∇
˜Y∇
˜ [X,Y ] Z
R̃(X, Y )Z = ∇
= R(X, Y )Z ± (K(X, Z)K(Y ) − K(Y, Z)K(X))
+[−(∇X K)(Y, Z) + (∇Y K)(X, Z)]n.
(1.29)
この式は次の2式と同等である:
R̃(X, Y, Z, W ) = R(X, Y, Z, W ) ± (K(X, W )K(Y, Z)
−K(X, Z)K(Y, W )),
± ((∇X K)(Y, Z)) − (∇Y K)(X, Z)) .
R̃(X, Y, Z, n) =
(1.30)
(1.31)
Σ の正規直交基底 eI および Σ の単位法ベクトル e0 = n からなる M の正規直交基
底に関する成分表示のもとで,これらの方程式は次のように表わされる:
R̃IJKL = RIJKL ± (KIL KJK − KIK KJL ),
(1.32a)
R̃0IJK = nµ R̃µ IJK = ±(∇K KIJ − ∇J KIK ).
(1.32b)
となる.
残りの成分
X, Y を
T = Nn = ∂t − β i ∂i に対して,t = 一定面 Σt に接するベクトル場
−T X = 0, L
L
−T Y = 0
(1.33)
となるようにとる.このとき,
g̃(n, R̃(X, n)Y ) =
1
˜TY − ∇
˜ X Y ).
˜ X∇
˜T∇
g̃(T, ∇
N2
(1.34)
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第 1 章 序論
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˜TY = ∇
˜ Y T より
ここで,∇
˜ T Y ) = g̃(T, ∇
˜ Y T ) = g̃(T, ∇
˜ X∇
˜ X∇
˜ X ((∂Y N)n ± NK(Y )))
g̃(T, ∇
˜ X (K(Y )))
= g̃(T, (∂X ∂Y N)n ± N ∇
= ±N∂X ∂Y N − N 2 K(X, K(Y )).
(1.35)
また,L
−T ∇X Y //Σt より
˜ X Y ) = g̃(T, ∇
˜T∇
˜ T (∇X Y − K(X, Y )n))
g̃(T, ∇
˜ ∇ Y T − ∂T (K(X, Y ))n)
= g̃(T, ∇
X
−T K)(X, Y ).
= ±N∂∇X Y N ∓ (L
(1.36)
ここで
∂X ∂Y N = ∇X (∇Y N) = ∇X (Y i ∇i N) = (∇X Y )i ∇i N + (∇2 N)(X, Y ). (1.37)
よって
g̃(n, R̃(X, n)Y ) = ±
1
1
(L
−T K)(X, Y )−K(X, K(Y ))± (∇2 N)(X, Y ) (1.38)
N
N
成分表示では,
R̃0i0j = ∓
1
1
(K̇ij − (L
−β K)ij ) + Kik Kjk ∓ (∇2 N)ij .
N
N
(1.39)
Note : dim Σ = 2 のとき,曲率テンソルは必ず
2
RIJKL = k(δIK δJL − δIL δJK )
(1.40)
と表され,独立な成分は 2R1212 = k のみとなる.特に,Σ が3次元 Euclid 空間内
の2次元面の時,Rabcd = 0 と Gauss の方程式より
2
k = K12
− K11 K22 = det KIJ
(1.41)
となる.したがって,Σ の曲率半径を R1 , R2 とすると,KIJ の固有値は 1/R1 , 1/R2
となるので,有名な Gauss の公式
k=
1
R1 R2
(1.42)
を得る.
Einstein 方程式の分解 : Gauss 方程式および Codazzi 方程式のトレースより
2G̃nn = 2R̃nn ∓ R̃ = ∓R + K 2 − Kji Kij ,
(1.43a)
G̃ni = R̃ni = ±(∇j Kij − ∇i K).
(1.43b)
目次へ
第 1 章 序論
10 目次へ
また,
G̃ij = R̃ij + (G̃00 − R̃00 )gij ,
(1.44)
R̃ij = g kl R̃kilj + R̃0 i0j
= Rij ± (Kik Kjk − KKij ) + R̃0 i0j .
(1.45)
ここで,T = ∂t − β i ∂i として,
1
1
−T Kij ± Kik Kjk − ∇i ∇j N,
L
N
N
ij
i j
g L
−T Kij = L
−T K ± 2NKj Ki .
R̃0 i0j = −
(1.46)
(1.47)
よって,
R̃ij = Rij ± (2Kik Kjk − KKij ) −
1
1
−T Kij − ∇i ∇j N,
L
N
N
1
1
−T K ∓ Kji Kij − N,
L
N
N
2
2
2
R̃ = R − L
−T K ∓ (K + Kji Kij ) − N.
N
N
R̃00 = −
(1.48a)
(1.48b)
(1.48c)
これより,
1 2
k l
G̃ij =Gij ±
− KKij + (K + Kl Kk )gij
2
1
1
1
−T Kij − gij L
−T K) − ∇i ∇j N + Ngij .
− (L
N
N
N
2Kik Kkj
(1.49)
ただし,(L
−T K)ij = ∂t Kij − (L
−β K)ij において,
(L
−β K)ij = (∇β K)ij + Kik ∇j β k + Kjk ∇i β k .
1.2.3
(1.50)
初期値問題
(d + 1) 分解
ds2 = −N 2 dt2 + qij (dxi + β i dt)(dxj + β j dt)
(1.51)
とおくと,
n=
1
T;
N
T = ∂t − β i∂i
(1.52)
−T qij = ∂t qij − Di βj − Dj βi ,
L
(1.53a)
−T Kji = ∂t Kji − Dβ Kji − Kli Dj β l + Kjl Dl β i .
L
(1.53b)
に対して,
目次へ
第 1 章 序論
11 目次へ
発展方程式
Kji = K̂ji +
K i
δ
d j
(1.54)
とおくと,
K k
1
k
(1.55a)
−T qij = −2qik K̂j + δj ,
L
N
d
1 2
d
d−2 d
N
κ2 lm
1
2
K̂ +
R−
(1.55b)
∂T K = K +
+
q Tlm ,
N
2
2(d − 1)
2(d − 1)
N
d−1
d l
1
Rl i
1
N i
q lm Tlm i
i
i
d i
i
2
ik
−T K̂j = K K̂j + Rj −
L
δ −
D Dj N −
δ − κ q Tkj −
δj .
(1.55c)
N
d j N
d j
d
拘束条件
d−1 2
K − K̂ 2 = 2κ2 Tnn ,
d
d−1
Dj K̂ij −
Di K = −κ2 Tni .
d
d
R+
(1.56a)
(1.56b)
縮約 Bianchi 方程式より,
Eµν := Gµν − κ2 Tµν
(1.57)
に対して,
∂t Enn = Eµν , ∂i Eµν の式,
∂t Eni = Eµν , ∂i Eµν の式,
より,Eij = が常に満たされ,ある時刻で拘束条件 Enn = 0, Eni = 0 が満たされれ
ば,任意の時刻で拘束条件が満たされる.したがって,拘束条件は初期値に対す
る制限と見なされる.
【公式 1.2.2】 任意のベクトル場 V µ に対して,
∇µ V µ = D i Vi + K(V · n) − n · ∇n V.
(1.58)
また,任意の対称テンソル Tµν に対して,
(∇ν Tµν )nµ = ∂n Tnn − KTnn + q ij Di Tin − K ij Tij ,
(1.59a)
1
Dj N
(∇ν Tµν )hµi = − L
−T Tni + KTni + D j Tij −
Tnn + (∇n nµ )Tµi .(1.59b)
N
N
ここで,
hµν = gµν + nµ nν .
(1.60)
目次へ
第 1 章 序論
12 目次へ
O’Murchandha-York の方法 : K̂ji を
K̂ji = Sji + (LW )ij ;
(1.61)
2
(LW )ij = Dj W i + D i Wj − D · W δji ,
d
j
j
Sj = 0, Dj Si = 0
(1.62)
(1.63)
と分解する.このとき,次の定理が成り立つ.
【定理 1.2.3】 (qjk , K jk , φ, π) を任意の配意データとするとき、変換
qjk → qjk
= e2Ω qjk ,
(1.64a)
Kkj → K jk = Kkj + (LW )jk
(1.64b)
は (Ω(x), W j (x)) をパラメーターとする可換な無限次元変換群をなす。勝手な
データ (qjk , K jk , φ, π) を1つ与えたとき、それにこの変換を施して得られる位
相空間での軌道上では、拘束条件は Ω と W j に対する次の楕円型連立微分方程
式で表わされる:
2Ω + (d − 2)(DΩ)2 = −e2Ω 2K̂ · (LW ) + (LW )2
1 d
2Ω d − 2
2
2
+
R+e
,
(1.65a)
K − K̂ − 2κ2 e2Ω Tnn
d−1
d−1
(1.65b)
d−2
Di D · W + Rij W j + dDj Ω(LW )ji
Wi +
d
d−2
Di K − κ2 Tni
= −Dj K̂Ij − dDj ΩK̂ij +
(1.65c)
d−1
ここで Tnn
, Tnj
は Tnn , Tnj の表式で qjk → qjk
, Kkj → K jk と置き換えたもので
ある。さらに、Dj S ji = e−dΩ Dj (edΩ S ji ) より,この軌道上には
2
Kji = e−dΩ Sji + Kδji ; Sjj = 0,
d
と表わされるデータが存在する。
Dk Sjk = 0
(1.66)
【公式 1.2.4 (曲率テンソルの変換)】 n 次元 Riemann 多様体の Weyl 変換
gµν → ĝµν = e2Φ gµν
(1.67)
に対して,Christofell シンボルおよび曲率テンソルは次のように変換する:
Γ̂µνλ = Γµνλ + ∇ν δλµ + ∇λ δνµ − ∇µ gνλ ,
R̂
(1.68)
µ
µ
νλσ = R νλσ + 2δ[σ ∇λ] ∇ν Φ − 2gν[σ ∇λ] ∇ Φ
µ
µ
+ 2∇µ Φ∇[λ Φgσ]ν − 2(∇Φ)2 δ[λ
gσ]ν ,
−2∇ν Φ∇[ν Φδσ]
µ
µ
(1.69)
R̂µν = Rµν − gµν ∇2 Φ − (n − 2)∇µ ∇ν Φ
+(n − 2)∇µ Φ∇ν Φ − (n − 2)(∇Φ)2 gµν ,
2Φ
2
(1.70)
2
e R̂ = R − 2(n − 1)∇ Φ − (n − 1)(n − 2)(∇Φ) .
(1.71)
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第 1 章 序論
13 目次へ
4次元時空 (n = 3) に対して,この定理より,初期条件の自由度は空間の各点ご
とに,計量の共形クラス [qjk ] = qjk /q 1/3 の自由度 5 とゼロトレース,ゼロ発散テ
ンソル Skj の自由度 2,Kkj のトレース K の自由度 1 の計 8 となる.このうち 4 個
は座標変換の自由度(ゲージ自由度)なので,真の力学的自由度は 2 + 2(+ 物質
場の自由度) となる.これはちょうど近似的に平坦な時空での重力波の自由度と一
致している.
上記の連立楕円型方程式は必ずしも解を持つとは限らない.また、解が存在して
も一般には一意的とも限らない.しかし,適当なゲージ条件のもとでは存在と一
意性がいえる [1].例えば、時間座標に対して K =const(一様膨張時間スライス)、
空間座標に対して Tnj = 0(共動ゲージ)の座標条件を課すと、W j の方程式は単
j
j
に D k (LW )k = 0 となる。この時、ほとんど全てのデータ (qjk , Sk , Tnn , K) に対し
て Ω に対する方程式が解を持つことが示される。さらに、同じゲージのもとで、
Tnn = Skj = K = 0 の場合を除くと、解は一意的であることも示される。この除外
された場合には Ω の方程式は e(n−2)Ω/2 に対する同時の線形方程式となるため、一
般にはたくさんの解を持つが、時空が漸近的に平坦な場合には Ω → 0(r n−2 → ∞)
の境界条件のもとでは一意性が言える。また、このゲージ条件から僅かにずれた
ゲージ条件 K = const + δK(x), Tnj = δTnj (x) に対しても解の存在と一意性が示
されている。
目次へ
- 14-
目次へ
関連図書
[1] O’Murchadha, N. and York, Jr., W.: Phys. Rev. D10, 428 (1974).
目次へ
- 15-
目次へ
2
宇宙論
§2.1
一様等方宇宙モデル
2.1.1
基礎方程式
計量
ds2 = −dt2 + a(t)2 q̂ij (x)dxi dxj .
(2.1)
エネルギー運動量テンソル
Tµν = (ρ + P )uµ uν + P gµν .
一様等方な空間
(2.2)
: E d, S d, H d
Rijkl = k(qik qjl − qil qjk )
d
(2.3)
これより,
Rij = (d − 1)kqij , dR = d(d − 1)k, dGll = −
d
d(d − 1)(d − 2)
k.
2
(2.4)
発展方程式
Kji = −Hδji =
K i
δ;
d j
H=
ȧ
a
(2.5)
より,
d 2 d−2 k
κ2
Ḣ = − H −
−
P.
2
2 a2 d − 1
(2.6)
目次へ
第 2 章 宇宙論
16 目次へ
拘束条件
H2 =
k
2κ2
ρ − 2.
d(d − 1)
a
(2.7)
エネルギー運動量保存則
ρ̇ = −dH(ρ + P ).
2.1.2
(2.8)
一般的性質
初期特異点
: 拘束条件を用いると,発展方程式は
d
ä
d−2 2
=−
κ ρ+
P
a
d(d − 1)
d−2
と書き換えられる.これより,強エネルギー条件
(d − 2)κ2
d
µ ν
P ≥0
Rµν u u =
ρ+
d−1
d−2
(2.9)
(2.10)
が満たされれば,ä ≤ 0 となり,H > 0 のときスケール因子 a(t) は過去の有限な
時刻でゼロとなる.正規直交基底に関する曲率テンソルの成分は
ä
0
RI0J
= δIJ ,
a
k
2
RIJKL = H + 2 (δIK δJL − δIL δJK )
a
(2.11a)
(2.11b)
で与えられるので,初期特異点が曲率特異点であるための条件は,ρ ないし P が
発散することである.
Horizon : 共動座標系でのホライズン半径は
t
dt
χH =
0 a
(2.12)
と表される.したがって,初期特異点 t → 0 で a ∼ tγ (γ < 1) ならホライズン半径
は有限となる.
2.1.3
標準的な宇宙モデル
Friedmann model : 状態方程式
P = wρ
(2.13)
に対して,エネルギー方程式より,
da
dρ
= −d(1 + w)
ρ
a
⇒
ρ = ρ0 /ad(1+w) .
(2.14)
目次へ
第 2 章 宇宙論
17 目次へ
これを Hubble 方程式に代入して,
ȧ2 − Ca2−d(1+w) = −k;
C=
2κ2 ρ0
.
d(d − 1)
(2.15)
ρ0 > 0 のとき,初期特異点が存在する十分条件は
w>
2−d
.
d
(2.16)
このとき,特異点近傍でのスケール因子の振る舞いは
a ∝ tγ ;
γ=
2
< 1.
d(1 + w)
(2.17)
また,k > 0 のときは,有限な時刻で a は最大となり,その後宇宙は収縮する.一
方,k ≤ 0 のとき,宇宙は膨張を続け,t → ∞ で
t k < 0,
(2.18)
a∝
tγ k = 0.
Inflationary model : スケール因子が Hubble ホライズン半径 1/H より速く増
大する条件は,ρ0 > 0 のとき,
(aH). = ä > 0
⇔
w<
2−d
.
d
(2.19)
w が一定でこの条件を満たすとき,k > 0 なら宇宙のスケール因子は最小値をも
つ.一方,k ≤ 0 なら初期特異点をもつ.また,w > −1 のとき,t → ∞ で
a ∝ tγ ;
γ > 1,
(2.20)
w = −1 のとき,
a ∝ eH0 t .
(2.21)
さらに,w < −1(γ < 0) のとき,a は有限な時間で発散する:
a∝
1
.
(t − t∗ )|γ|
(2.22)
Power-law inflation : スカラ場 φ に対する作用積分は
1
4 √
2
Sφ = d x g − (∇φ) − V (φ)
2
(2.23)
で与えられるので,エネルギー運動量テンソルは
1
Tµν = ∂µ φ∂ν φ − gµν (∇φ)2 + 2V (φ) .
2
(2.24)
これより,空間的に一様なスカラ場に対しては,
1
ρ = φ̇2 + V,
2
1
P = φ̇2 − V.
2
(2.25)
目次へ
第 2 章 宇宙論
18 目次へ
また,場の方程式は
φ̈ + dH φ̇ + V (φ) = 0,
1 2
2κ2
2
H =
φ̇ + V .
d(d − 1) 2
(2.26a)
(2.26b)
で与えられる.
φ̇
p= √
V
(2.27)
とおくと,
H2 =
κ2 V
(p2 + 2).
d(d − 1)
(2.28)
これより,特にポテンシャルが
V = V0 eαφ
(2.29)
で与えられるとき,
√ d
α
p
ṗ = − V p2 + 1
p2 + 1 + κ
2
d−1
(2.30)
および
φ̇ +
C
α(d − 1)
H
=
2κ2
ad
(2.31)
が成り立つ.第1式より,
p2 + 1 α 2
dp
d
=−
p
p +1+κ
dφ
p
2
d−1
(2.32)
を得る.
1) 0 < α < 2κ d/(d − 1) のとき:このとき,p は次式を満たす一定値 p∗ < 0
に近づく.
p2∗ =
2
4κ2 d
α2 (d−1)
.
(2.33)
4
,
(αp∗ t)2
(2.34a)
−1
これより t → ∞ で
V (φ) a ∝ tγ ;
γ=
4κ2
α2 (d − 1)
を得る.したがって,
√
|α| < 2κ/ d − 1
(2.34b)
(2.35)
のとき,power-law inflation が実現される.
目次へ
第 2 章 宇宙論
19 目次へ
2) α > 2κ d/(d − 1) のとき:このとき,t → ∞ で p → −∞ となり,p と φ の
漸近的関係は
√
p∗ V (κ d/(d − 1)φ)
p
(2.36)
exp
となる.これより,
d
exp κ d/(d − 1)φ |p∗ |κ
t,
d−1
a ∝ t1/d
(2.37a)
(2.37b)
を得る.
de Sitter 宇宙 :
ρ = −P = Λ > 0
のとき,a を k = 0, ±1 となるように規格化すると,
⎧
t/
⎪
k = 0,
⎨ e
a=
cosh(t/) k = +1,
⎪
⎩ sinh(t/) k = −1.
(2.38)
(2.39)
ただし,
1
2
Λ.
=
2
d(d − 1)
(2.40)
これらは,いずれも同じ de Sitter 時空 dS d+1
2
−T 2 + X12 + · · · + Xd+1
= 2 ;
(2.41)
2
ds2 = −dT 2 + dX12 + · · · + dXd+1
(2.42)
の全体,ないし一部と対応する:
k = +1 : dS d+1 ,
k=0:
T > Xd+1 ,
k = −1 : Xd+1 > .
(2.43)
de Sitter 宇宙は定曲率時空である:
Rabcd =
1
(gac gbd − gad gbc ).
2
(2.44)
目次へ
第 2 章 宇宙論
20 目次へ
Anti-de Sitter 宇宙 :
ρ = −P = Λ < 0
(2.45)
のときには,k < 0 の時にのみ解が存在する:
a = sin(t/);
1
2
=
|Λ|.
2
d(d − 1)
(2.46)
これは,anti-de Sitter 時空
−T 2 − S 2 + X12 + · · · + Xd2 = −2 ;
(2.47)
ds2 = −dT 2 − dS 2 + dX12 + · · · + dXd2
(2.48)
の一部の領域 |S| < と対応する.Anti-de Sitter 時空も定曲率時空である:
Rabcd = −
1
(gac gbd − gad gbc ).
2
(2.49)
目次へ
第 2 章 宇宙論
21 目次へ
§2.2
摂動論
背景時空
2.2.1
対称性 : 背景時空は,G = SO(n + 1), SO+ (n, 1), ないし ISO(n)(Euclide 群) で
不変で,その軌道は空間的 n 次元部分空間であるとする:
M n+m ≈ N m × K
計量
n
(z M ) = (y a, xi ).
(2.1)
:
ds̄2 = ḡM N dz M dz N = gab (y)dy ady b + r(y)2dσn2 .
(2.2)
ここで,dσn2 = γij dxi dxj は断面曲率 K をもつ n 次元定曲率空間の計量である.
エネルギー運動量テンソル
: T̄M N
T̄ab = T̄ab (y), T̄ai = 0, T̄ji = P̄ (y)δji .
(2.3)
Einstein 方程式 : ḠM N + Λ̄ḡM N = κ̄2 T̄M N
Ḡab + Λ̄gab = κ̄2 T̄ab ,
(2.4a)
Ḡii = n(κ̄2 P̄ − Λ̄).
(2.4b)
Notation : 共変微分
ds̄2 ⇒
¯ M , Γ̄M (z), R̄M N LS (z),
∇
NL
gab (y)dy ady b ⇒
dσn2 ⇒
(2.5)
Da , mΓabc (y), mRabcd (y),
(2.6)
D̂i , Γ̂ijk (x), R̂ijkl (x) = K(γik γjl − γil γjk ).
(2.7)
例1 : (Robertson-Walker universe) m = 1 のとき,背景時空は Robertson-Walker
宇宙
ds2 = −dt2 + a(t)2 dσn2 ,
(2.8)
をあらわし,エネルギー運動量テンソルは
Ttt = ρ, Tit = 0, Tji = P δji
となる.また,Einstein 方程式は次の2式に帰着される:
2
K
ȧ
2κ2
2
2
ρ− 2 +
Λ,
H :=
=
a
n(n − 1)
a
n(n − 1)
ȧ
ρ̇ = −n(ρ + P ) .
a
(2.9)
(2.10a)
(2.10b)
目次へ
第 2 章 宇宙論
22 目次へ
例2 : (Brane-world model) Schwarzschild ブラックホール時空は m = 2 の場合
(G = SO(n + 1)) に当たる.この場合は,ブレインが FRW 宇宙を表すようなブレ
インワールドモデルも含む.
例3 : (m ≥ 3) このケースは,宇宙ひも的な特異部分空間をもつ時空の摂動に対
応する.
例4
: (軸対称な時空) n = 1 の場合は軸対称な時空と対応する.
2.2.2
摂動変数とゲージ自由度
ゲージ自由度 : 時空構造や物質の配位 (M̃ , g̃, Φ̃) を固定した背景時空 (M, g, Φ) か
らの摂動として記述するために, 適当な写像
F : background M → M̃,
(2.11)
を用いて背景時空上での摂動変数を次のように定義する:
h := δg = F ∗ g̃ − g,
(2.12a)
φ := δΦ = F ∗ Φ̃ − Φ.
(2.12b)
異なる写像 F を取るとこれらの摂動変数は値を変えるが,この値の変化は物理的
意味を持たず,一種のゲージ自由度と見なされる.F と F は共に微分同相なので,
摂動変数の変化は微分同相変換 f = F −1 F による変数の変換と一致する.線形摂
動の枠内では,F の無限小の取り替えのみを考えればよいので,f は無限小変換
ξ M を用いて
δ̄z M = z M (f (p)) − z M (p) = ξ M .
(2.13)
と表される.対応する摂動変数のゲージ変換は
δ̄h = −L
−ξ g,
(2.14a)
δ̄φ = −L
−ξ Φ.
(2.14b)
となる.
具体的な変換則
: hM N = δḡM N のゲージ変換は
δ̄hab = −Da ξb − Db ξa ,
ξi
2
− D̂i ξa ,
δ̄hai = −r Da
r2
δ̄hij = −D̂i ξj − D̂j ξi − 2rD arξa γij
(2.15a)
(2.15b)
(2.15c)
τM N = δ T̄M N のゲージ変換は
δ̄τab = −ξ c Dc T̄ab − T̄ac Db ξ c − T̄bc Da ξ c ,
(2.16a)
δ̄τai = −T̄ab D̂i ξ b − r 2 P̄ Da (r −2 ξi),
(2.16b)
δ̄τij = −ξ a Da (r 2 P̄ )γij − P̄ (D̂i ξj + D̂j ξi )
(2.16c)
と表される.
目次へ
第 2 章 宇宙論
23 目次へ
ゲージ自由度を取り除く2つの方法
i) ゲージ固定法:この方法は直接的であるが,異なるゲージ固定で得られる変
数の間の関係を具体的に求めるのは一般にはやっかいである.
ii) ゲージ不変な変数を用いる方法:一般に,元の摂動変数によるゲージ不変量
の表式は非局所的となる.
これら2つのアプローチは数学的には同等で,ゲージ不変な変数は常にあるゲー
ジ条件での摂動変数と見なすことができる.したがって,ゲージ不変量に対する
表式が非局所的となることは,異なるゲージ固定で得られる摂動変数の間の対応
が非局所的であることを意味する.
2.2.3
テンソルの既約分解
計量の摂動
δḡM N = hM N (z).
(2.17)
物質の摂動
δ T̄ab = τab (z), δ T̄ia = τia (z), δ T̄ji = τji (z).
(2.18)
テンソル型
i) 空間的スカラ: hab , τab
ii) 空間的ベクトル: hai , τia
iii) 空間的テンソル: hij , τji
ベクトルの既約分解
: D̂ を K 上の共変微分として
(t)
vi = D̂i v (s) + vi ;
(2.19a)
(t)i
D̂i v = 0,
ˆ (s) = D̂i v i .
v
テンソルの既約分解
t=
tii ,
(2.19c)
:
1
tgij + D̂i D̂j s −
n
(tt)i
D̂i ti = 0, ti = 0,
tij =
(2.19b)
1ˆ
(tt)
sgij + D̂i tj + D̂j ti + tij ;
n
(tt)i
D̂i tj = 0,
n
1
ij
ˆ ,
ˆ ˆ + nK)s =
(
D̂i D̂j t − t
n−1
n
ˆ + (n − 1)K]ti = (δ i − D̂ i ˆ −1 D̂j )(D̂m tjm − n−1 D̂ j t).
[
j
(2.20a)
(2.20b)
(2.20c)
(2.20d)
(2.20e)
目次へ
第 2 章 宇宙論
既約タイプ
24 目次へ
:
ˆ ij .
i) スカラ型: v i = D̂ i v (s) , tij = n1 tgij + D̂i D̂j s − n1 sg
(t)
ii) ベクトル型: v = vi , t = D̂i tj + D̂j ti .
(tt)i
iii) テンソル型: v i = 0, tij = tj
.
今考えている K が一様等方な場合には,計量テンソル γij を除くと背景場にベク
トル型やテンソル型の量が存在しないので,異なる既約テンソルタイプの変数は
Einstein 方程式の線形化された式において互いに相互作用しない.
テンソル型摂動
2.2.4
Tensor Harmonics :
ˆ + k 2 )Tij = 0;
(
Tii = 0,
この定義より
2
ˆ
k (T, T) = −(T, T)
=
Σ
D̂j Tji = 0.
√
dxn γ D̂i T̄jk D̂ i Tjk .
(2.21)
(2.22)
および
D̂k Tij = 0 ⇒
0 = D̂ i D̂k Tij = nKTjk .
(2.23)
が成り立つ.したがって,k のスペクトルは k 2 > 0 となる(K = 0 のとき k = 0
のモードは L2 の意味で規格化可能でない).
Harmonic expansion : Tensor harmonics を用いて,計量とエネルギー運動量
テンソルのテンソル型摂動は,次のように展開される:
hab = 0,
hai = 0,
hij = 2r 2 HT Tij ,
τab = 0, τia = 0, τji = τT Tij ,
(2.24)
(2.25)
ゲージ不変量 : 座標変換はテンソル型の成分を持たないので,摂動変数 HT と τT
はそのままでゲージ不変である:
ξ M = δ̄z M = 0;
(2.26a)
δ̄HT = 0, δ̄τT = 0.
(2.26b)
Einstein 方程式 : (i, j)-成分のみがテンソル成分を持つ:
−HT −
n
k 2 + 2K
Dr · DHT +
HT = κ̄2 τT .
r
r2
(2.27)
ここで, = D a Da は m 次元時空 N 上の D’Alembertian である.
目次へ
第 2 章 宇宙論
25 目次へ
RW 宇宙でのテンソル型摂動 :
ds2 = −dt2 + a2 (t)dσn2 .
(2.28)
より,r = a(t). τT = 0 の場合には
ȧ
k 2 + 2K
ḦT + n ḢT +
HT = 0.
a
a2
関係式
ä
2 + (n − 2 + nw)
a
(2.29)
2
ȧ
K
+ 2 = 0; w = P/ρ,
a
a
(2.30)
を用いると,この式は次のように書き換えられる.
2
n/2 ..
k 2 + 2K n2 w ȧ
n(n − 2 + nw)K n/2 a HT +
a HT = 0.
+
+
a2
4
a
4a2
(2.31)
したがって,HT は,k/a, |K|/a ȧ/a となる superhorizon モードに対して,
dt
,
(2.32)
HT A + B
an
subhorizon モードに対して
−(n−1)/2
HT a
(C cos Ω + D sin Ω); Ω = k
dt
.
a
(2.33)
と振る舞う.
2.2.5
ベクトル型摂動
ベクトル型 harmonics
:
Harmonic vector:
ˆ + k 2 )Vi = 0;
(
D̂i Vi = 0.
(2.34)
Harmonic tensor:
1
Vij = − (D̂i Vj + D̂j Vi );
2k
2
ˆ
+ k − (n + 1)K Vij = 0,
Vii = 0,
D̂j Vji =
k 2 − (n − 1)K
Vi .
2k
(2.35)
(2.36)
(2.37)
k のスペクトルは k 2 > 0 となる (K = 0 に対する k = 0-モードは規格化不可).た
だし,次の固有値に対する調和ベクトル場 Vi は Killing ベクトルと一致し,例外
的である.
k 2 = (n − 1)K > 0 ⇒
Vij ≡ 0.
(2.38)
目次へ
第 2 章 宇宙論
26 目次へ
Harmonic expansion : 計量およびエネルギー運動量テンソルのベクトル型摂
動は次のように展開される:
hai = rfa Vi ,
hab = 0,
hij = 2r 2 HT Vij ,
τab = 0, τia = rτa Vi , τji = τT Vij .
ゲージ不変量
(2.39)
(2.40)
:ベクトル型摂動量のゲージ変換は
ξa = 0, ξi = rLVi ;
L
k
, δ̄HT = L, δ̄τa = 0, δ̄τT = 0.
δ̄fa = −rDa
r
r
(2.41)
(2.42)
で与えられるので,基本ゲージ不変量は次のようになる:
r
τa , τT , Fa = fa + Da HT
k
fb
fa
(1)
exceptional modes: τa , Fab = rDa
− rDb
r
r
generic modes:
(2.43)
(2.44)
Einstein 方程式 :
Generic modes :
k 2 − (n − 1)K
Fa
Fb
1
b
n+2
2
−
D
−
r
D
D
Fa = −2κ̄
(2.45a)
τa ,
b
a
r n+1
r
r
r2
k
Da (r n−1 F a ) = −κ̄2 τT .
(2.45b)
rn
Exceptional modes : k 2 = (n − 1)K > 0.
1
r n+1
D
b
r
n+1
(1)
Fab
= −2κ̄2 τa .
(2.46)
RW 宇宙でのベクトル型摂動 :
(ρ + P )V = −τt , σg = Ft , πT = τT ,
(2.47)
とおくと,Einstein 方程式は
2κ̄2 a2 (ρ + P )V = −[k 2 − (n − 1)K]σg ,
.
k(an−1 V ) = κ̄2 an πT .
(2.48a)
(2.48b)
と表される.したがって,RW 宇宙におけるベクトル型摂動は,非等方圧力摂動
πT による生成が起きないときには,常に宇宙膨張に伴って急速に減衰する.
目次へ
第 2 章 宇宙論
2.2.6
27 目次へ
スカラ型摂動
スカラ型 Harmonics
:
ˆ + k 2 )S = 0.
(
(2.49)
Harmonic vector:
1
Si = − D̂i S,
k
2
ˆ
[ + k − (n − 1)K]Si = 0,
(2.51)
D̂i Si = kS.
(2.52)
(2.50)
Harmonic tensor:
1
1
D̂i D̂j S + γij S,
2
k
n
n
− 1 k 2 − nK
Si ,
Sii = 0, D̂j Sji =
n
k
ˆ + k 2 − 2nK]Sij = 0.
[
Sij =
(2.53)
(2.54)
(2.55)
k のスペクトルは次のようになる:
i) K ≤ 0: k 2 > 0 (k = 0-mode for K = 0 is unnormalizable).
ii) K > 0: k ≥ 0.
また,K > 0 (k 2 = l(l + n − 1)K) に対しては次の例外モードが存在する:
i) k = 0 (l = 0) : Si ≡ 0, Sij ≡ 0.
ii) k 2 = nK (l = 1): Sij ≡ 0.
Harmonic expansion :計量テンソルとエネルギー運動量テンソルに対するス
カラ型摂動は次のように展開される:
hab = fab S, hai = rfa Si , hij = 2r 2 (HL γij S + HT Sij ),
(2.56)
τab = τab S, τia = rτa Si , τji = δ P̄ δji S + τT Sij .
(2.57)
ゲージ不変量 : スカラ型摂動変数の一般モード (k 2 (k 2 − nK) > 0) に対するゲー
ジ変換は次のようになる:
ξa = Ta S, ξi = rLSi ;
(2.58)
目次へ
第 2 章 宇宙論
δ̄fab = −Da Tb − Db Ta ,
L
k
δ̄fa = −rDa
+ Ta ,
r
r
a
D r
k
Ta ,
δ̄HL = − L −
nr
r
k
δ̄HT = L,
r
δ̄τab = −T c Dc T̄ab − T̄ac Db T c − T̄bc Da T c ,
k
δ̄τa = (T̄ab T b − P̄ Ta ),
r
δ̄(δ P̄ ) = −T a Da P̄ ,
δ̄τT = 0.
28 目次へ
(2.59a)
(2.59b)
(2.59c)
(2.59d)
(2.59e)
(2.59f)
(2.59g)
(2.59h)
これより,
δ̄Xa = Ta ;
r
r
Xa =
fa + Da HT .
k
k
したがって,基本ゲージ不変量は,τT および
1
1
F = HL + HT + D a rXa ,
n
r
Fab = fab + Da Xb + Db Xa ,
Σab = τab + T̄bc Da Xc + T̄ac Db Xc + X c Dc T̄ab ,
k
Σa = τa − (T̄ab Xb − P̄ Xa ),
r
Σ = δ P̄ + X a Da P̄ .
(2.60)
(2.61)
(2.62a)
(2.62b)
(2.62c)
(2.62d)
(2.62e)
で与えられる.
Einstein 方程式
δGab :
−Fab + Da Dc Fbc + Db Dc Fac
Dc r
+n
(−Dc Fab + Da Fcb + Db Fca ) + mRac Fcb
r
2
k
m c
m
cd
+ Rb Fca − 2 Racbd F +
− R̄ + 2Λ̄ Fab
r2
1
1
c
−Da Db Fc − 2n Da Db F + Da rDb F + Db rDa F
r
r
2n
− Dc Dd F cd + D c rD dFcd
r
2n c d
n(n − 1) c d
m cd
+ − R + D D r+
D rD r Fcd
r
r2
k 2 − nK
2n(n + 1)
Dr · DF + 2(n − 1)
−2nF −
F
r
r2
n
k2 c
c
c
−Fc − Dr · DFc + 2 Fc gab = 2κ̄2 Σab ,
r
r
(2.63)
目次へ
第 2 章 宇宙論
29 目次へ
δGai :
1 b
k
1
n−2 b
F + 2(n − 1)Da F
− n−2 Db (r Fa ) + rDa
r
r
r b
= 2κ̄2 Σa ,
(2.64)
Trace-free part of δGij :
−
k2
[2(n − 2)F + Faa ] = κ̄2 τT ,
2r 2
(2.65)
δGii :
1
1
n−1 a b
ab
− D a Db F −
D rD Fab + mRab
2
r
2
(n − 1)(n − 2) a b
DaDbr
−
D rD r − (n − 1)
Fab
2r 2
r
1
n−1
n − 1 k2 c
+ Fcc +
F
Dr · DFcc −
2
2r
2n r 2 c
n(n − 1)
+(n − 1)F +
Dr · DF
r
(n − 1)(n − 2) k 2 − nK
F = κ̄2 Σ.
−
n
r2
(2.66)
例外モード k 2 = nK > 0 に対しては,第3式は存在せず, またモード k 2 = 0 に
対しては第2式と第3式が存在しない.他の方程式はそのままで成立するが,上
記の変数はゲージ不変ではない.
エネルギー運動量保存則
:
¯ M T̄ M ) = 0:
δ(∇
i
k
n − 1 k 2 − nK
n+1 a
D
(r
Σ
)
−
Σ
+
τT
a
r n+1
r
n
kr
k
+ (T̄ ab Fab − P̄ Faa ) = 0.
2r
1
(2.67)
¯ M T̄ M ) = 0:
δ(∇
a
k
Da r
1
Σ
Db r n (Σba − T̄ac Fcb ) + Σa − n
n
r
r
r
1 b
+T̄ab Db F − P̄ Da F +
T̄a Db Fcc − T̄ bc Da Fbc = 0.
2
(2.68)
これらの方程式が成り立つという条件下で,Einstein 方程式の第4式は残りの式
の線形結合となる.さらに,Einstein 方程式の第2式と第3式が成り立つことを
要求すると,第1式のうち m(m − 1)/2 個の成分のみが独立となる.ただし,具体
的にそれらの独立な成分を取り出すことは一般には難しい.
目次へ
第 2 章 宇宙論
2.2.7
30 目次へ
長波長極限
単純に考えると,長波長極限におけるゆらぎは,背景時空の一様な摂動により
記述されると思われる.しかし,空間的に一様な背景時空の力学的自由度は,一
般に k = 0 のゆらぎの力学的自由度より小さい.これは,長波長極限でのゆらぎ
と背景時空の一様な摂動とが一対一に対応していないことを意味している.
Longitudinal gauge : この対応を見るためには,
fa = 0, HT = 0,
(2.69)
で定義される longitudinal ゲージを用いるのが便利である.その理由は,一様摂
動,すなわち k = 0 の摂動モードがこの条件を満たしているからである.一様摂
動に対しては,さらに
τa = 0
(2.70)
が成り立つ.Longitudinal ゲージは,k = 0 のモードに対して,ゲージを完全に固
定し,基本ゲージ不変量は摂動変数により次のように表される.
F = HL , Fab = fab ,
(2.71a)
Σab = τab , Σa = τa , Σ = δ P̄ .
(2.71b)
これらの変数で表すと,摂動方程式 Eqs.(2.63)-(2.66) に現れる k はすべて正のべ
きを持つ.したがって,これらの方程式に対する任意の解の k → 0 極限は,同じ
極限において Σa が
Σa = O(k)
(2.72)
と振る舞い,かつ他の変数が有限な極限を持つ場合には,背景時空の一様等方な
摂動に対する方程式の解を与える.
微妙な点
:
1) (2.64) と (2.65) は k = 0 モードに対しては存在しない.したがって,k → 0
極限は,k = 0 モードに対する方程式に加えて,つぎの2つの方程式を満た
さねばならない.
−
1
r n−2
Db (r
n−2
Fab )
+ rDa
Fbb
r
+ 2(n − 1)Da F = 2r n−2 ζa ;
rΣa
,
k→0 k
τT
2(n − 2)F + Faa = −2r 2 κ̄2 lim 2 .
k→0 k
ζa = κ̄2 lim
(2.73a)
(2.73b)
目次へ
第 2 章 宇宙論
31 目次へ
2) k = 0 モードに対して,F, Fab , Σab および Σ は個別にはゲージ不変ではなく,
次のゲージ自由度を持つ:
δ̄Fab = −Da Tb − Da Tb ,
Da r a
T ,
δ̄F = −
r
δ̄Σab = −T a Dc T̄ab − T̄ac Db T c − T̄bc Da T c .
(2.74b)
δ̄Σ = −T a Da P̄ .
(2.74d)
(2.74a)
(2.74c)
k = 0 摂動モードに対するゲージ条件 : 以後,
τT = 0.
(2.75)
を仮定する.この仮定の下で,条件 (2.73b) は
2(n − 2)F + Faa = 0.
(2.76)
と表される.ゲージ変換則
δ̄[2(n − 2)F + Faa ] = −
2
r n−2
Da (r n−2 T a ),
(2.77)
より,条件 (2.76) を k = 0 摂動に対するゲージ条件として課すことができる.こ
のとき,条件 (2.73a) は
−Db (r n−2 Fab ) + 2Da (r n−2 F ) = 2r n−2ζa .
(2.78)
と表される.
力学的自由度 : Σa が流体の速度などのベクトル型の独立な力学自由度に対応す
る場合には,(2.78) は単に,k → 0 極限における Σa の振る舞いを k = 0 モードの変
数で表す式となる.したがって,ゲージ条件 (2.76) を満たす各 k = 0 摂動は,k = 0
モードに対する摂動方程式の解の k → 0 極限を与える.特に,(2.76) を保つ k = 0
摂動に対するゲージ自由度 T a は,k → 0 極限でのゲージ不変な力学自由度の一部
と対応する.この自由度の数は m − 1 となる.Da (r n−1 ζ a) は有限で,Bianchi 恒等
式(ないしエネルギー運動量保存則)より k = 0 モードに対する摂動変数で表さ
れるので,m − 1 はちょうど ζa のうち k = 0 モードの変数で決まらない自由度の
数と一致する.これに対して,物質がスカラ場からなる場合のように,Σa が有限
な k → 0 極限を持つ他の変数で完全に表される場合には,(2.78) は k = 0 摂動に
対する付加的な条件となる.
2.2.8
RW 宇宙でのスカラ型摂動
スカラ型摂動
:
i
ds2 = −(1 + 2αS)dt2 − 2aβSi dtdxi + a2 [γij + 2HL Sγij + 2HT Sij ]dx(2.79)
dxj ,
δTtt = −δρS, δTit = (ρ + P )(v − β)Si , δTji = δP Sδji + πT Sij .
(2.80)
目次へ
第 2 章 宇宙論
一般公式との対応
32 目次へ
:
r = a,
(2.81a)
ftt = −2α, ft = −β,
(2.81b)
τtt = δρ + 2αρ, τ = −(ρ + p)(v − β), τT = πT ,
(2.81c)
t
a
a
σg ; σg = −β + ḢT ,
k
k
ȧ
1
F = R − σg = Φ; R = HL + HT ,
k
n
a .
t
Ft = 2α − 2 σg = 2Ψ,
k
Σtt = ρ∆s + 2ρΨ,
a t
Σ = (ρ + P ) v − ḢT = (ρ + P )V,
k
Σ = Γ + c2s ρ∆s ,
Xt =
(2.82a)
(2.82b)
(2.82c)
(2.82d)
(2.82e)
(2.82f)
ここで
a
ρ∆s = δρ − σg ρ̇,
k
Γ = δP − c2s δρ.
(2.83)
(2.84)
Einstein 方程式は次のようになる.
(tt)-component:
k 2 − nK
ȧ
n Φ̇ +
Φ−n
a
a2
2
ȧ
κ2
ρ∆s .
Ψ=
a
n−1
(ti)-component:
ȧ
κ2
k
Φ̇ − Ψ = −
(ρ + P )V.
a
a
n−1
(2.85)
(2.86)
(ij)-component:
2
n − 2 k − nK
k
ȧ
ä
ȧ
Φ+
− (n − 2)
−2 Ψ
Φ̈ + n Φ̇ +
2
2
a
n
a
na
a
a
2
=
κ2
(Γ + c2s ρ∆s ),
n−1
(n − 2)Φ + Ψ = −
a2 2
κ πT .
k2
2
(2.87)
(2.88)
(2.85)-(2.86) は Poisson 方程式を与える:
κ2
k 2 − nK
Φ
=
ρ∆.
a2
n−1
(2.89)
目次へ
第 2 章 宇宙論
33 目次へ
ここで,
ȧ
a
ρ∆ = ρ∆s + n(ρ + P ) V = δρ − ρ̇(v − β).
k
k
(2.90)
これらの方程式は,密度および速度の摂動に対する閉じた発展方程式を与える:
(an ρ∆). = −CK an−1 k(ρ + P )V − (n − 1)CK an−1 ȧπT ,
n−1
(ρ + P )(aV ). = k(c2s ρ∆ + Γ) + k(ρ + P )Ψ − kCK
πT .
n
(2.91a)
(2.91b)
ここで,CK = 1 − nK/k 2 である.また,Ψ は (2.88)-(2.90) を用いると ρ∆ により
表される.
2.2.9
断熱モード
∆ の方程式 :
2
2
k
κ
(ρ
+
P
)
f
d2
1
n
−
2
aa
(f an ρ∆) + 2 CK c2s
−
− a2
(f an ρ∆) = 0.
da2
a
aH
n−1
H2
f
(2.92)
ここで,
f=
H
n−3
a (ρ + P )
1/2
.
(2.93)
Subhorizon scale の摂動 : cs k/aH 1, cs k K のとき,WKB 近似を適用
して,
−1/2
kcs
cs k
n
(2.94)
f a ρ∆ ∼
exp i da 2
2
aH
aH
より,
1+w
∆
c an+1 ρ
s
dt
cs .
θ=k
a
1/2
(A cos θ + B sin θ);
(2.95)
(2.96)
たとえば,物質が輻射とダストからなるとき,
• 輻射優勢時:w c2s = 1/n, ρ ∝ 1/an+1 ⇒
∆ の振幅は一定.
• 物質優勢時 (decoupling の前):w, c2s ∝ 1/a, ρ ∝ 1/an ⇒
∆ の振幅 ∝ 1/a1/4 .
• 物質優勢時 (decouplin の後): ∆ ∝ an−2 .
• 曲率優勢時: ∆ は一定.
目次へ
第 2 章 宇宙論
34 目次へ
曲率優勢時の振る舞い
H2 −
K
,
a2
: w = c2s = 0, K < 0 のもとで,曲率優勢時には
f ∝a
(2.97)
より,
d2
(f an ρ∆) 0.
da2
(2.98)
よって,
∆ C1 +
C2
.
a
(2.99)
Superhorizon scale の摂動 : |K|/(H 2a2 ) 1, k |K|, πT = 0 を仮定.この
とき,
A := A − (R/H). = Ψ − (Φ/H). ,
aH
aH
(v − B) = Φ −
V
Z := R −
k
k
(2.100)
(2.101)
とおくと,摂動方程式より
n
A = − (1 + w)Z,
2
2
Ż
k
Γ
2c2s
Φ−
=−
H
n(1 + w) aH
ρ+P
(2.102)
(2.103)
を得る.これより,Γ = O(∆) = O((k 2 /a2 )Φ) を仮定すると,
2
Ż
2 k
= O cs 2 2
H
aH
(2.104)
となる.これより,superhorizon scale c2s (k/aH)2 1 では,Z は定数となる.一
方,Ψ = −(n − 2)Φ と A の定義より,
n−2 .
a Φ
1
A = − n−2
.
(2.105)
a
H
これを Φ について解くと,
H
n
n−2
Φ = n−2 C +
dt(1 + w)a Z .
a
2
(2.106)
また,
1
∆=
n
k
aH
2
Φ,
n
Ḣ = − (1 + w)H 2
2
V =−
k
(Z − Φ).
aH
(2.107)
(2.108)
目次へ
第 2 章 宇宙論
35 目次へ
を用いると,これらの表式は次のように書き換えられる:
an−3
H
H
Φ C n−2 + Z 1 − (n − 2) n−2 da
,
a
a
H
2 k
1
H
an−3
k2
+
Z 1 − (n − 2) n−2 da
∆C
,
nHan n aH
a
H
k
an−3
k
.
V C n−1 − (n − 2)Z n−1 da
a H
a
H
(2.109a)
(2.109b)
(2.109c)
たとえば,w = 一定とすると,
ρ ∝ a−n(1+w) ⇒
および
da
H ∝ a−n(1+w)/2
(2.110)
2
an−2
an−3
=
H
n(3 + w) − 4 H
(2.111)
より,
H
n(1 + w)
Z,
+
an−2 n(3 + w) − 4
2
1+w
k
k2
∆C n +
Z,
na H n(3 + w) − 4 aH
2(n − 2)
k
k
Z
V C n−1 −
a H n(3 + w) − 4 aH
ΦC
(2.112a)
(2.112b)
(2.112c)
を得る.
2.2.10
n の固有値
K = 1 のとき,S n の Laplaciann は
d
1
d
1
n−1
n−1
n =
χ
sin
+
n−1
dχ
sin
χ dχ
sin2 χ
2
1
d
2 d
= (1 − x ) 2 − nx +
n−1 .
dx
dx 1 − x2
(2.113)
ここで,x = cos χ.したがって,固有値方程式 n u = −λn u は
2
du
λn−1
2 d u
(1 − x ) 2 − nx + λn −
u = 0.
dx
dx
1 − x2
(2.114)
この解は,
2 − n−2
+µ
4
2
u = (1−x )
AF
ν+µ+1 µ−ν 1 2
,
, ;x
2
2
2
+ BxF
µ−ν
3
ν +µ
+ 1,
+ 1, ; x2
2
2
2
(2.115)
目次へ
.
第 2 章 宇宙論
36 目次へ
ここで,
2
n−2
µ = λn−1 +
,
2
n(n − 2)
λn = ν(ν + 1) −
.
4
2
(2.116)
(2.117)
この解に現れる超幾何関数 F (α, β, γ; z) に対して,α + β − γ = µ > 0 より,
z→1:
F ∼
1
Γ(µ)Γ(γ)
.
Γ(α)Γ(β) (1 − z)µ
(2.118)
ここで,u のノルムは
2
u = dχ sinn−1 χ|u|2
(2.119)
となるので,n の自己共役性より
x → ±1 :
sinn−1 χu
du
→0⇒
dχ
(1 − x2 )
n−2
4
u → 0.
(2.120)
したがって,上記の解が固有関数となるのは,α ないし β が Γ 関数の極となって
いるとき.これより,
ν =µ+m:
m = 0, 1, 2, · · ·
(2.121)
を得る.すなわち,
λn = (µ + m)(µ + m + 1) −
n(n − 2)
2
(2.122)
となる.これを帰納的に解くと,
λn = ln (ln + n − 1),
n−2
,
µ = ln−1 +
2
ln = ln−1 + m : m = 0, 1, · · ·
(2.123a)
(2.123b)
(2.123c)
を得る.
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第 2 章 宇宙論
37 目次へ
§2.3
非等方一様宇宙モデル
2.3.1
変換群
【定義 2.3.1】 群 G の各元 g に空間 X の変換 Lg が対応していて
La ◦ Lb = Lab , ∀a, b ∈ G
(2.1a)
Le = idX
(2.1b)
が成り立つとき,G ないし {Lg | g ∈ G} を X の (左) 変換群といい,G X
と表す.特に,G が位相群で写像
F : G × X → X; (g, x) → Lg (x)
(2.2)
が連続であるとき (左) 位相変換群,G が Lie 群,X が多様体で F がなめら
かであるとき (左)Lie 変換群という.
同様に G g と X の変換 Rg の対応が
Ra ◦ Rb = Rba , ∀a, b ∈ G
(2.3a)
Re = idX
(2.3b)
を満たすとき,G は X の右変換群とよび,X G と表す.
【定義 2.3.2】 変換群 G X と点 p ∈ X に対して,p を含む X の部分集合
Op = {Lg (p) | g ∈ G}
(2.4)
を,p を含む軌道という.また,p を動かさない変換の集合
Hp = {g ∈ G | Lg (p) = p}
(2.5)
は G の部分群をなし,p の等方群という.同じ軌道上の2点に対する等方群
は同型で互いに共役である.特に,すべての点に対して等方群が自明となる
とき G は X に自由に作用するという.また,X が一つの軌道と一致すると
き,すなわち,X の任意の2点が G の変換により互いに結ばれるとき,G は
推移的に作用するという.さらに,G が自由かつ推移的に作用するとき単純
推移的に作用するともいう.
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第 2 章 宇宙論
38 目次へ
無限小変換群 : G を多様体 M の Lie 変換群,G の1次元部分群 {g(t) | t ∈ R}
(g(t)g(s) = g(t + s), g(0) = e)とする.Φt = Lg(t) に対して,ベクトル場
dΦµt (p) µ
X (p) =
(2.6)
dt t=0
を Φt の無限小変換という.G の無限小変換全体は交換子に関して Lie 代数をなす.
a
すなわち,その基底を ξa とするとき,適当な定数の組 Cbc
に対して
[ξa , ξb ] = C c ab ξc
(2.7)
が成り立つ.この定数の組は変換群 G の構造定数と呼ばれる.
2.3.2
等長変換群と不変基底
不変基底 : Lie 群 G が n 次元多様体 M に単純推移的に作用しているとする.こ
のとき dim G = n となり,M 上の基底 Xa で
(Lg )∗ XI = XI , ∀g ∈ G
(2.8)
を満たすものが存在する.このような基底は不変基底と呼ばれる.G の構造定数
を C c ab とするとき,適当な不変基底に対して
[Xa , Xb ] = −C c ab Xc
(2.9)
が成り立つ.Xa の双対基底 χa も G の作用で不変となる:
(Lg )∗ χa = χa .
(2.10)
この基底は不変双対基底と呼ばれる.不変双対基底は次の Mauer-Cartan 方程式
を満たす:
1
dχa = C a bc χb ∧ χc .
2
(2.11)
等長変換 : Riemann 多様体 (M , g) の変換 Φ が計量を不変にする,すなわち Φ∗ g =
g が成り立つとき等長変換,等長変換全体の作る群は等長変換群と呼ばれる.等長
変換群は Isom(M , g) と表記される.等長変換群の無限小変換 ξ は Killing ベクト
ルと呼ばれ,次の Killing 方程式を満たす:
∇µ ξν + ∇ν ξµ = 0.
(2.12)
特に,等長変換群が M に単純推移的に作用する部分群 G を持つとき,計量 g は
不変基底 χa と定数行列 gab を用いて
ds2 = gab χa χb
(2.13)
と表される.
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第 2 章 宇宙論
39 目次へ
【公式 2.3.3】 等長変換群 G が (M, g) に推移的に作用しているとき、不変基底 Xa , χa に関
する接続係数と曲率テンソルの成分は、G の構造定数 C a bc を用いて、
1
ω a bc = (C a bc + Cbc a + Ccb a ),
2
a
Rbcd
= ω a bp C p cd + ω a pc ω p bd − ω a pd ω p bc ,
1
1
Rab = − C p qa C q pb − C pq a Cpqb
2
2
1
1
+ Capq Cb pq + Cp (Cab p + Cba p ),
4
2
1 pqr
1 pqr
R = − C Cqpr − C Cpqr − Cp C p
2
4
と表わされる。ここで、Ca = C p ap である。また、添え字の上げ下げは χa に関
する計量の成分 gab とその逆行列により行なうものとする。
2.3.3
基礎方程式
【定義 2.3.4】 連結な時空 (M , g) に対して,等長変換群の部分群 G が存在し
て G の各軌道が空間的超曲面となるとき,(M , g) は空間的に一様であると
いう.特に,G として単純推移的に作用するものが存在するとき,Bianchi
時空という.
時空計量とエネルギー運動量テンソル : 一つの G 軌道を Σ とするとき,時空 M
は Σ × R と同相となり,任意の軌道は Σt = Σ × t と表される.Σ 上の不変基底を
XI ,その双対基底を χI とすると,
ds2 = −N 2 dt2 + QIJ (χI + B I dt)(χJ + B J dt)
(2.14)
と表される.ここで,N, B I , QIJ は t のみの関数である.各 Σt 上の空間座標を適
当に取り替えることにより,常に BI = 0 とすることができる.また,t の再定義
により N = 1 とできる.そこで,以下 N = 1, BI = 0 とおく.このとき,エネル
ギー運動量テンソルは
T = T00 dt2 + T0I (dt ⊗ χI + χI ⊗ dt) + TIJ χI χJ .
(2.15)
と表される.ここで Tab は時間 t のみの関数である.
拘束条件
:
1
KIJ = − Q̇IJ = −(σIJ + QIJ H); σII = 0
2
(2.16)
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第 2 章 宇宙論
40 目次へ
とおくと,
d
R
2κ2
σ2
T00 +
−
,
d(d − 1)
d
d(d − 1)
CK σIK + C J KI σJK = −κ2 T0I .
H2 =
(2.17a)
(2.17b)
ここで,
1
σI σJ ,
(2.18)
d−1 J I
1
1
d
R = − C I JK C J IL QKL − QIJ C I KM C J LN QKL QM N − QIJ CI CJ .(2.19)
2
4
σ2 =
発展方程式
:
Ḣ + H 2 = −
d−1 2
κ2
(d − 2)T00 + QIJ TIJ ,
σ −
d
d(d − 1)
σ̇JI = −dσJI − dR̂JI + κ2 QIK T̂KJ .
(2.20a)
(2.20b)
ここで,
d I
R̂J
= dRJI −
d
R I
δ ,
d J
T̂JI = QIK TKJ −
QKLTKL I
δJ .
d
(2.21)
また,
1
1
RIJ = − C K LI C L KJ − QKLQM N C K M I C L N J
2
2
1
P
+ QIP QJQ C KM C Q LN QKL QM N
4
1
+ CL (QIK C K JM + QJK C K IM )QLM .
2
d
エネルギー運動量保存則
:
Ṫ00 = −H(dT00 + QIJ TIJ ) − T̂IJ σ IJ +
2.3.4
(2.22)
1 CI CJ + QIK C K JM QM L CL σ IJ .
κ2
(2.23)
一般的性質
体積特異点
:
H = ȧ/a
(2.24)
とおくと,
Ḣ + H 2 = ä/a
(2.25)
より,
(d − 2)T00 + QIJ TIJ ≥ 0
(2.26)
が常に満たされ,ある時刻 t = t0 で H > 0 なら,必ず過去の有限な時刻で a = 0
となる.体積特異点は曲率特異点とは限らない (Kasner 時空の例参照).
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第 2 章 宇宙論
2.3.5
41 目次へ
Bianchi types
3 次元 Lie 代数
[ξI , ξJ ] = C K IJ ξK
(I, J, K = 1, 2, 3).
Jacobi 恒等式 : [[ξI , ξJ ], ξK ] + [[ξJ , ξK ], ξI ] + [[ξK , ξI ], ξJ ] = 0
(2.27)
(2.28)
Adjoint 表現: Lie 代数 L
の自分自身の上への線形表現 Ad を
ad(ξ)η := [ξ, η]
(2.29)
により定義すると,Jacobi 恒等式は
[ad(ξI ), ad(ξJ )] = C K IJ ad(ξK )
(2.30)
と表される.この随伴表現は
Ad(ξI ) → C I ;
(C I )JK = C J IK .
(2.31)
と行列表示されるので,Jacobi 恒等式は構造定数に対する次の条件となる:
[C I , C J ] = C K IJ C K .
Ellis-MacCallum 表示
1 I JKL
C = N IL + ILM aM ; N IJ = N JI
2 JK
とおくと,C I JK は対称行列 N とベクトル a を用いて
I
C I JK = N IL LJK + aJ δK
− aK δJI
(2.32)
(2.33)
(2.34)
と表される.特に,
2aI = cI := C J IJ = TrC I
(2.35)
となる.また,Jacobi 恒等式は
Na = 0
(2.36)
と表される.
基底の変換
ξI → ξJ TIJ
(2.37)
に対して,N と a は次のように変換する:
N → (det T )T −1 NT −1T ,
a → T T a.
(2.38)
(2.39)
【定理 2.3.5 (Bianchi 型)】 [Bianchi,Ellis-MacCallum] 3次元実リー代数は、
ベクトル a の大きさ A = (aI aI )1/2 と行列 N の3つの固有値 N1 , N2 , N3 によ
り、表 2.1 に示した I ∼ IX までの9つの方に分類される。任意の3次元リー
代数はこのいずれかと同型である。
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第 2 章 宇宙論
Class
Type
I
II
A
N1
N2
N3
0
0
0
0
0
1
0
0
42 目次へ
G3 A
VI0 VII0
0
0
-1
1
0
0
1
1
VIII IX
0
-1
1
1
0
1
1
1
V
IV
1
0
0
0
1
0
0
1
G3 B
III
VIh
h = −1
√
1
−h
0
0
-1
-1
1
1
VIIh
√
h
0
1
1
表 2.1: 3次元リー代数の分類
2.3.6
厳密解
対角化可能性 : Bianchi タイプ I, II, V, VI0 , VIII, IX の真空解の計量は常に対角
化可能である.
Type I
Einstein 方程式 : 理想流体に対して
κ2
σ2
ρ+ ,
3
3
I
I
σ̇J = −3HσJ ,
(2.40b)
ρ̇ = −3(ρ + P )H.
(2.40c)
H2 =
(2.40a)
これより,計量は常に対角化可能で,
ds2 = −dt2 + a2 b21 (dx1 )2 + b22 (dx2 )2 + b23 (dx3 )2 ,
2
Σ
κ
ρ + 6,
3
3a
Σ
I
σJI = 3 δJI ,
a
ΣI
ḃI
= 3
bI
a
H2 =
(2.41a)
2
が成り立つ.ここで,ΣI は定数,2Σ2 =
(2.41b)
(2.41c)
(2.41d)
I
Σ2I である.
Kasner 解 : Bianchi タイプ I の真空一般解は次の Kasner 解で与えられる.
ds2 = −dt2 + t2σ1 dx2 + t2σ2 dy 2 + t2σ3 dz 2 .
(2.42)
ここで,σI は次の2条件を満たす実数である.
σ1 + σ2 + σ3 = 1,
σ12 + σ22 + σ32 = 1.
(2.43)
ただし,
2
2
2 2
2 2
2 2
4
σ
+
σ
σ
+
σ
σ
)
4(σ
1
2
2
3
3
1
I σI (σI − 1)
Rabcd Rabcd =
+
(2.44)
t4
t4
より,σI の2つがゼロ,一つが 1 となる解は Minkowski 時空の一部と対応する
(Rindler 時空).その他の解は,t = 0 に曲率特異点をもつ.
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第 2 章 宇宙論
43 目次へ
I
Type I: CJK
=0
[ξI , ξJ ] = 0
ξ1 = ∂1 , ξ2 = ∂2 , ξ3 = ∂3
X1 = ∂1 , X2 = ∂2 , X3 = ∂3
χ1 = dx1 , χ2 = dx2 , χ3 = dx3
Type II: C 1 23 = −C 1 32 = 1
[ξ2 , ξ3 ] = ξ1 , [ξ1 , ξ2 ] = 0, [ξ1 , ξ3 ] = 0
ξ1 = ∂2 , ξ2 = ∂3 , ξ3 = ∂1 + x3 ∂2
X1 = ∂2 , X2 = x1 ∂2 + ∂3 , X3 = ∂1
χ1 = dx2 − x2 dx3 , χ2 = dx3 , χ3 = dx1
Type III: C 1 13 = −C 1 31 = 1
[ξ1 , ξ3 ] = ξ1 , [ξ1 , ξ2 ] = 0, [ξ2 , ξ3 ] = 0
ξ1 = ∂2 , ξ2 = ∂3 , ξ3 = ∂1 + x2 ∂2
1
X1 = ex ∂2 , X2 = ∂3 , X3 = ∂1
1
χ1 = e−x dx2 , χ2 = dx3 , χ3 = dx1
Type IV: C 1 13 = −C 1 31 = 1, C 1 23 = −C 1 32 = 1, C 2 23 = −C 2 32 = 1
[ξ1 , ξ3 ] = ξ1 , [ξ2 , ξ3 ] = ξ1 + ξ2 , [ξ1 , ξ2] = 0
ξ1 = ∂2 , ξ2 = ∂3 , ξ3 = ∂1 + (x2 + x3 )∂2 + x3 ∂3
1
1
X1 = ex ∂2 , X2 = ex (x1 ∂2 + ∂3 ), X3 = ∂1
1
1
χ1 = e−x (dx2 − x1 dx3 ), χ2 = e−x dx3 , χ3 = dx1
Type V: C 1 13 = −C 1 31 = 1, C 2 23 = −C 2 32 = 1.
[ξ1 , ξ3 ] = ξ1 , [ξ2 , ξ3 ] = ξ2 , [ξ1 , ξ2 ] = 0
ξ1 = ∂2 , ξ2 = ∂3 , ξ3 = ∂1 + x2 ∂2 + x3 ∂3
1
1
X1 = ex ∂2 , X2 = ex ∂3 , X3 = ∂1
1
1
χ1 = e−x dx2 , χ2 = e−x dx3 , χ3 = dx1
Type VIh : C 1 13 = −C 1 31 = 1, C 2 23 = −C 2 32 = q,
h = −(1 + q)2 /(1 − q)2 (q = 0, 1)
[ξ1 , ξ3 ] = ξ1 , [ξ2 , ξ3 ] = qξ2 , [ξ1 , ξ2 ] = 0
ξ1 = ∂2 , ξ2 = ∂3 , ξ3 = ∂1 + x2 ∂2 + qx3 ∂3
1
1
X1 = ex ∂2 , X2 = eqx ∂3 , X3 = ∂1
1
1
χ1 = e−x dx2 , χ2 = e−qx dx3 , χ3 = dx1
表 2.2: 3次元実リー群に対する対する不変基底と双対基底 (1)
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第 2 章 宇宙論
44 目次へ
Type VIIh : C 2 13 = −C 2 31 = 1, C 1 23 = −C 1 32 = −1, C 2 23 = −C 2 32 = q,
h = q 2 /(4 − q 2 ) (q 2 < 4)
[ξ1 , ξ3 ] = ξ2 , [ξ2 , ξ3 ] = −ξ1 + qξ2 , [ξ1 , ξ2 ] = 0
ξ1 = ∂2 , ξ2 = ∂3 , ξ3 = ∂1 − x3 ∂2 + (x2 + qx3 )∂3
X1 = (A + kB)∂2 − B∂3 , X2 = B∂2 + (A − kB)∂3 , X3 = ∂1
χ1 = (C − kD)dx2 − Ddx3 , χ2 = Ddx2 + (C + kD)dx3 , χ3 = dx1
1
1
A = ekx cos(ax1 ), B = −a−1 ekx sin(ax1 )
1
1
C = e−kx cos(ax1 ), B = −a−1 e−kx sin(ax1 )
k = q/2, a = (1 − k 2 )1/2 = (4 − q 2 )1/2 /2.
1
2
3
1
2
3
= C31
= C12
= 1, C23
= C13
= C21
= −1
Type VIII: C32
[ξ1 , ξ2 ] = ξ3 , [ξ2, ξ3 ] = −ξ1 , [ξ3 , ξ1 ] = ξ2
3
3
3
3
ξ1 = 12 e−x ∂1 + 12 (ex − (x2 )2 e−x )∂2 − x2 e−x ∂3 ,
ξ2 = ∂3 ,
3
3
3
3
ξ3 = 12 e−x ∂1 − 12 (ex + (x2 )2 e−x )∂2 − x2 e−x ∂3 ,
X1 = 12 (1 + (x1 )2 )∂1 + 12 (1 − 2x1 x2 )∂2 − x1 ∂3 ,
X2 = −x1 ∂1 + x2 ∂2 + ∂3 ,
X3 = 12 (1 − (x1 )2 )∂1 − 12 (1 − 2x1 x2 )∂2 + x1 ∂3 ,
χ1 = dx1 + (1 + (x1 )2 )dx2 + (x1 − x2 − (x1 )2 x2 )dx3 ,
χ2 = 2x1 dx2 + (1 − 2x1 x2 )dx3 ,
χ3 = dx1 + (−1 + (x1 )2 )dx2 + (x1 + x2 − (x1 )2 x2 )dx3 ,
1
2
3
1
2
3
= C31
= C12
= 1, C32
= C13
= C21
= −1
Type IX: C23
[ξ1 , ξ2 ] = ξ3 , [ξ2, ξ3 ] = ξ1 , [ξ3, ξ1 ] = ξ2
ξ1 = ∂2 ,
x2
ξ2 = cos x2 ∂1 − cot x1 sin x2 ∂2 + sin
∂,
sin x1 3
cos x2
2
1
2
ξ3 = − sin x ∂1 − cot x cos x ∂2 + sin x1 ∂3 ,
x3
X1 = − sin x3 ∂1 + cos
∂ − cot x1 cos x3 ∂3 ,
sin x1 2
x3
∂ − cot x1 sin x3 ∂3 ,
X2 = cos x3 ∂1 + sin
sin x1 2
X3 = ∂3 ,
χ1 = − sin x3 dx1 + sin x1 cos x3 dx2 ,
χ2 = cos x3 dx1 + sin x1 sin x3 dx2 ,
χ3 = cos x1 dx2 + dx3
表 2.3: 3次元実リー群に対する対する不変基底と双対基底 (2)
目次へ
第 2 章 宇宙論
45 目次へ
Λ = 0 : 真空で Λ = ±ω 2 /3 = 0 の時の一般解は,
√
3Σ
3
a(t) =
S(ωt),
q
ω
|C(ωt) − 1| I
2
,
bI (t) =
C(ωt) + 1
√
ΣI = 3qI Σ.
(2.45a)
(2.45b)
(2.45c)
ここで,Λ > のとき C(x) = cosh(x), S(x) = sinh(x),Λ < 0 のとき C(x) =
cos(x), S(x) = sin(x).また,qI は次の条件を満たす数の組:
I
qI = 0,
I
2
qI2 = .
3
dust 解 : P = 0 の時の一般解は,
−qI +1/3
B
2/3
aI := abI = t
,
A+
t
Σ2 = B 2 /3.
(2.46)
(2.47a)
(2.47b)
ここで,qI は上記と同じ条件を満たす数の組.
Type II
真空解
(Taube 1951): Type II の真空一般解は,
ds2 = −F −2 (χ1 )2 + F 2 e2At (χ2 )2 + e2Bt (χ3 )2 − e2(A+B)t dt2 ;
kF 2 = cosh(kt), 4AB = k 2 .
(2.48)
ここで A, B, k は定数,また
χ1 = dx − zdy, χ2 = dy, χ3 = dz.
(2.49)
Type V
真空解
(Joseph 1969): Type V の真空一般解は,
√
√
ds2 = sinh(2at) (χ1 )2 − dt2 + (tanh at) 3 (χ2 )2 + (tanh at)− 3 (χ3 )2 . (2.50)
ここで,
χ1 = dx, χ2 = ex dy, χ3 = ex dz.
(2.51)
目次へ
第 2 章 宇宙論
46 目次へ
Type IX
Taub-NUT 解 : 局所的に回転対称性をもつ Bianchi IX 型の真空解は
ds2 = −U −1 dt2 + (2l)2 U(dψ + cos θdφ)2 + (t2 + l2 )(dθ2 + sin2 θdφ2(2.52)
);
2
2
2mt + l − t
U=
(2.53)
t2 + l2
で与えられる.ここで,θ, φ, ψ は3次元球面の Euler 角,m, l(l = 0) は定数であ
る.この解の Killing ベクトルは,一様性を表す ξ1 , ξ2 , ξ3 と,局所回転対称性を表
す ∂ψ である.この解の計量は
U =0
⇔
t = t± = m ±
√
m2 + l2
(2.54)
で特異となるが,これは見かけの特異性で,時空はこの面を超えて解析接続でき
る.この拡張された時空では,t = t± の面は光的となり,t ≥ t+ ないし t ≤ t− で
は因果律が破れる.
目次へ
- 47-
目次へ
ブラックホール
3
§3.1
Weyl テンソルと Petrov タイプ
3.1.1
Weyl テンソル
Riemann 曲率テンソルを
µ
Rνλσ
= C µ νλσ +
2
2 µ
µ
+
R[λ gσ]ν − Rν[λ δσ]
δ µ gλ]ν R
n−2
(n − 1)(n − 2) [σ
(3.1)
µ
と分解して得られるテンソル Cνλσ
を Weyl テンソルという.Weyl テンソルは Weyl
変換で不変なテンソルで,Riemann テンソルと同じ対称性をもち,第1および第
2 Bianchi 恒等式を満たす上に,次の条件を満たす:
λ
Cµλν
= 0.
(3.2)
n = 3 のとき,Weyl テンソルは恒等的にゼロとなる.また,n > 3 のとき,Weyl
テンソルがゼロとなることと計量が共形的に平坦であることは同等である.
正規直交基底 θa に関する成分表示の元で,
R
a
a
a
δ θb
S := Rb −
(3.3)
2(n − 1) b
とおくと,Cab := (1/2)Cabcd θc ∧ θd は
C ab = R ab −
1
(S a ∧ θb − S b ∧ θa )
n−2
(3.4)
と表される.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
48 目次へ
Petrov タイプ
3.1.2
自己双対テンソル
: 一般に2階の反対称テンソル Aab に対して
1
Aab = (Aab + i ∗ Aab )
2
+
(3.5)
とおくと,
∗ ∗ Aab = −Aab
(3.6)
∗+Aab = −i+Aab .
(3.7)
より
特に,Weyl テンソルより
1
Cabcd = (Cabcd + i ∗ Cabcd )
2
+
(3.8)
とおくと,
ab pq Cpqcd = cd pq Cabpq
(3.9)
より,+Cabcd は (ab) および (cd) のいずれについても自己双対となる.さらに,
QIJ = −+C0I0J
(3.10)
とおくと,QIJ は対称な trace-free 行列となる.
自己双対基底
k=
: 正規直交基底 ea より null 基底 (k, l, m) を
e0 − e1
e2 − ie3
e0 + e1
√ , l= √ , m= √
2
2
2
(3.11)
により定義する:
l · l = k · k = m · m = 0, l · k = −1, m · m̄ = 1.
(3.12)
このとき,
∗(k ∧ l) = im ∧ m̄, ∗(k ∧ m) = −ik ∧ m, ∗(l ∧ m) = il ∧ m
(3.13)
より,
V := k ∧ m, U := −l ∧ m̄, W := −k ∧ l + m ∧ m̄
(3.14)
は自己双対2階反対称テンソルの複素基底となる.
U · U = V · V = U · W = V · W = 0, U · V = 2, W · W = −4.
(3.15)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
49 目次へ
したがって,+C は
+
C = Ψ0 U ⊗ U + Ψ1 (U ⊗ W + W ⊗ U)
+Ψ2 (V ⊗ U + U ⊗ V + W ⊗ W )
+Ψ3 (V ⊗ W + W ⊗ V ) + Ψ4 V ⊗ V
(3.16)
と展開される.Ψ0 ∼ Ψ4 は
Ψ0 = C(k, m, k, m), Ψ1 = C(k, l, k, m),
1
Ψ2 = (C(k, l, k, l) − C(k, l, m, m̄)),
2
Ψ3 = C(l, k, l, m̄), Ψ4 = C(l, m̄, l, m̄).
(3.17)
Chiral 2-form 基底を
i
:= θ0 ∧ θI − IJK θJ ∧ θK
2
+ 0I
Σ
とおくと、Weyl form の chiral combination
i
C0I := C0I + IJK CJK
2
+
は、Ψ0 ∼ Ψ4 を用いて一般に
C01 = 2Ψ2 +Σ01 + (Ψ3 − Ψ1 )+Σ02 − i(Ψ3 + Ψ1 )+Σ03 ,
(3.18a)
1
i
+
C02 = (Ψ3 − Ψ1 )+Σ01 + (Ψ0 + Ψ4 − 2Ψ2 )+Σ02 + (Ψ0 − Ψ4 )+Σ03 ,
2
2
(3.18b)
i
1
+
C03 = −i(Ψ3 + Ψ1 )+Σ01 + (Ψ0 − Ψ4 )+Σ02 − (Ψ0 + Ψ4 + 2Ψ2 )+Σ03
2
2
(3.18c)
+
と表される.
Petrov タイプ : 複素行列 Q の固有空間の構造に応じて,Weyl テンソルの Petrov
タイプが次のように定義される:
Petrov type 固有空間 Ψa の標準形
I
[1 1 1]
Ψ0 = Ψ4 = (λ2 − λ1 )/2
Ψ 1 = Ψ3 = 0
Ψ2 = (λ1 + λ2 )/2
D
[(1 1) 1] Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = Ψ4 = 0
Ψ2 = λ 2
II
[2 1]
Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = 0
Ψ2 = λ1 , Ψ4 = −2
N
[(2 1)]
Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ3 = 0
Ψ4 = −2
III
[3]
Ψ 0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ4 = 0
Ψ3 = −i
O
—
Ψ 0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ3 = Ψ4 = 0
目次へ
第 3 章 ブラックホール
光的ベクトルを用いた定式化
k, l, m :
50 目次へ
: Null tetrad
k 2 = l2 = m2 = k · m = 0, k · l = −1, m · m̄ = 1
(3.19)
を用いると,l の方向を保つローレンツ変換は
1
Λl = l,
a
Λk = a k + λ̄m̄ + λ̄(m + λl) ,
(3.20b)
Λm = eiθ (m + λl)
(3.20c)
(3.20a)
と表される.ここで,λ は任意の複素数,θ は任意の実数である.この変換に対し
て,Ψ0 は
Ψ0 = a2 e2iθ Ψ0 + 4Ψ1λ + 6Ψ2 λ2 + 4Ψ3 λ3 + Ψ4 λ4
(3.21)
と変換する.したがって,条件
k α k[µ Cν]αβ[λkσ] k β = 0
(3.22)
を満たす null vectork は,方程式
Ψ0 + 4Ψ1λ + 6Ψ2 λ2 + 4Ψ3 λ3 + Ψ4 λ4 = 0
(3.23)
の(λ = ∞)を含めた解と一対一に対応する.この方程式の解の縮退度と Petrov
タイプは次のように対応する:
I: (1,1,1,1), II: (2,1,1), D: (2,2), III: (3,1), N: (4)
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第 3 章 ブラックホール
51 目次へ
§3.2
球対称ブラックホール
定義 : 時空が n 次元等長変換群 G をもち,その軌道が m 次元の空間的面,時間
的面,光的面となるとき,それぞれ Gn (m, S) 型,Gn (m, T ) 型,Gn (m, N) 型の対
称性を持つという.
球対称時空
3.2.1
計量
: n = m + 2 次元時空が Gm(m+1)/2 (m, S) 型の対称性を持つとき,計量は
2
ds2 = gab (y)dy ady b + r 2 (y)dσm
(3.1)
と表される.ここで
2
dσm
= γAB (z)dz A dz B
(3.2)
は断面曲率 K の m 次元定曲率空間の計量である.
Einstein テンソル :
m
m(m − 1) K − (Dr)2 m
Gab = − Da Db r −
− r gab ,
r
2
r2
r
2
12
(m − 1)(m − 2) K − (Dr)
m−1
A
r δBA
+
GB = − R −
2
2
r2
r
ḠaA = 0.
(3.3a)
(3.3b)
(3.3c)
Weyl テンソル : 正規直交基底 (θa , θA ) に関して,
C ab
C aA
C AB
m−1 a
Xθ ∧ θb ,
m+1
m−1
Xθa ∧ θA ,
=−
m(m + 1)
2
XθA ∧ θB .
=
m(m + 1)
=
(3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
ここで,
X=
12
r K − (Dr)2
+
R+
.
2
r
r2
(3.5)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
4次元時空
52 目次へ
: 特に,n = 4 のとき
X ab
(−θ0 ∧ θ1 + iθ2 ∧ θ3 ),
3
i
+ AB
C
= AB ab +C ab ,
2 X
i
+ aA
a
A
b
B
C =−
θ ∧ θ − ab AB θ ∧ θ
6
2
+
C ab =
(3.6a)
(3.6b)
(3.6c)
より,
Q11 =
X
X
, Q1A = 0, QAB = − δAB .
3
6
(3.7)
よって,4次元球対称時空は常に Petrov タイプ D で
Ψ2 = −
3.2.2
X
.
6
(3.8)
Birkhoff の定理
Einstein-Maxwell 系 : m + 2 次元時空での電磁場に対する作用積分は
1
SEM = − dm+2 x |g| Fµν F µν
4
(3.9)
で与えられるので,そのエネルギー運動量テンソルは
2 δSEM
1
λ
gµν Fαβ F αβ .
Tµν = − =
F
F
−
µλ
ν
µν
δg
4
|g|
(3.10)
【命題 3.2.1】 Gm(m+1)/2 (m, S) 型の対称性を持つ m + 2 次元時空における自
由電磁場に対する電磁テンソルは次式で与えられる:
1
F = Edy 0 ∧ dy 1 + FAB dz A ∧ dz B ;
2
qe
E = m,
r qm
; m=2
r 2 AB
FAB =
0;
m>2
(3.11)
(3.12)
(3.13)
対応するエネルギー運動量テンソルは
Tab = −
q2
q2
g
,
T
=
gAB
ab
AB
2r 2m
2r 2m
2
となる.ただし,q 2 = qe2 + qm
.
(3.14)
Proof. m > 2 のとき,m 次元定曲率空間上に不変な反対称2階テンソル場は存在
しないので,FAB = 0.m = 2 の時は,FAB = BAB . まず,
1
dF = ∂a (r m B)(AB /r m )dy a ∧ dz A ∧ dz B = 0
2
(3.15)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
53 目次へ
より,
B=
qm
.
rm
(3.16)
さらに,
∇ν Fa µ =
1
ab D b (r m E) = 0
rm
(3.17)
より
E=
qe
.
rm
(3.18)
【定理 3.2.2】 真空 Einstein-Maxwell 方程式 (宇宙項 Λ) を満たす Gm(m+1)/2 (m, S)
型の対称性を持つ m + 2 次元時空は次のいずれかに限られる.
(1)Schwarzschild/Reissner-Nordstrom タイプ (Dr = 0):
dr 2
2
+ r 2 dσm
;
ds = −N (r)dt + 2
N (r)
2M
2Λ
Q2
r 2 + 2m−2 .
N 2 (r) = K − m−1 −
r
m(m + 1)
r
2
2
2
(3.19)
(3.20)
(2) 成相解 (Dr = 0): 2 次元定曲率時空 N 2 と m 次元定曲率空間の積
M = N 2 × K m.
(3.21)
ここで,N 2 の Ricci スカラを 2R,K m の断面曲率を K/r 2(K = 0, ±1) とす
ると,次の関係が成り立つ:
Q2
2
K
Λ
+
=
,
r2
m(m − 1)
r 2m
Q2
2
2
R = Λ − 2(m − 1)2 2m .
m
r
(3.22)
(3.23)
Proof. 真空の Einstein 方程式
Gµν = −Λgµν + κ2 Tµν
は
m − 1 K − (Dr)2
m+1
Da Db r = −
+ r +
λr
2
r
2
(m − 1)Q2
gab ,
+
2r 2m−1
K − (Dr)2 2(m − 1)
2
R = −(m − 1)(m − 2)
+
r
r2
r
Q2
+m(m + 1)λ − m(m − 1) 2m .
r
(3.24)
(3.25)
(3.26)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
54 目次へ
ただし,
2Λ
m(m + 1)
κ2 q 2
Q2 =
.
m(m − 1)
(3.27)
λ :=
(3.28)
これらは,次の3式と同値:
1
Da Db r = rgab ,
2
(m − 1)Q2
K − (Dr)2
− (m + 1)λr −
r = (m − 1)
,
r
r 2m−1
Q2
m
2
R = r + 2(m + 1)λ − 2(m − 1)2 2m .
r
r
第1式より,
2D b Da Db r = Da r ⇒
Da r = −2RDa r
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
となるので,第 2 式の微分と第3式より
2(2m − 1)(m − 1)2 Q2 Da r
2
2
Da R = (m + 1) − R + 2λ +
m+1
r 2m
r
⇒
Da [r m+1 (2R − 2λ) + 2(m − 1)(2m − 1)Q2 r 1−m ] = 0.
(3.33)
よって,
2
R = 2λ + 2m(m − 1)
M
r m+1
− 2(m − 1)(2m − 1)
(Dr)2 = N 2 (r) := K − λr 2 −
r = (N 2 ) .
2M
Q2
+
,
r m−1 r 2m−2
Q2
,
r 2m
(3.34)
(3.35)
(3.36)
ここで,Dr = 0 とすると,計量は
ds2 = −V dt2 +
dr 2
2
+ r 2 dσm
N2
(3.37)
と表される.このとき,
1
r = (N 2 ) + ∂r ln(V /N 2 )
2
(3.38)
より,V /N 2 は t のみの関数となる.よって,時間の定義を変更することにより,
V = N 2 とできる.一方,Dr ≡ 0 とすると,r は定数となり
Q2
K
m+1
λ
+
=
,
r2
m−1
r 2m
2
R = 2(m + 1)λ − 2(m − 1)2
(3.39)
Q2
.
r 2m
(3.40)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
3.2.3
55 目次へ
Schwarzschild BH
計量
ds2 = −N 2 (r)dt2 +
N 2 (r) = 1 −
dr 2
+ r 2 dΩ2m ;
N 2 (r)
2M
.
r m−1
(3.41)
(3.42)
Weyl テンソル
Ψ2 =
m(m + 1) M
.
12
r m+1
Future Finkelstein 座標 : (v, r).
dr
,
r∗ =
N 2 (r)
v = t + r∗
(3.43)
(3.44)
(3.45)
とおくと,
ds2 = 2dvdr − N 2 (r)dv 2 + r 2 dΩ2m
(3.46)
m−1
より,時空は r > rH (rH
= 2M) から r > 0 に解析的に正則に拡張される.ξ = ∂t
とおくと,
ξ = ∂v
(3.47)
より,
k = −∂r ,
1
l = ∂v + N 2 (r)∂r
2
(3.48)
は,r > rH において未来向きの null ベクトル:
1
ξ · k = −1, ξ · l = − N 2 (r),
2
k · k = l · l = 0, k · l = −1.
(3.49)
(3.50)
よって,r = rH 面は r > rH の領域にとって future null 面 (future horizon).
図 3.1: Future Finkelstein 座標
目次へ
第 3 章 ブラックホール
56 目次へ
Past Finkelstein 座標 : (u, r).
u = t − r∗
(3.51)
とおくと,
ds2 = −2dudr − N 2 (r)du2 + r 2 dΩ2m
(3.52)
m−1
より,時空は r > rH (rH
= 2M) から r > 0 に解析的に正則に拡張される.
ξ = ∂u
(3.53)
より,
1
l = ∂u − N 2 (r)∂r
2
は,r > rH において未来向きの null ベクトル:
1
ξ · k = −1, ξ · l = − N 2 (r),
2
k · k = l · l = 0, k · l = −1.
k = ∂r ,
(3.54)
(3.55)
(3.56)
よって,r = rH 面は r > rH の領域にとって past null 面 (past horizon).
図 3.2: Past Finkelstein 座標
Szekeres 座標 : (U, V ).4 次元時空 (m = 2) において,Null 座標 (u, v) を用いる
と計量は
ds2 = −N 2 (r)dudv + r 2 dΩ22 .
(3.57)
今,r > rH = 2M において
U = −2Me−u/4M ,
V = 2Mev/4M
(3.58)
とおくと,
UV = −2M(r − 2M)er/2M ,
(3.59)
|V /U| = et/2M .
(3.60)
この座標では計量は
8M −r/2M
e
ds2 = −
dUdV + r 2 dΩ22 ,
r
となり,
(3.61)
d(UV )
= −rer/2M < 0
(3.62)
dr
より,出発点の領域 U < 0, V > 0 から r > 0 に対応する領域 UV < 4M 2 に解析的
に拡張される.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
57 目次へ
共形図式
T +R
T −R
, V = 2M tan
;
2
2
|T − R| < π, |T + R| < π.
U = 2M tan
(3.63)
(3.64)
とおくと,
dUdV =
M2
cos2 T −R
cos2
2
T +R
2
(dT 2 − dR2 ).
(3.65)
ここで,
1−
UV
cos T
=
T −R
2
4M
cos 2 cos T +R
2
(3.66)
より,UV < 4M 2 は |T | < π/2 に対応.
図 3.3: Szekeres 座標
3.2.4
2次元共形図式
Minkowski 時空 : 2 次元 Minkowski 時空の計量
ds2 = −dt2 + dx2
(3.67)
は null 座標
u = t − x, v = t + x
(3.68)
を用いて表すと,
ds2 = −dudv.
(3.69)
いま,
T +X
T −X
, v = tan
2
2
とおくと,元の座標領域 −∞ < u, v < ∞ は,有界なダイヤモンド領域
u = tan
(3.70)
DM : |T − X| < π, |T + X| < π
(3.71)
に写され,計量は
ds2 =
1
4 cos2 T −X
2
cos2
T +X
2
(−dT 2 + dX 2 )
(3.72)
と表される.元の計量は,測地的に完備なので,時空をこのダイヤモンド領域の
外に拡張することはできない.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
58 目次へ
無限遠 : この共形図式より,2次元 Minkowski 時空の無限遠は次の3種類の部
分から成ることが分かる:
• 空間的無限遠: i0
• 光的無限遠: I ±
• 時間的無限遠: i±
高次元 Minkowski 時空
: 3 次元以上の Minkowski 時空の計量は球座標のもとで
ds2 = −dt2 + dr 2 + r 2 dΩ2m
(3.73)
と書かれる.この計量の2次元部分 −dt2 + dr 2 は,2次元 Minkowski 時空の計量
と一致するので,上で説明した方法で共形図式を作ることができる.ただし,今
の場合 r ≥ 0 なので,有界領域は DM の半分の三角領域となる:
DM
: |T − X| < π, |T + X| < π, X ≥ 0
(3.74)
計量は,
ds2 = Ω2 [−dT 2 + dX 2 + sin2 XdΩ2m ];
1
Ω=
.
T −X
2 cos 2 cos T +X
2
(3.75)
(3.76)
したがって,光的無限遠の位相構造の違いを除いて,無限遠の構造は2次元 Minkowski
時空と同じ:
• 空間的無限遠: i0
• 光的無限遠: I ± ≈ R × S m
• 時間的無限遠: i±
図 3.4: Minkowski 時空の共形図式
目次へ
第 3 章 ブラックホール
59 目次へ
球対称時空の2次元断面
ds2 = −N 2 (r)dt2 +
: 計量
dr 2
N 2 (r)
(3.77)
は,null 座標
u = t − r∗ , v = t + r∗ ;
dr
r∗ =
N 2 (r)
(3.78)
(3.79)
のもとで,
ds2 = −N 2 (r)dudv
(3.80)
N 2 (r) が1次の零点を持つ場合 : N 2 (r) が r = rH で零となり,r1 < r < r2 にお
いて
N 2 (r) = (r − rH )g(r); g(r) > 0
(3.81)
と表されるとする (r1 < rH < r2 ).このとき,表面重力 κ を
1
κ = (N 2 ) (rH )
2
(3.82)
とおくと,
r∗ =
1
ln 2κ|r − rH | + h(r)
2κ
(3.83)
と表される.ここで,h(r) はなめらかな関数.したがって,
r H < r < r2
⇔
−∞ < v − u < 2r∗ (r2 ).
(3.84)
いま,この領域において座標 (U, V ) を
U =−
1 −κu
1 κv
e , V =
e
2κ
2κ
(3.85)
により導入すると,
UV = −
1
(r − rH )eh(r) , |V /U| = e2κt
2κ
(3.86)
より,対応する (U, V ) の動く範囲は
I : U < 0, V > 0, −
1
(r2 − rH )e2κh(r2 ) < UV < 0.
2κ
(3.87)
(U, V ) 座標の元で,計量は
ds2 = −
2g(r) −2κh(r)
e
dUdV,
κ
(3.88)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
60 目次へ
となり,領域 I の境界 U = 0 および V = 0 で正則.よって,
1 h(r)
d(UV )
=−
e
dr
g(r)
(3.89)
となることを考慮すると,時空は領域 I から領域
D1 : −
1
1
(r2 − rH )eh(r2 ) < UV <
(rH − r1 )eh(r1 )
2κ
2κ
(3.90)
へ正則に解析接続される.この領域にさらに Minkowski 時空と同じ共形写像を施
すと,有界ダイアモンド領域 DM の T = ±X(UV = 0) を含む部分領域に写され
る.また,U = 0 と V = 0 では r = rH となり,それぞれ領域 I の未来および過去
の horizon となる.
図 3.5: 球対称時空の2次元断面の共形図式
f (r) が2次の零点を持つ場合 : N 2 (r) が r = rH で零となり,r1 < r < r2 にお
いて
N 2 (r) = (r − rH )2 /g(r); g(r) > 0
(3.91)
と表されるとする (r1 < rH < r2 ).このとき,
v−u
µ
+ ν ln |r − rH | + h(r − rH ).
= r∗ = −
2
r − rH
(3.92)
ただし,µ = g(rH ) > 0, ν = g (rH ) で,h(r − rH ) はなめらかな関数.いま,U を
µ
1
u = − + ν ln |U| + h1 (U)
2
U
(3.93)
により定義する.ただし,h1 (U) は U = 0 の近傍では h(U) と一致し,du/dU > 0
かつ,U → −∞ で u → −∞ となる関数(常に存在).このとき,r は (U, v) の関
数として領域 I:U ≤ 0, −∞ < v < +∞ を含む開領域 D2 で正則な正値関数で,計
量は
ds2 = −N1 dUdv;
N1 = 2(h1 (U) − h (U))N 2 (r) +
(3.94)
2
(r − rH ) 2g(U + rH )
U2
g(r)
(3.95)
と表される.v を一定にして,U → 0 の極限を取ると,r → rH かつ (r−rH )/U → −1
となるので,N1 (U, v) は D2 で正則な正値関数となる.したがって,時空は v = 一
定曲線に沿って領域 I から r = rH を越えて解析接続される.r = rH (U = 0) は領
域 I の未来の horizon となる.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
61 目次へ
注 : ホライズンでの表面重力 κ が零でないとき,領域 I でホライズンに近づく
t = 一定曲線の長さは有限となり,端点はホライズンの交点となる.これに対して,
κ = 0 の場合は,この曲線の長さは無限となる.したがって,この場合の上の議論
で u と v の役割を変え,u 一定曲線に沿って過去向きに r = rH を越えた解析接続
が存在するが,この過去のホライズンと未来のホライズンは交叉できない.
3.2.5
ホライズン
Killing ホライズン : 前節で見たように,真空ないし電磁場のみの存在する球対
称時空の計量を静的時間 (Killing 時間) を用いて表した (3.19) 式に現れる N 2 (r) =
−gtt (r) の零点 r = rH は,時空の特異点でなく,座標系の取り方により生じた見か
けの特異点である.このことは,Weyl テンソル (3.4) が r > 0 でなめらかな関数
X = m(m + 1)
M
r m+1
− m(2m − 1)
Q2
r 2m
(3.96)
に比例していることからも分かる.
関数 N 2 (r) は,計量 (3.19) の Killing ベクトル ξ = ∂t のノルム (の2乗) となっ
ている:
N 2 (r) = −ξ · ξ.
(3.97)
r = rH 面は,N 2 (rH ) = 0 より,ちょうど Killing ベクトルが接する光的面で,かつ
その光的接ベクトル (null geodesic generator) と Killing ベクトルが平行となってい
る.このような光的面は,一般に Killing ホライズンと呼ばれる.ただし,Killing
ホライズン上で,ξ は一般に生成光的測地線のアフィンパラメーターに関する接ベ
クトルとはなっていない.実際,Killing 方程式より,
1
1
∇ξ ξµ = −ξν ∇µ ξ ν = ∇µ N 2 = (N 2 ) (r)∇µ r
2
2
(3.98)
となり,
(∇r)2 = N 2 (r)
(3.99)
より r = rH で ∇r //ξ となるが,一般に ∇µ r = 0, (N 2 ) (r) = 0 である.例えば,
(v, r) 座標では,
ξ = ∂v , ∇r = ∂v + N 2 (r)∂r
(3.100)
より,r = rH で ξ = ∇r となる.同様に,(u, r) 座標では ξ = −∇r となる.した
がって,Killing ホライズン上では
∇ξ ξ = ±κξ
(3.101)
となる.ここで,κ = 12 (N 2 ) (rH ) は表面重力強度である.いま,Killing ホライズ
ンの生成光的測地線のアフィンパラメータを λ = λ(τ )(ξ µ ∂µ τ = 1),λ に関する接
ベクトルを k とおくと,ξ = λ̇k および ∇k k = 0 より κ = 0 のとき
λ̈/λ̇ = ±κ ⇒
λ = ae±κτ + b
(3.102)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
62 目次へ
を得る.±κ > 0(< 0) のとき,τ → ∞(−∞) で λ → ±∞ となるが,τ → −∞(∞)
では λ は有限な値に収束する.これは,Killing ホライズンが測地的に完備でない
ためではなく,Killing ホライズンが交叉する2つの面からなり,Killing ベクトル
ξ がその交わりでゼロとなることによる.実際,Szekeres 型の座標 (U, V ) を用いる
とξは
ξ = κ(V ∂V − U∂U )
(3.103)
となり,Killing ベクトルは U = V = 0 でゼロとなる.このように,交叉する
Killing ホライズンは分岐型ホライズンと呼ばれる.これに対して,extrem ReissnerNordstrom ブラックホールのホライズンのように κ = 0 となる Killing ホライズン
は分岐せず,退化型ホライズンと呼ばれる.
大域的双曲性 : Σ を時空領域 D 内の非因果的超曲面とする.D の任意の点を通
る任意の因果的曲線が十分延長すれば必ず Σ と交わるとき,Σ は D の Cauchy 面
といわれる.また,Cauchy 面が存在する時空領域は大域的に双曲的であるといわ
れる.任意の時空 M において,任意の非因果的超曲面 Σ に対してそれを Cauchy
面とする最大の領域が D(Σ) が存在する.この時空領域は Σ の Cauchy 発展領域
といわれる.Cauchy 発展領域は,双曲型偏微分方程式の解が Σ 上での初期データ
により一意的に定まる最大領域である(解が存在するとは限らない).
Cauchy ホライズン : 時空 M において,非因果的超曲面 Σ の Cauchy 発展領
域 D(Σ) が M と一致しないとき,D(Σ) は境界をもつ.この境界は Σ の Cauchy
ホライズンと呼ばれ,H(Σ) と表される.時空が大域的に双曲型でないときには,
どのように Σ をとっても常に Cauchy ホライズンが存在する.特に,漸近的に平
坦なブラックホール時空では,I ± の近傍を含む極大な大域的双曲型領域の境界
を Cauchy ホライズンと呼ぶことが多い.負の質量をもつ Schwarzschild 時空や
Reissner-Nordstrom 時空は Cauchy ホライズンをもつ.これらの例から分かるよう
に,Cauchy ホライズンの存在は(局所的)裸の特異点の存在と結びついている.
§3.3
Hodge 双対
【定義 3.3.1 (微分形式の内積)】 2つの1形式の内積 ω, χ = g ab ωa χb を用い
て,1 形式の系 ω 1 , · · · , ω p, χ1 · · · , χp から作られる 2 つの p 形式 ω 1 ∧ · · · ∧ ω p ,
χ1 ∧ · · · ∧ χp の内積を
ω 1 ∧ · · · ∧ ω p , χ1 ∧ · · · ∧ χp = detω j , χk で定義する.これより,一般の p 形式 ω = (1/p!)ωµ1 ···µp dxµ1 ∧ · · · dxµp , χ =
(1/p!)χµ1 ···µp dxµ1 ∧ · · · dxµp , の内積が誘導される.
ω, χ =
1
ωµ ···µ χµ1 ···µp .
p! 1 p
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第 3 章 ブラックホール
63 目次へ
【定義 3.3.2 (Hodge 双対)】 対応
dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp → ∗(dxµ1 ∧ · · · ∧ dxµp ) =
1
dxν1 ∧ · · · ∧ dxνn−p ν1 ···νn−p µ1 ···µp
(n − p)!
により,p 形式の空間 Ap から (n − p) 形式の空間 An−p への線形写像が定義
される.この写像を Hodge 双対と呼ぶ.一般の p 形式 ω に対して Hodge 双
対は
1
( ∗ω)µ1 ···µn−p = µ1 ···µn−p ν1 ···νp ων1 ···νp
p!
と表される.また,Ω を体積形式とするとき, ∗ω は,任意の p 形式 χ に対
して
∗ω ∧ χ = ω, χΩ
が成り立つ (n − p) 形式として特徴づけられる.
【命題 3.3.3】 ω, χ ∈ Ap , |η| = det(ηab ) とするとき,Hodge 双対に対して次
の諸公式が成り立つ:
i) ∗1 = Ω, ∗Ω = |η|.
ii) ω ∧ ∗χ = χ ∧ ∗ω.
iii) ∗ ∗ω = (−1)p(n−p)|η|ω.
iv) ∗ω, ∗χ = |η|ω, χ.
v) ( ∗d ∗ω)µ1 ···µp−1 = (−1)np+p+1∇ν ω ν µ1 ···µp−1 .
【定義 3.3.4】 ベクトル X に対して,p 形式の空間から (p − 1) 形式の空間へ
の線形写像を
(IX ω)(Y1, · · · , Yp−1) = ω(X, Y1, · · · , Yp−1)
により定義し,IX を内積作用素と呼ぶ.
【命題 3.3.5】 内積作用素に関して次の公式が成り立つ.
i) ∗IX ∗ω = (−1)pn |η|X∗ ∧ ω
⇔
IX ∗ω = (−1)n−p−1 ∗(X∗ ∧ ω).
ii) ∗IX ∗IY + IY ∗IX ∗ = |η|g(X, Y ).
iii) L
−X = dIX + IX d.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
64 目次へ
iv) [L
−X , IY ] = I[X,Y ] .
§3.4
定常軸対称時空
【定義 3.4.1】 時空 (M, g) が可換な2次元等長変換群 G2 をもち,G2 を生成
する2つの Killing ベクトル ξ, η がある領域でそれぞれ時間的および空間的
となり,かつ η の軌道が閉じた閉曲線となり,かつ η がゼロとなる点(対称
軸)が存在するとき,時空は定常軸対称であるという.
【定理 3.4.2 (Frobenius)】 i) n 次元多様体の r 個の1次独立なベクトル場 X1 , · · · , Xr が各点で接する r
次元部分多様体の n − r 次元族が存在する,すなわち各点の近傍で XI y p =
0(I = 1, · · · , r) となる n − r 個の独立な関数系 y p (p = r + 1, · · · , n) が存在す
I
るための必要十分条件は,適当な関数の組 fJK
(x) に対して
K
[XI , XJ ] = fIJ
XK (I, J, K = 1, · · · , r)
が成り立つことである.
ii) n 次元多様体上の n − r 個の1次独立な 1 形式 ω P (P = r + 1, · · · , n) に対し
て,ω P = ΛPQ df P となる関数の組 ΛPQ (x) および f P (x) が存在するための必要
十分条件は,(n − r)2 個の1形式 ΩPQ が存在して
dω P = ΩPQ ∧ ω Q
が成り立つことである.
【命題 3.4.3】 4次元 Riemann 空間(時空)において,2つの1次独立なベ
クトル場 ξ, η に直交する曲面族が存在するための必要十分条件は,
ξ ∧ η ∧ dξ = 0, ξ ∧ η ∧ dη = 0
で与えられる.特に,ξ, η が可換な Killing ベクトルでいずれかが不動点をも
つ時,この条件は
ξ d Rd[a ξb ηc] = 0, η d Rd[a ξb ηc] = 0
と表される.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
65 目次へ
Proof. ξ, η に直交する曲面族が存在するための必要十分条件は,適当な関数 f, g, p, q, r, s
が存在して,ξ = pdf +qdg, η = rdf +sdg と表されることである.これは,Frobenius
の定理より,適当な 1 形式 α, β, γ, δ が存在して,
dξ = α ∧ ξ + β ∧ η, dη = γ ∧ ξ + δ ∧ η
と表されることと同値で,さらにこの条件は題意の条件と同等である.特に,ξ, η
が Killing ベクトルの時,ξµ = −Rµν ξ ν および L
−η ξ = 0 より,
d ∗(η ∧ ξ ∧ dξ) = −dIη ∗(ξ ∧ dξ) = Iη d ∗(ξ ∧ dξ) − −
L η ∗(ξ ∧ dξ)
= Iη Iξ d( ∗dξ) = −Iη Iξ ∗ξ = −dxµ µ νλσ ην ξλ Rσα ξ α .
同様にして,
d ∗(ξ ∧ η ∧ dη) = −dxµ µ νλσ ξν ηλ Rσα η α .
よって,命題の前半の条件が満たされれば後半の条件が満たされる.逆に,後半
の条件が満たされれば, ∗(η ∧ ξ ∧ dξ), ∗(ξ ∧ η ∧ dη) は共に定数となるが,ξ ない
し η が零点をもつとその値はゼロとなり,前半の条件が得られる.
【命題 3.4.4】 i) 自由な電磁場に対する Maxwell 方程式は,複素電磁テンソル
F = F + i ∗F
をもちいて
dF = 0
と表される.また,電磁場のエネルギー運動量テンソルは
Tab =
1
Fa c F¯bc .
8π
ii) 定常軸対称時空において,複素電磁テンソルは
−ξ Φ = 0, L
L
−η Φ = 0
を満たす複素ポテンシャル Φ を用いて,
√
GF = e−2U [dΦ ∧ ξ + i ∗(dΦ ∧ ξ)]
と表される.ただし,e2U = −g(ξ, ξ).
目次へ
第 3 章 ブラックホール
66 目次へ
Proof. 前半は明らか.
0=L
−ξ F = dIξ F + Iξ dF = dIξ F
より,適当な複素関数 Φ が存在して
√
GIξ F = dΦ
と書ける.このとき,Iξ2 = 0 より,Iξ dΦ = L
−ξ Φ = 0. また,0 = L
−η dΦ = dL
−η Φ お
よび η がゼロ点を持つことより,L
−η Φ = 0. 次に,恒等式
∗Iξ ∗Iξ F + Iξ ∗Iξ ∗F = −g(ξ, ξ)F = e2U F
と ∗F = −iF より
√
Ge2U F = ∗Iξ ∗dΦ + i ∗( ∗Iξ ∗dΦ).
ここで, ∗Iξ ∗dΦ = dΦ ∧ ξ を用いると題意の式を得る.
【命題 3.4.5】 軸対称定常な Einstein-Maxwell 系の時空計量は
ds2 = e−2U e2k (dρ2 + dz 2 ) + W 2 dφ2 − e2U (dt + Adφ)2
(3.1)
と表される.ただし,U, k, W, A は ρ と z のみの関数である.また,複素電
磁テンソル F は ρ と z のみに依存する複素ポテンシャル Φ を用いて,
√
GF = e−2U [dΦ ∧ ξ + i ∗(dΦ ∧ ξ)]
と表される.ただし,
ξ = −e2U (dt + Adφ), η = e−2U W 2 dφ + Aξ
である.
§3.5
静的軸対称ブラックホール
3.5.1
静的時空
【命題 3.5.1】 ベクトル場 ξ µ が超曲面族に垂直となるための必要十分条件は,
ξ ∧ dξ = 0
が成り立つことである.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
67 目次へ
Proof. ベクトル場 ξ µ が超曲面の族:f = 一定に垂直となる条件は,ξµ = k∂µ f と
表されるので,1 形式 ξ = ξµ dxµ は
ξ ∧ dξ = 0
(3.1)
を満たす.逆に,ξ がこの条件を満たすとき,ξ = 0 となる部分多様体を除いた領域
では,ξ を含む適当な 1 形式の基底を用いて dξ を表すことにより,dξ = χ ∧ ξ とな
る 1 形式 χ が存在することが分かる.したがって,Frobenius の定理より,ξ = kdf
となる関数の組 k, f が存在する.
【定義 3.5.2】 4次元時空におけるベクトル場 ξ に対して,
ω := − ∗(ξ ∧ dξ) = Iξ ∗dξ
すなわち,
ω µ := −µνλσ ξν ∇λ ξσ
で定義されるベクトル場 ω µ ないし対応する 1 形式を ξ の回転という.特に,
回転がゼロとなる時間的 Killing ベクトルが存在する時空は静的であるとい
う.
3.5.2
Weyl クラス
定常軸対称時空の計量 3.1 において,ξ = −eU (dt + Adφ) に対して
ξ ∧ dξ = −e2U dt ∧ dφ ∧ dA
(3.2)
となる.よって,時空が静的である条件は A = 定数となる.このとき,t + Aφ → t
と置き換えることにより,A = 0 としてよいので,静的軸対称時空の計量は
ds2 = e−2U e2k (dρ2 + dz 2 ) + W 2 dφ2 − e2U dt2
(3.3)
と表される.
この計量に (3 + 1) 分解の公式を適用すると,N = eU として Kij = 0 より
1
N = −W −1 e2(U −k) ∂ · (W ∂U),
N
1
R̃ij = Rij = − ∇i ∇j N = Rij − e−U ∇i ∇j eU
N
R̃tt = −
(3.4)
(3.5)
を得る.ここで,∂ は (ρ, z) 平面における自然な平坦接続である.3 次元計量にさ
らに (2 + 1) 分解を施すと,
Rφφ = −W −1 eU 2 (W e−U ) = −W −1 e3U −2k ∂ 2 (W e−U )
(3.6)
を得る.よって
e−U ∇2φ eU = −Γaφφ ∂a U = e−2k W (∂W − W ∂U) · ∂U
(3.7)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
68 目次へ
を考慮すると,
R̃φφ = W e−2k −∂ 2 W + ∂ · (W ∂U)
(3.8)
を得る.したがって,真空の Einstein 方程式 R̃µν = 0 が成り立つと,
∂ 2 W = 0,
∂ · (W ∂U) = 0
(3.9)
(3.10)
が成り立つ.このうち,第1式は W = ρ となるように ρ を取れることを保証して
いる.そこで,以下 W = ρ とする.
同様にして,a, b = ρ, z に対して,
R̃ab = ρ−1 ∂a ρ∂b k + ρ−1 ∂b ρ∂a k − 2∂a U∂b U
1 2 2(k−U )
−1
Re
− ρ ∂ρ · ∂(k − U) δab
+
2
(3.11)
を得る.ただし,2R は
2
R = −2e2(U −k) ∂ 2 (k − U)
(3.12)
で与えられる.これより,対応する Einstein 方程式は
∂z k = 2ρ∂ρ U∂z U,
∂ρ k = ρ (∂ρ U)2 − (∂z U)2 ,
(3.13)
∂ 2 k + (∂U)2 = 0
(3.15)
(3.14)
と表される.ここで,第3の方程式は,残り2つより導かれる.以上より,次の
定理を得る.
【定理 3.5.3 (Weyl)】 4次元真空 Einstein 方程式に対する静的軸対称解は,
2 次元空間 (ρ, z) における Laplace 方程式
∂ρ (ρ∂ρ U) + ρ∂z2 U = 0
(3.16)
の解 U(ρ, z) を用いて
ds2 = e−2U e2k (dρ2 + dz 2 ) + ρ2 dφ2 − e2U dt2
(3.17)
と表される.ただし,k(ρ, z) は1階方程式
∂z k = 2ρ∂ρ U∂z U,
∂ρ k = ρ (∂ρ U)2 − (∂z U)2
の解である.
(3.18)
(3.19)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
一般解
69 目次へ
: 極座標
ρ = Σ sin ϑ, z = Σ cos ϑ
(3.20)
を用いると,漸近的に平坦な一般解は
U=
∞
an Σ−(n+1) Pn (cos ϑ),
n=0
∞
k=−
al am
l,m=0
3.5.3
(l + 1)(m + 1) Pl Pm − Pl+1 Pm+1
.
l+m+2
Σl+m+2
(3.21)
(3.22)
Schwarzschild 計量
Weyl 座標表示 : (ρ, z) 座標のもとで,Schwarzschild 解は
1 Σ+ + Σ− − 2m
1
m − z + Σ−
,
ln
= − ln
2 Σ+ + Σ− + 2m
2 −m − z + Σ+
1 (Σ+ + Σ− )2 − 4m2
k = ln
,
2
4Σ+ Σ−
1/2
Σ± = ρ2 + (z ± m)2
U=
(3.23)
(3.24)
(3.25)
で与えられる.通常の Schwarzschild 座標は,ρ, z と
ρ=
r(r − 2m) sin θ, z = (r − m) cos θ
(3.26)
の関係にある.したがって,U, k の特異点集合:ρ = 0, |z| ≤ m はちょうどホライ
ズン r = 2m に対応する.
偏球座標表示
: Weyl 座標の代わりに
ρ = m (x2 − 1)(1 − y 2 ), z = mxy
(3.27)
により定義される偏球座標を用いると,
Σ± = |x ± y|
(3.28)
より,Schwarzschild 解に対する Weyl ポテンシャルは
1 x−1
ln
,
2 x+1
x2 − 1
1
k = ln 2
2 x − y2
U=
とずっと簡単な表式で表される.実際,
dx2
dy 2
2
2
2 2
2
+
dρ + dz = m (x − y )
.
x2 − 1 1 − y 2
(3.29)
(3.30)
(3.31)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
70 目次へ
に注意すると,U の方程式は
∂x (x2 − 1)∂x U + ∂y (1 − y 2 )∂y U = 0,
(3.32)
k の方程式は
x[(x2 − 1)u2x − (1 − y 2 )u2y ] − 2y(x2 − 1)ux uy
,
(3.33a)
x2 − y 2
−y[(x2 − 1)u2x − (1 − y 2 )u2y ] − 2x(1 − y 2 )ux uy
,
(3.33b)
ky = (x2 − 1)
x2 − y 2
となり,上記の U と k がこれらの方程式の解であることは容易に確かめられる.た
だし,
r−m
, sin θ = 1 − y 2
x=
(3.34)
m
より,この座標系では,ホライズンは線分 x = 1, |y| ≤ 1 に,ホライズンの外の z
軸は x ≥ 1, y = ±1 に対応する.
kx = (1 − y 2 )
Israel-Kahn 解
3.5.4
Weyl 解は同次線形の Laplace 方程式の解で決定されるので,2つの解の重ね合
わせが可能となる.特に,z 軸上に中心をもつ Schwarzschild ブラックホールの列
に対応する解は,Israel-Kahn 解 (1964) と呼ばれる.ただし,この解は,ブラッ
クホールをつなぐ z 軸上で conic singularity をもつ.
2つの Schwarzschild BH の重ね合わせ : z 軸上の z = 0 に中心をもつ質量 m
のブラックホールと z = z0 に中心をもつ質量 m のブラックホールを重ね合わせて
得られる Israel-Kahn 解では,ホライズン −m < z < m, −m + z0 < z < m + z0
の外の z 軸上での k の値は有限となり
0
; z < −m, z > z0 + m
2
2
k=
(3.35)
z −(m+m )
ln z02 −(m−m )2 ; m < z < z0 − m
0
で与えられる.m < z < z0 − m では,k < 0 なので,z 軸の周りの角度 e−k φ は一
周で 2πe−k > 2π 変化することになる.
Weyl 解
3.5.5
計量
2
2U
2
−2U
ds = −e dt + e
dx2
dy 2
2k 2
2
2
2
+
e (x − y )
+ ρ dφ ;
x2 − 1 1 − y 2
δ
x−1
e =
,
x+1
2
δ 2
x −1
2k
2
,
e =m
x2 − y 2
ρ2 = m2 (x2 − 1)(1 − y 2).
(3.36)
2U
(3.37a)
(3.37b)
(3.37c)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
71 目次へ
この計量は,δ = 0 のとき Minkowski 時空を,δ = 1 のとき正質量 Schwarzschild
BH を,δ = −1 のとき負質量 Schwarzschild BH を表す.また,δ = 2 の解は,等
質量 m/2 の 2BH に対応する Israel-Kahn 解において2つの BH の中心が一致した
極限に当たる.
Weyl テンソル 基底
θ0 = eU dt, θ1 = e−U ρdφ, θ2 = ek−U dρ, θ3 = ek−U dz
(3.38)
に関して,
2
Ψ2 =
δ(x − δ)(x2 − y 2 )δ −1
,
(x − 1)δ2 −δ+1 (x + 1)δ2 +δ+1
(3.39a)
2
δ(x2 − y 2 )δ −3
Ψ 0 + Ψ4 =
3(x − 1)(x2 − y 2)(2x2 y 2 − x2 − y 2)
(x − 1)δ2 −δ+1 (x + 1)δ2 +δ+1
+(δ − 1) −8(δ + 1)x3 + 6x2 + 6(δ + 1)x − 3 y 4
+ −6x3 + 10(δ + 1)x2 − 6(δ + 1) xy 2 + 3x4 − 2(δ + 1)x3 , (3.39b)
2
2δρy(x2 − y 2)δ −3
2
2
i(Ψ0 − Ψ4 ) = −
2 −δ+1
2 +δ+1 3x(x − 1)(x − y )
δ
δ
(x − 1)
(x + 1)
2
2
3
2
+(δ − 1) −4(δ + 1)x + 3x + δ + 1 y − 3x + 3(δ + 1)x . (3.39c)
基底によらない不変量(+ C0I0J の固有値)は,
−2Ψ2 , Ψ2 ± Ψ0 Ψ4 .
(3.40)
特に,
2
9Ψ22
δ 2 (δ 2 − 1)(x2 − y 2 )2δ −3 (y 2 − 1)(3x2 − 3δx + δ 2 − 1)
− Ψ0 Ψ4 =
. (3.41)
[(x − 1)δ2 −δ+1 (x + 1)δ2 +δ+1 ]2
この量がゼロとなることと Petrov 型 D となることは同等.
この曲率の式より,Weyl 解は δ = 0, 1 のとき x = 1, y 2 < 1(ρ = 0, |z| < m) に裸
の曲率特異点をもつことがわかる.
3.5.6
C-metric
4次元計量
dx2
1
dy 2
2
2
+
+ G(x)dφ ;
ds = 2
H(y)dt −
A (x − y)2
H(y) G(x)
H(y) = −λ + ky 2 − 2mAy 3 ,
(3.42)
G(x) = 1 + kx2 − 2mAx3 ,
(3.44)
2
(3.43)
は,宇宙項
Λ = −3A2 (λ + 1)
(3.45)
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第 3 章 ブラックホール
72 目次へ
をもつ Einstein 方程式に対する,Petrov 型 D の静的軸対称真空解となる.
特に,λ = −1 のとき,
−H(y)G(x)
xy[−k + mA(x + y)]
(3.46)
ρ=
, z=
2
2
A (x − y)
A2 (x + y)
と定義すると,計量は Weyl 形式で表され,ポテンシャルは
H(y)
,
− y)2
H(y)
=− 4
A (x − y)4(Gρ2x − Hρ2y )
e2U = −
e2k
(3.47)
A2 (x
(3.48)
で与えられる.これらが,Weyl 解に対する方程式を満たすことは直接代入するこ
とにより確かめられる.
幾何学的意味 : m = 0 のとき,変換
2
2
y + λx
1 + kx2
, ρ=
r=
A(x − y)
y 2 + λx2
(3.49)
により,C 計量は
dr 2
dρ2
2
2
2
2
2
+ r −(λρ − k)dt + 2
+ ρ dφ
ds = 2 2
r / − λ
λρ − k
2
(3.50)
と表される.ここで,
2 =
1
A2 (λ + 1)
(3.51)
である.
特に,λ = −1, k = −1 のとき,ρ = sin θ とおいて,(r, θ, φ) に対応するデカル
ト座標 (x, y, z) を導入すると,計量は
ds2 = −z 2 dt2 + dz 2 + dx2 + dy 2
(3.52)
となる.これは,Minkowski 計量の Rindler 座標での表示である.実際,
T = z sinh t, Z = z cosh t, X = x, Y = y,
(3.53)
とおくと,計量は
ds2 = −dT 2 + dZ 2 + dX 2 + dY 2
(3.54)
と表される.
一方,λ = −1, m = 0 に対して,
r=−
t
1
, t̄ =
Ay
A
(3.55)
を一定に保って,A → 0 の極限を取ると,C 計量は質量 m の Schwarzschild ブラッ
クホール解に収束する.これらのことより,C 計量は,等加速度運動するブラック
ホール解を表すと解釈できる.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
73 目次へ
Horizons : 以下,λ = −1, k = −1 の場合 (H(x) = G(x)) を考える.µ = mA
とおくと,0 < µ 1 のとき,G(x) は3つの零点 x1 < x2 < 0 < x3 をもち,
x1 1/(2µ), x2 −1 − µ, x3 = 1 − µ となる.したがって,m = 0 の場合の平
坦領域に対応する漸近的平坦な領域は
D1 : x2 < x < x3 , x1 < y < x2
(3.56)
に対応する.この四角形の4辺のうち,x = x2 と x = x3 は z 軸(回転対称の軸)に
対応する.また,残りの2辺は Killing ホライズンを与える.それらのうち,y = x2
は平坦な場合の Rindler ホライズン(y = −1)に対応するので,加速ホライズン
と呼ばれる.これに対して,y = x1 は,A → 0 で r = 2m と対応するのでブラッ
クホールホライズンを表す.
Conic singularity : 無限遠 y = x に到達する z 軸 x = x2 の近傍で,x = x2 +
G (x2 )ρ2 /4 とおくと,x, φ の計量は
dx2
G (x2 )2 2 2
+ G(x)dφ2 dρ2 +
ρ dφ
G(x)
4
(3.57)
となるので,軸上で計量が正則とすると,2π の周期をもつ角度座標 φ2 は
φ2 = G (x2 )φ/2 (1 − 2µ)φ
(3.58)
となる.ところが,同様にして,加速ホライズンと交わる z 軸の周りの正則な角
度座標 φ3 は
φ3 = |G (x3 )|φ/2 (1 + 4µ)φ2
(3.59)
で与えられるので,計量が無限遠で大域的に漸近的平坦とすると,この軸上で計
量は余剰角 8µπ の円錐型特異性を持つことになる(正のテンションをもつひも
ないし棒).
§3.6
軸対称定常ブラックホール
3.6.1
Ernst 形式
Ernst ポテンシャル : Einstein-Maxwell 系において,時間的 Killing ベクトル ξ
の回転を ω とする:ω = Iξ ∗dξ. このとき,p 形式に対して
IX ∗ω = (−1)p+1 ∗(X ∧ ω), IX ω = ∗(X ∧ ∗ω)
(3.1)
が成り立つこと,および Killing ベクトル ξ に対して,
( ∗d ∗dξ)µ = −∇ν (∇ν ξµ − ∇µ ξ ν ) = −2ξµ = 2Rµν ξν
(3.2)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
74 目次へ
が成り立つことより,
dω = −Iξ d ∗dξ + L
−ξ ∗dξ = −Iξ d ∗dξ
= − ∗(ξ ∧ ∗d ∗dξ) = −2 ∗(ξ ∧ (Rξ))
(3.3)
となる.ここで,Einstein 方程式
Rµν = 8πGTµν = GFµλ F¯ν λ
より
(3.4)
√
Rξ = Gdxµ Fµλ F¯ν λ ξ ν = Gdxµ Fµλ (dΦ̄)λ
√
= − GIdΦ̄ F = −e−2U IdΦ̄ [dΦ ∧ ξ + i ∗(dΦ ∧ ξ)]
(3.5)
が成り立つ.よって,
dω = 2ie−2U ∗(ξ ∧ IdΦ̄ ∗(dΦ ∧ ξ))
= −2ie−2U ∗(ξ ∧ ∗(dΦ̄ ∧ dΦ ∧ ξ))
= −2ie−2U Iξ (dΦ̄ ∧ dΦ ∧ ξ) = −2idΦ̄ ∧ dΦ
(3.6)
を得る.したがって,
d(ω + 2iΦ̄dΦ) = 0
(3.7)
が成り立つ.よって,
dE = d(e2U ) + iω − 2Φ̄dΦ
(3.8)
となる関数 E が存在する.この関数は,Ernst ポテンシャルと呼ばれる.
【定理 3.6.1】 真空 Einstein-Maxwell 系が ξ = ∂t で不変であるとき,時空計
量は,t に依存しない関数 U(y),3次元ベクトル場 Ai (y),3次元計量 γij (y)
を用いて
ds2 = −e2U (dt + Ai dy i)2 + e−2U γij dy idy j ,
(3.9)
複素電磁テンソル F は,t に依存しない複素電磁ポテンシャル Φ(y) を用いて,
√
GF = e−2U [dΦ ∧ ξ∗ + i ∗(dΦ ∧ ξ∗ )]
(3.10)
と表される (ξ∗ = ξµ dxµ = −e2U (dt+Ai dy i )).Einstein 方程式および Maxwell
方程式は,Ernst ポテンシャル
dE = Γ − 2Φ̄dΦ; Γ = d(e2U ) + iω
(3.11)
および複素電磁ポテンシャル Φ を計量 γij (y) をもつ3次元空間 Σ 上の関数と
見なすとき,次の連立方程式で与えられる.
3 E = e−2U γ(Γ, dE ),
(3.12)
3 Φ = e−2U γ(Γ, dΦ),
1
3
Rij = e−4U Γ(i Γ̄j) − 2e−2U ∂(i Φ∂j) Φ̄.
2
(3.13)
(3.14)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
75 目次へ
Ai (y) は,A = Ai dy i とおくとき,U および ω から Σ 上の次の方程式の解と
して決まる:
3
dA − 2dU ∧ A = −e−2U ∗ ω.
(3.15)
3
ただし,∗ ω は (Σ, γ) における ω の Hodge 双対2形式である.
【定理 3.6.2 (Neugebauer-Kramer)】 真空 Einstein-Maxwell 系に対する定
常解 (E , Φ, γij ) に対して,次の変換の組み合わせにより得られる新たな組
(E , Φ , γij ) は再び定常解を与える:
i) E = |α|2E , Φ = αΦ
ii) E = E + ib, Φ = Φ
iii) E =
E
1+icE
, Φ =
Φ
1+icE
iv) E = E − 2β̄Φ − |β|2, Φ = Φ + β
v) E =
E
1−2µ̄Φ−|µ|2 E
, Φ =
Φ+µE
1−2µ̄Φ−|µ|2 E
ここで,α, β, µ は複素定数,b, c は実定数である.
Proof. (E , Φ, γij ) に対する方程式は,作用積分
1
√ S=
d3 y γ 3R − e−4U γ ij (∂i E + 2Φ̄∂i Φ)(∂j E¯ + 2Φ∂j Φ̄)
2
Σ
−2U ij
+2e γ ∂i Φ∂j Φ̄
(3.16)
に対する変分方程式となっている.ところが,i)-v) の変換はこの作用積分を不変
にしている.
3.6.2
Ernst 方程式
【定理 3.6.3 (Ernst 方程式)】 軸対称定常な Einstein-Maxwell 系の時空計量
は,ρ, z の関数 U, k, A を用いて,
ds2 = −e2U (dt + Adφ)2 + e−2U [e2k (dρ2 + dz 2 ) + ρ2 dφ2 ]
(3.17)
と表される.また,電磁ポテンシャル Φ も ρ, z のみの関数となり,EinsteinMaxwell 方程式は,E , Φ に対する平坦な2次元空間 (ρ, z) 上の微分方程式
e2U ρ−1 ∂ · (ρ∂E ) = ∂E · (∂E + 2Φ̄∂Φ),
(3.18)
e2U ρ−1 ∂ · (ρ∂Φ) = ∂Φ · (∂E + 2Φ̄∂Φ)
(3.19)
に帰着される.U, A, k は E , Φ を用いて
e2U = Re E + |Φ|2 ,
−4U
∂ζ A = ρe
[i∂ζ (Im E ) + Φ̄∂ζ Φ − Φ∂ζ Φ̄],
e−4U
(∂ζ E + 2Φ̄∂ζ Φ)(∂ζ E¯ + 2Φ∂ζ Φ̄) − e−2U ∂ζ Φ∂ζ Φ̄
4
と表される.ただし,ζ = ρ + iz である.
∂ζ k = 2ρ
(3.20)
(3.21)
(3.22)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
3.6.3
76 目次へ
Kerr-TS class
Weyl 座標 (ρ, z) の代わりに,扁球座標
ρ = σ(x2 − 1)1/2 (1 − y 2 )1/2 , z = σxy
(3.23)
を用いると,Ernst 方程式は,
Ξ=
1−E
1+E
(3.24)
に対する次の方程式に書き換えられる:
(|Ξ|2 − 1) ∂x {(x2 − 1)∂x Ξ} + ∂y {(1 − y 2 )∂y Ξ}
= 2Ξ̄ (x2 − 1)(∂x Ξ)2 + (1 − y 2)(∂y Ξ)2 .
(3.25)
この方程式は,次のような有理型の解,
Ξ=
β
α
(3.26)
を持つ:
δ = 1 : α = px − iqy, β = 1,
2
4
(3.27)
2
2
2
4
δ = 2 : α = p (x − 1) − 2ipqxy(x − y ) − q (1 − y ),
β = 2px(x2 − 1) − 2iqy(1 − y 2 ),
(3.28)
δ = 3 : α = p(x2 − 1)3 (x3 + 3x) + iq(1 − y 2 )3 (y 3 + 3y)
−pq 2 (x2 − y 2)3 (x3 + 3xy 2 ) − ip2 q(x2 − y 2 )3 (y 2 + 3x2 y),
β = p2 (x2 − 1)3 (3x2 + 1) − q 2 (1 − y 2)3 (3y 2 + 1)
−12ipqxy(x2 − y 2)(x2 − 1)(1 − y 2).
(3.29)
ここで,p, q は p2 + q 2 = 1 を満たす実定数である.
3.6.4
Kerr-Newman 解
δ = 1 に対応する解は Kerr 解と呼ばれ,
m=
σq
σ
, a=
p
p
⇔
p=
√
σ
aσ
, q=
, σ = m2 − a2
m
m
(3.30)
として,質量 m,固有角運動量 J/m = a の回転するブラックホールを表す.
この解に,Neugebauer-Kramer 変換を施すと,
(1 − |µ|2 )(px − iq) − (1 + |µ|2 )
,
(1 − |µ|2)(px − iq) + 1 + |µ|2
2µ
Φ=−
2
(1 − |µ| )(px − iq) + 1 + |µ|2
E =
(3.31a)
(3.31b)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
77 目次へ
を得る.この解に対する U, k, A を求めると,
(1 − |µ|2 )2 (p2 x2 + q 2 y 2 − 1)
,
(1 − |µ|2 )2 (p2 x2 + q 2 y 2) + 2(1 − |µ|4)px + (1 + |µ|2 )2
p2 x2 + q 2 y 2 − 1
2k
,
e =
p2 (x2 − y 2 )
2σq (1 − y 2 )[(1 − |µ|4 )px + 1]
A=
p (1 − |µ|2 )2 (p2 x2 + q 2 y 2 − 1)
e2U =
となる.この解は Kerr-Newman 解と呼ばれ,
σ
p= √
,
2
m − e2
a
,
q=√
2
m − e2
√
σ = m2 − e2 − a2 ,
e
√
µ=−
m + m2 − e2
(3.32a)
(3.32b)
(3.32c)
(3.33a)
(3.33b)
(3.33c)
(3.33d)
とおくと,質量 m,固有角運動量 a,電荷 e を持つ帯電したブラックホール解を与
える.時空計量は
σx = r − m, y = cos θ
(3.34)
で定義される座標系 (r, θ, φ, t) を用いて,
ds
2
2
dr
∆Σ2 2 Γ sin2 θ
2
2
2
dt +
+ dθ
=−
(dφ − Ωdt) + Σ
Γ
Σ2
∆
∆ − a2 sin2 θ 2 2a(2mr − e2 ) 2
dt −
sin θdφdt
=−
2
Σ2
Σ
2
dr
Γ 2
2
2
2
+ dθ
+ sin θ 2 dφ + Σ
Σ
∆
(3.35)
と表される [?, ?].ここで,
∆ = r 2 − 2mr + a2 + e2 ,
(3.36a)
Σ2 = r 2 + a2 cos2 θ,
(3.36b)
2
2 2
2
2
Γ = (r + a ) − a ∆ sin θ,
a(2mr − e2 )
,
Ω=
Γ
ホライズン
(3.36c)
(3.36d)
:Killing ホライズンは
ξ · ξη · η − (ξ · η)2 ≡ −∆ sin2 θ = 0
(3.37)
で与えられる.この方程式は,a2 + e2 < m2 のとき 2 つの解 r = r± = m ±
√
m2 − a2 − e2 をもつ.これらの解は,a2 + e2 = m2 の時一致する.
(縮退型ホラ
2
2
2
イズン).さらに a + e > m の時には解が存在しない.分岐型ホライズンが存
在するとき,ホライズン近傍で計量が正則となる座標系は,
du± = dt ±
2mr − e2
dr
dt, dφ± = dφ ± .
∆
∆
(3.38)
目次へ
第 3 章 ブラックホール
78 目次へ
この座標系を用いると,計量は
Σ2 2
∆du2± ∓ 2(2mr − e2 )du± dr + (Σ2 + 2mr − e2 )dr 2
ds = −
Γ
2
Γ sin2 θ
Σ2 + 2mr − e2
dφ± − Ωdu± ∓
+
drdφ± + Σ2 dθ2 . (3.39)
Σ2
Γ
エルゴ領域
Killing ホライズンは,無限赤方偏移面
gtt = ∆ − a2 sin2 θ = 0
(3.40)
とは一致しない.このため,ホライズンの外に,gtt > 0 となる領域が現れる.こ
の領域はエルゴ領域と呼ばれる.
特異点 ホライズンに対応する見かけの特異点を除くと,計量は Σ2 = r 2 +a2 cos2 θ =
0,i.e. r = 0, θ = π/2 に曲率特異点をもつ.θ = π/2 平面に沿ってこの特異点に近
づくと
a2 (2mr − e2 )
gφφ → a +
(3.41)
r2
となるので,この特異点はリング状で,その周の長さは無限大となる.また,e2 = 0
のときには,このリングは閉じた時間的曲線となる. a2 + e2 > m2 では,このリ
ング状特異点は裸の特異点となる.
2
Penrose 過程 エルゴ領域では,無限遠に対する粒子のエネルギー E = −p · ξ が
負となることが可能となる.このため,外部からこの領域に入射した粒子が E > 0
および E < 0 の2粒子に分裂し,E < 0 の粒子がブラックホールに吸収されると,
結果的にブラックホールからエネルギーを取り出すことができる.いま,Kerr BH
に対して,BH の回転角速度を
a
ΩH := Ω(r+ ) =
(3.42)
2µr+
により定義し,
k := ξ + ΩH η
(3.43)
とおくと,k はホライズン上で光的な Killing ベクトルとなる.BH に吸収される
粒子の4元運動量を p とすると
p·k ≤0⇒
E > ΩH L
(3.44)
が成り立つ.この不等式をブラックホールの質量および角運動量に対する式とし
て書くと,
√
m2 − a2
κ
dA; κ = 2
0 < dM − ΩH dJ =
(3.45)
8πG
r+ + a2
となる.すなわち,ブラックホールの面積は必ず増大する.したがって,Penrose
過程により Kerr BH が全角運動量を失うと,後に残される BH の質量は,
√
1√ √
mIR :=
m( m − a + m + a)
(3.46)
2
で定義される簡約質量以上となる.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
79 目次へ
BH 熱力学 Kerr-Newman BH の面積 A,質量 M ,角運動量 J ,電荷 Q の間には
κc2
dA = dMc2 − ΩH dJ − ΦH dQ
8πG
の関係がある.ここで,κ は BH の表面重力
m2 − a2 − q 2
2
κ=c
,
2
r+
+ a2
(3.47)
(3.48)
ΦH は BH の電気ポテンシャル Φ の極での値
ΦH =
1
Qr+
2
4π0 r+ + a2
(3.49)
である.温度として Hawking 輻射の温度
kB TH =
κ
2πc
(3.50)
を用い,BH エントロピーを
S
c3
=
A
kB
4G
(3.51)
で定義すると,上記の公式は可逆過程に対する熱力学の第2法則と一致する.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
80 目次へ
§3.7
一意性定理
3.7.1
諸定義
【定義 3.7.1 (dominant energy condition)】 Tµν が任意の未来向き時間的ベクト
ル X, Y に対して,T (X, Y ) ≥ 0 となるとき,dominant eneryg condition
を満たすという.
【定義 3.7.2 (定常ブラックホール時空)】 (M , g, ξ) が次の条件を満たすと
き,定常正則予言可能であるという:
i) (M , g) は準 Cauchy 面 Σ に関して正則予言可能.
ii) ξ は I + および I − の近傍で時間的な Killing ベクトルで,M の等長変換 θt
を生成する.
iii) (M , g) は Einstein 方程式の解で,対応する Tµν は dominant energy condition
を満たし,Tµν に寄与する物質は性質のよい双曲型方程式に従うスカラ場な
いし電磁場のみである.
【注 3.7.3 (時空のカテゴリー)】 以下,特に断らない限り,時空は常に定常
正則予言可能とする.
【定義 3.7.4 (non-rotating)】 ホライズン上で ξ · ξ = 0 となるとき,(M , g, ξ)
は非回転的であるという.
【命題 3.7.5 (強剛性定理:Hawking 1972, HE prop. 9.3.6)】 時空が解析的で
物質場は双曲型の方程式に従い,かつ弱エネルギー条件が成り立つとする.
このとき,正則な定常解のイベントホライズンは Killing ホライズンとなる.
さらに,漸近的に時間的な Killing ベクトルを k とするとき,
i) (非回転的)イベントホライズンは k に関する Killing ホライズンとなる
ii) (回転的)別の Killing ベクトル m が存在してそれに関して軸対称である
のいずれかが成り立つ.
目次へ
第 3 章 ブラックホール
3.7.2
81 目次へ
ホライズンの位相
【命題 3.7.6 (HE prop.9.3.2, prop.9.3.3, Chrusciel & Wald 1994)】 B(τ ) の
各連結成分(ブラックホール)の境界は S 2 × R と同相.
ある τ に対して B(τ ) が連結ならば,
J + (I − , M¯) ∩ J¯− (I + , M¯) ∩ M ≈ [0, 1) × S 2 × R
【注 3.7.7 (付加条件)】 Condition 1:
• DOC := J + (I − , M¯) ∩ J − (I + , M¯) ≈ S 2 × R2
• H + := J˙− (I + , M¯) ≈ S 2 × R
Condition 2: Non-rotating case に対して,DOC で ξ · ξ < 0.
【命題 3.7.8 (HE prop.9.3.4)】 Condition 1 & static ⇒
3.7.3
Condition 2
非回転ブラックホール
【命題 3.7.9 (HE prop.9.3.5, Carter 1973)】 Non-rotating & Condition 2
⇒ static
【命題 3.7.10】 [Israel 1967,1968, Muller-zum-Hagen et al 1973,1974,
Robinson 1977] Static & Conditions 1 ⇒
DOC: 球対称
【命題 3.7.11 (Lindblom 1980)】 Static, Condition 2 and 3-geometry:conformally
flat⇒
球対称
【命題 3.7.12】 [Bunting&Masood-ul-Alam 1987, Ruback 1988, Masoodul-Alam 1992] Static and Condition 2 ⇒ 3 Geometry: conformally flat
【定理 3.7.13 (Uniqueness for Non-rotationg BH)】 Non-rotating and Condition 2 ⇒
Schwarzschild or Reissner-Nordstrom
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第 3 章 ブラックホール
3.7.4
82 目次へ
軸対称ブラックホール
【命題 3.7.14 (Circular symmetry)】 [HE prop.9.3.7, Papaetrou 1966,
Carter 1969] (M , g): axisymmetric & stationary regular predictable
Tµν : empty or source-free EM fields
⇒ Killing ベクトル ξ, η([ξ, η] = 0) は 2-surface orthogonal.
【命題 3.7.15】 [HE prop.9.3.8, Carter 1971, 1973] 前命題の条件 &
Condition 1 ⇒
ρ2 := (ξ · η)2 − (ξ · ξ)(η · η) > 0 in DOC (対称軸上を除い
て),ρ2 = 0 on H + .
【命題 3.7.16】 [Carter 1971, 1973] 前命題の条件のもとで,定常軸対称
楕円体座標 λ, µ, φ, t が DOC の global chart となる:
dλ2
dµ2
2
ds = Ξ
+
+ Xdφ2 + 2W dφdt − V dt2 .
2
2
2
λ −c
1−µ
この座標系のもとで
ρ2 = (λ2 − c2 )(1 − µ2 )
c = M − 2ΩH J − ΦH Q.
また,対称軸は µ = ±1,ホライズンは λ → c.
【命題 3.7.17 (Ernst 形式での表現)】 [Carter 1970, 1973] 前命題の条件
下で,Einstein 方程式の解は2次元時空
ds22 =
dλ2
dµ2
+
(−1 < µ < 1, c < λ < ∞)
λ 2 − c2 1 − µ 2
上での場 X, Y, E, B に対する変分方程式
δS = δ Ldλdµ = 0;
|∇X|2 + |∇Y + 2(E∇B − B∇E)|2
|∇E|2 + |∇B|2
L=
+2
2X 2
X
に対する次の境界条件を満たす解で与えられる:
• X, Y, E, B とその微係数は有界.
• µ → ±1 のとき,X, ∂λ (E, B, Y ), ∂µ Y + 2(E∂µ B − B∂µ E) はゼロに近づく.
• λ → ∞ のとき,
E = −Qµ + O(1/λ) , B = O(1/λ) ,
Y = 2Jµ(3 − µ2 ) + O(1/λ) , λ−2X = (1 − µ2 )(1 + O(1/λ)).
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第 3 章 ブラックホール
83 目次へ
【命題 3.7.18 (empty case)】 [Robinson 1975] Prop.3.7.17 の条件下で,
empty(E = B = 0) のとき,各 C, J に対して解は高々1個.
【命題 3.7.19 (一般の場合)】 [Robinson 1974] Prop.3.7.17 の条件下で,解
の集合の各連結成分は高々3個のパラメーター C, J, Q で記述される. 【定理 3.7.20 (No hair theorem)】 [Mazur 1982, Bunting 1981, 1983]
Condition 1 のもとで,高々電磁場しか存在しない系に対する Einstein 方程
式の rotating, stationary regular predictable な解は,Kerr-Newmann 解に限
られる.
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2002年度大学院一般相対論講義 小玉 英雄 京都大学基礎物理学研究所