数理統計学
第12回
西 山
<検定>に入ります
推定と検定は一部重なっています。(前半)
検定独自の話題は<検出力>です。(後半)
検定は<二択問題>です
<帰無仮説>と<対立仮説>が要点。
<両側検定>と<片側検定>
教科書: 163~164頁
【例題】検定入門
ある高校の1年生からランダムに9名を選ん
で100メートル走の記録をとると、
12.32、15.28、14.19、13.72、13.26
14.08、14.06、11.82、12.80
だった。学年全体の平均が12.0秒に達してい
ると思ってよいか?
X  13.5
ˆ  1.14
2
【解答】推定ですませても可
1.14
13.5  ① 
9
サンプル数=9個 → 自由度=8
① = 2.306
95%信頼区間: 12.7~14.3
母集団の平均が12.0秒とは考えられない
【解答】その2
帰無仮説
母平均に12.0秒を仮置きして、
サンプル平均を標準化のうえ判断
13.5  12.0
 4.21
1.14
9
T値が2.306(95%範囲)を超えることは
ありえないと判断
推定と検定は、同じ割り切り
13.5  12.0
 4.21
1.14
9
13.5  
 2 .3 
 2 .3
1.14
9
ありえない!
棄却域
ありえない
採択域
ありえる
棄却域
ありえない
では、学年平均が13.0秒と考えていいですか?
練習問題【1】
正常なブレーキなら時速40KMから急ブレーキをかけた
とき40メートルで止まれるはずとする。試みに同じ車で
10回の停止実験をしたところ、
39.9, 41.4, 39.9, 41.3, 42.1, 42.0, 41.6, 42.3, 39.8, 41.8
という結果になった(単位:メートル)。
ブレーキは正常と判断してよいか。判断の信頼性とあ
わせて答えなさい。
ヒント:
標本平均=41.21
不偏分散=0.952
推定で回答します
0.95
 P 2.262  T  2.262
自由度=9


X


 P  2.262 
 2.262
2


ˆ

n


2
2 

ˆ
ˆ



 P X  2.262
   X  2.262


n
n
 サンプル平均

標準誤差

0.952
0.952 

 P 41.21 2.262
   41.21 2.262

10
10


 P40.5    41.9
平均40メートルでは止まれません
仮置きする方が簡単!
41.21 40
T0 
 3.92
0.952
10
ブレーキは異常
では、母平均=41と判断してよいか?
41.21 41
T0 
 0.68
0.952
10
41はありえる
標本平均=41.21
不偏分散=0.952
【例題】片側検定が必要な場合(左側)
あるメーカーの新型電池は耐久時間を1000時間と表示
している。最近、「すぐ切れる」というクレームが相次い
で寄せられた。そのため、20個のサンプルをとって、計
測してみると、以下の結果になった。
X  980
ˆ  720
2
授業
ここまで(1限)
電池の生産に異常はないと言えるか?
検定を二択にする
H0 :   1000 vs H1 :   1000
帰無仮説
(正常)
仮置き!
対立仮説
(短い)
【考え方】寿命が長すぎても問題なし
帰無仮説(=仮置き値): μ=1000時間
有意水準
5%
異常
5%
限界値
正常
95%
1000
【解答】
限界値はT分布で決めると厳密!
980 1000
T0 
 3.3
720
20
このサンプルは偶然ではない
異常発生!
練習問題【2】
正常なブレーキなら時速40KMから急ブレーキをかけたと
き40メートルで止まれるはずとする。甘くなっていたブレー
キを修理して試したところ
41.8, 41.6, 41.1, 39.1, 39.2, 39.8, 40.7, 41.0, 40.6, 43.1
という結果になった(単位:メートル)。
ブレーキは甘くないと判断してよいか。
ヒント:
標本平均=40.8
不偏分散=1.483
どんなT値を異常と判定する?
40.8  40
T0 
 2.1
1.483
10
異常とするのは
高いT値だけ!
異常
正常
異常
<片側検定>と呼びます
40.8  40
T0 
 2.1
1.483
10
T値は高すぎる
ブレーキはまだ甘い
限界値
正常
異常
検定は二択問題です
帰無仮説(仮置き)
対立仮説(異常状態)
 ブレーキは正常
vs ブレーキは異常
 ブレーキは正常 vs ブレーキは甘い
 ブレーキは正常 vs ブレーキがききすぎる
• 血圧は正常 vs 高血圧!
• 運転技術は十分 vs まだ未熟
• 得点は合格 vs 得点は不合格
片側検定
標準値(T値)で限界値を決める点が勘どころ
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第12回(7月11日)