高次元ブラックホールの
安定性解析
京都大学天体核研究室D3
村田佳樹(ムラタケイジュ)
Motivation1
variety of BH solutions
Myers-Perry BH
They can have same
masses and angular
momenta.
black ring
d=5: Emparan & Reall (2001)
d>5(thin ring limit) : Emparan et al (2007)
The uniqueness theorem does not hold in higher dimension.
What is the final state of the gravitational collapse?
What kind of BH is formed in LHC?
Stability analysis of higher dimensional BHs
Motivation2
Gauge/Gravity correspondence
Most of the formalism of stability analysis of higher dimensional BH
can be applied to asymptotically AdS spacetime.
Gauge/Gravity correspondence
Instability of AdS BHs is regarded as a phase transition in dual thoery.
Understanding of phase structure of dual theory.
4次元ブラックホールの安定性
Schwarzschildブラックホール
安定性解析
Regge-Wheeler,1957
の偏微分方程式
モード展開によって、常微分方程式に落とすことができる。
evenモードの解析
scalar spherical harmonicsで展開できるモード
はS^2のmetric
ゲージ条件
マスター変数
シュレーディンガータイプのマスター方程式
oddモードの解析
vector spherical harmonicsで展開できるモード
4次元ではexplicitに
と書ける。
ゲージ条件
マスター変数
シュレーディンガータイプのマスター方程式
赤: odd
青: even
不安定性の存在
しかし今は、V > 0 なので
のモードの存在
の束縛状態は存在しない。
4次元Schwarzschildブラックホールは安定
Kerrの場合も安定性が示されている。
4次元の真空におけるブラックホールは安定である。
唯一性定理と安定性
Kerrの安定性を唯一性定理から理解してみる。
4次元真空では、Kerrブラックホールしかないのだから、
直観的にはKerrブラックホールは安定である気がする。
この直観は mathematical にもある程度正しい。
唯一性
Kerrブラックホールにstationary perturbationが存在しない。
の解はない。
軸対称摂動を考える。
ω^2 は実数である。
もし、軸対称摂動に対し、Kerr BHが不安定だとしたら、
ω^2
stationary perturbation
a : Kerr parameter
Schwarzschild BHは安定だから、
aの小さい領域では、ω^2 < 0 のモードはない。
stationary perturbationの存在
唯一性に反する。
軸対称摂動は安定
注)この議論では、非軸対称摂動の安定性は分からない。
対称性と変数分離可能性
Sch BHの安定性解析では、摂動方程式が変数分離可能であることが重要だった。
では、どういう場合に変数分離が可能なのか?
We define the operator
If there are operators
as
which satisfy
The perturbation equation can be separated and reduces ODEs.
example
4-dimensional Schwarzschild BH
Killing vectors of this spacetime are
time translation symmetry
spherical symmetry
We define operators
are simultaneously diagonalizable.
Eingen functions are
and
We also find
Modes with different
separable
do not couple each other in perturbation equation.
stability analysis of rotating
black holes
Killing vectors of general D-dimensional Myers-Perry are
(n+1) Killing vectors
n+1 < D-1 (for D >= 4)
So, in general, the symmetry is not enough to separate the perturbation
equation.
However, in some cases, the symmetry is enhanced and the perturbation
equation of the Myers-Perry spacetime becomes separable.
Myers-Perry BH安定性解析の歩み
dimension
angular
momenta
any
すべてゼロ
つまりSch BH
mode
all modes
stability
Ishibashi &
Kodama (2003)
stable
tenor modes of
(D-3)-dimensional
base space
Λ=0 : stable
D=5
some lower modes
and superradiant
modes
Λ=0 : stable
D>=7
tenor modes of
(D-4)-dimensional
base space
D=7,9,11,...
other = 0
Λ<0 : unstable
Λ<0 : unstable
Λ=0 : stable
Λ<0 : unstable
D>=7 で三つ以上の角運動量が等しい場合、
tensor modeの変数分離性が示されている。
いずれの研究も摂動方程式の変数分離性を用いている。
Kunduri, Lucietti
& Reall, (2006)
KM & Soda (2008)
Kodama, Konoplya
& Zhidenko (2009)
Oota & Yasui (2008)
Myers-Perry BH with single
rotation parameter
≒ 4D Kerr
part is homogeneous.
t, φ directions are also homogeneous.
r, θ directions are inhomogeneous.
This spacetime is cohomogineity – 2.
The perturbation equation is given by PDE of (r, θ).
Myers-Perry BHの不安定性
(定性的理解)
(Emparan & Myers, 2003)
large angular
momentum
Myers-Perry BH
pancake like BH
≒ black brane
Gregory-Laflamme instability?
Myers-Perry BH with a large angular momentum may be unstable.
5次元MPBHの
軸対称摂動は安定
5D、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが球形
森澤、井田(2004)
Myres-Perry BH
5次元のMyres-Perryに定常軸対称摂動は存在しない。
軸対称摂動に対して、MPBHは安定
D>=6を考える。
Teokolsky formalismは
高次元Kerrに使えないのか?
この球面部分のs-modeのみ考える。
EOM
Ricci tensorからの寄与
4D Kerrではこのターム達
はなかった
上の式だけでは方程式が閉じない。
式の数が膨大に。
変数分離性はよく分らない...
我々のアプローチ
with 棚橋典大, 田中貴浩
変数分離は諦めて、摂動方程式を数値的に解いてしまおう。
O.Dias et al. (2009) でd=7,8,9の計算はやられている。
small angular momentum
large angular momentum
unstable
stable
At a critical value of
the angular momentum,
there must be a stationary perturbation.
ブラック赤血球
deformed Myers-Perry BH
The existence of deformed
Myers-Perry BHs
The existence of instability of
Myers-Perry BHs
We would like to find such a deformed Myers-Perry BH by the perturbation.
stationary perturbation
background metric
perturb
perturbation variables
They are functions of (r, θ).
This perturbation retains the symmetry of the background solution.
perturbation equation
where
Variables with tilde are perturbed variable.
constraint equations
These constrants satisfy Cauchy-Riemann equations
If we impose constrants at boundaries,
constrants are satisfied in whole region.
How to solve perturbation equations
We rewrite the perturbation equation abstractly as
derivative operator
set of perturbation variables
To solve this elliptic equation, we modify the equation as
solution
initial function
the largest eigen value of
eigen function
We solve the ‘‘time evolution” numerically
and trace the eigen value with various angular momenta.
If the eigen value crosses the zero, it means the onset of the instability.
Result in d=7
不安定性を意味しない
onset of instability
ゼロモード
a = 1.41
a = 3.09
a=1.41のゼロモード
は不安定性を意味しない
我々の数値計算では、
自明に存在する mass perturbation と angular momentum perturbation
を取り除くために、摂動でホライズンの温度 T と角速度 Ω が
変わらないという条件を課している。
しかし、Jacobianを計算すると、
では、(T,Ω)を固定しても(M,J)は固定されない。
よって、a/r_+ = 1.41 (d=7)では、自明な定常摂動が見つかってしまう。
a/r_+ = 3.09が不安定性のonset
O.Dias et al. (2009)と同じ結果
結果
Myers-Perry BHの軸対称不安定性のonsetは、
a/r_+ = 3.09 (d=7)
a/r_+ = 4.06 (d=6)
O.Dias et al. (2009)では得られていない結果
New black hole phase
We found the stationary perturbation.
instability of Myers-Perry BHs
existence of new BH phase
If
is a stationary perturbation,
is also a stationary perturbation.
Phase structure
Area of
the horizon
Mass is fixed
Myers-Perry BH phase
?
?
Angular
momentum
Future problem:
We must construct new BH solutions and reveal the phase structure of
higher dimensional BHs.
このformalismはblack ringにも
適用できるか?
5D、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが S^2 × S^1
Pomeransky-Sen’kov black ring
black ringには、定常軸対称摂動はない。
我々の手法はそのままでは使えない。
森澤、富沢、安井(2007)
ω^2
ω^2
Ring半径
or
Ring半径
black ringの軸対称摂動は角運動量に依らず
常に安定、もしくは不安定。
摂動の時間依存性を入れた解析が必要。
もしくは、
安定か不安定かを調べるだけなら、あるlimitで安定性解析をすれば良い。
問題が簡単化する可能性
Summary and Future work
Myres-Perry black holeに関してはだんだんと(不)安定性が分かってきた。
Myers-Perry BHの不安定性から、D>=6では多くのブラックホール解
が存在することが示唆される。
...
D>=6 での厳密解の構成法の確立
数値計算での解の構成
black ringの安定性は、ほとんど何も分かっていない。
Myers-Perryで用いた手法の応用
頭を使って問題を簡単化
Numerical Relativity
高次元ブラックホールは
やれることがなくなったか?
面白さ
?
難しさ
問題が解かれるたびに新たな問題が浮上するという状況。
問題は難しいが、努力すればそれなりに面白い結果が得られる。
まだ、それほど悲観する状況ではない。
Summary and Future work
We studied the dynamical instability of Myers-Perry BHs with
single rotation parameter.
We found the onset of the instability in d=6, 7 dimesnions.
d=6 :
d=7 :
other dimensions
future work
Kerr-AdS BH
AdS/CFT
Our results also suggest the existence of the new BH phase.
construction of the BH solution in nonlinear regime
future work
高次元ブラックホールの(不)安定性
回転のないブラックホール
高次元Schwarzschildブラックホール
安定
(Ishibashi & Kodama, 2003)
ブラックストリング解
Schwarzschild時空
余剰次元
摂動
4次元Schwarzschildとの違いは余剰次元の存在だけ。
でモード展開すれば良い。
evenモードの
シュレーディンガータイプのマスター方程式
モード
k=0.6
k=0.4
k=0.2
負エネルギー束縛状態の存在
のモードが存在
ブラックストリングは不安定(Gregory-Laflamme不安定性)
高次元ブラックホールは安定であるとは限らない。
Results2
D=7
onset of instability
d=8 , 9, 10 ...
work in progress
Results1
The
D=6
onset of instability
is the Kerr parameter defined by
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高次元Kerrブラックホールの 安定性解析に向けて