学部:天体輻射論I
大学院:恒星物理学特論IV
講義の狙い=天体輻射の基礎的な知識を、
(1) 天文学の学習を始めた学部3年生
と、
(2) 学部時代に天文学の講義を取らなかった大学院生
に与える。
天体輻射に関する知識は(ほとんど)ゼロと想定しているので、どんな質問でも歓
迎します。
毎授業毎に出す問題に対し、次の授業にレポートを出すと単位が取得できます。
講義のファイルは
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。
質問は
[email protected]
へ。
第1課: 輻射強度 Intensity
1.1.フラックス(Flux)と輻射強度(Intensity)
位置=x、法線ベクトル=kの微小面dS=kdSを考える。
dΩ´=k´dΩ´=k´方向の微小立体角
n(x、k´)=位置x、進行方向k´の光子の個数密度
dΩ=k´dΩ
(k・k´)=cosθ である。
k
k′
θ
dS=kdS
dSを通る光のエネルギー dFを計算してみよう。
n(x、k´)
時間dt内にdSを通るdΩ´方向の光子数dNは、
dSのk´方向射影=dS・k´= (k・k´) dS=cosθdS
なので、
dN= c n(k´)cosθdΩ´dS dt
(c=光速)
θ
k´
dS
k
cosθdS
ε(ν)=hν=光子のエネルギーを用
いると、
時間dt内にdSを通るdΩ´方向の
光子のエネルギーdEは、
dΩ´=k´dΩ´
dE= εdN
= cεn(k´)cosθdΩ´dS dt
単位時間にdSを通る光子エネルギー
dFは、dF=∫(dE/dt)dΩ′
dF(k)=∫cεn(k´)cos θdSdΩ´
=dS∫ cεn(k´)(k・k´) dΩ´
= ∫ cεn(k´) ( dS・ dΩ´ )
dS=kdS
θ
IntensityとFlux
I(k´)=cεn(k´)
I(k´)
dΩ′
=輻射強度
(Intensity)
F
F=∫I(k´)dΩ´
積分
=輻射流束(Flux)
前ページの式は、I とFを使う
と
dF(k) = ∫I(k´) dS・ dΩ´
= dS・F
=dS F(k)
F(k)
F
F
k
dS
射影
改めて、輻射強度(Intensity)
k方向微小面dSを通り、同じくk方向の微小立
体角dΩ方向に向かう、光子のエネルギーは単
位時間当たり、
I(k)dSdΩ
である。
dΩ
I(k) =cεn(k)は、k方向の一立体角当たり、単
位時間に流れるエネルギー流量である。
dS
改めて、フラックス
dSを通る光子のエネルギーは、
単位時間当り
I(k´)
dS=kdS
F(k)dS=dS∫I(k´)cosθdΩ´
θ
である。
F(k)は、
k方向の面に対するフラックス
と呼ばれる。
フラックス(輻射流束)ベクト
ルFのk成分とみなせる。
dΩ´=k´dΩ´
1.2. Intensityの表示
光子の振動数(ν)分布、または波長(λ)分布を考える時は、
I=∫I(ν)dν =∫I(λ )dλ となる I(ν)や I(λ)を使う。
Intensity I(ν) の単位
dE=I(ν) dSdΩdtdν
dE=エネルギー=J(ジュール)
dS=面積=m2
Ω
dΩ=立体角=無次元
dν=周波数=Hz=s-1
dt=時間=s
従って、J=I(ν) m2 ss-1
I(ν)=J/m2 /s/s-1=W/m2 /Hz=J/m2
dS
dΩ
I(λ) : Intensity の別な表現
dE=I(λ)dSdΩdtdλなので、前と同様に単位を揃えると、
J=I(λ)m2 s m となり、
I(λ)=J/m2 /s /m=W/m3
I(ν)から I(λ)への変換?
dI=I(ν)dν = I(λ)dλ
νλ=c なので、 dν/ν=ーdλ/λ
dI=I(ν)ν(dν/ν) = I(λ)λ(dλ/λ)
と書き直すと、
I(ν)ν = I(λ)λ
である。
νI(ν)= λI(λ)
dI=I(ν)dν=I(λ)dλ
=[νI(ν)](dν/ν) = [λI(λ)] (dλ/λ)
3
ln10λI(λ)
2
2
I(λ)
1
1
0
0
0
1
2
λ
3
-1
0 0.3
logλ
1
1.3. 輻射強度Ⅰ不変の法則
吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。
Ⅰ
=
Ⅰ´
dS´から輻射強度Ⅰ´、立体角dΩ´で放射した光がR離れ
たdSを輻射強度Ⅰ´、立体角dΩで通過する。
dE =Ⅰ´dS´dΩ´=ⅠdSdΩ
dS=R2dΩ´
dS´=R2dΩ
Ⅰ´R2dΩdΩ´=ⅠR2dΩ´dΩ
よって、Ⅰ=Ⅰ´
R
dS´
Ⅰ´
dΩ´
Ⅰ
dΩ
dS
もう少し詳しく光線の広がり具合を観察すると、
S
S1 =X12Ω
S2 =X22Ω
Ω
Ω1=S/X12
Ω2 =S/X22
輻射強度一定の法則とLiouvilleの定理
SをΩで出た光子の集団の運動を、位置(X、S)と運動量(P,Ω)の位相空間
の中で考える。
実空間(S)で広がる。 ⇔ 運動量空間(Ω)で絞られる。(SΩ=一定)
位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変(Liouvilleの定理)
S
S1
S0
X1
Ω0
Ω
Ω1
X
Intensityと位相数密度
I(k,ν)=cεn(k、ν)
速度がk方向立体角dΩ内、振動数
νがdν内にある光子の位相数密度は、
Pz
dPz
dPx
Py
dn=n(k、ν)dΩdν
光子の運動量p分布関数 f(p)が直交座標系px、
py、pzで表示されている場合、hν=cp=εから、
Px
p2 dΩ
dn=f(p)dpxdpydpz
P
= f(p)p2dΩdp= f(p)(hν/c)2 (h/c)dΩdν
上の式と見比べて、
n(k、ν)= f(p)(h/c)3ν2
I(k,ν)=cεn(k、ν)= f(p)(h4ν3/c2 )
dPy
dS
1.4. 輻射強度 I の簡単な例
(A) 等方的に光る壁(n=壁の法線ベクトル)
I(x,k)=Io (k・n>0) 表面輝度(Surface Brightness)
=0 (k・n<0)
k
y
x
I(y,k)=I(x,k)=Io (kが壁をヒットする時)
=0
(kが壁をヒットしない時)
y
点yから見た壁
z
点zから見た壁
小さくなるが、壁の色、明るさは変わらない
壁表面でのフラックス F
F =∫Io cosθdΩ
=∫Io cosθ2πsinθdθ
=2πIo ∫cosθsinθdθ
=πIo
黒体輻射を等方に出す壁からのフラックス
Fo=πB(T)=σT4
(B) 等方的に光る球面
I(R、θ)=Io
(|θ|<90°)
R
I(D、θ)=Io ( sin θ< R/D )
θ
=0 (otherwise)
D
F(D)=∫ I(D、θ)cosθdΩ
=2πIo ∫cosθsinθdθ
= 2πIo[sin2θ/2]
=πIo(R/D )2
球状天体のフラックスと輻射強度
半径Rの球表面でIntensityが等方的、
I(θ)=A
θ
I(θ)
とする。
球表面でのフラックスFoは?
Fo=∫I(Ω)cosθdΩ
= ∫∫A cosθdφsinθdθ
=2πA∫0π/2cosθsinθdθ
= 2πA∫01μdμ
2R
=πA
球面全体からは、
L=4πR2Fo=4π2R 2A
距離DにおけるフラックスF(D)と輻射強度I(D,θ)
D
θ´
等方的輻射強度Aの半径Rの
球中心から、D離れた点での
I(D,θ)とF(D)を求めよう
θo
θ
I(D,θ)
R
I(D,θ)=I(R,θ′)=A なので、
F(D)=∫I(D,θ)cosθdΩ=2πA∫μo1μdμ=πA(1-μo2)= πA(R/D)2
=L/4πD2
X
Y
I(X,θ)
F(D)
I(Y,θ)
A
A
0
θo
π/2
0 θo
θ
R
X
D
π/2
θ
Y
(C) 体積輻射率ε
微小体積dVからの輻射率がεdVのとき、εを体積輻射率と呼ぶ。光度(エネルギ
ー総放出率)Lの星が数密度nで分布している時、ε=Lnである。
dSから視線方向Xの地点での、体積輻射率をε(X)とする。dSから見て、dΩに
含まれる体積dV=dsdX=X2dΩdX内の
ds=X2dΩ
dS
dΩ
dω
X
dX
各点からdSを見込む角はdω=dS/X2である。したがって、dVからdSを通ってdΩ
に放出されるエネルギー率は、dIdSdΩ=εdVdω/4π=εX2dΩdXdS/ 4πX2=(ε/4π
)dXdSdΩ。
コラム密度と輻射強度
このように、微小長さdXからI(X)への貢献は、dI= (ε/4π)dX である。
光度Lの星が数密度n(X)で分布している。 ε(X)=Ln(X)
コラム密度 N= ∫n(X)dX とすると、I(X)=∫dI= (L/4π)N となるので、
上の二つの場合のように、密度分布が異なっていてもNが等しいと、I も等し
い。このように、I は N と直接つながっている。
銀河の表面輝度
例
XY方向には無限に広がり、Z方向に厚みD=100pcの平らな銀河を考える。
星の数密度は n=2x102/pc3、星の光度は太陽と同じで L=Lo とする。
この星団を表面からの高さ、Hから観測したときの Intensity Io(θ)を
求めよう。θは真下方向からの角度である。
I(θ)
H
100pc
θ
前々ページでやったように、I(θ)=(Lo/4π)N(θ)
ここに、 N(θ)=n・D/cosθ
従って、I(θ)= (Lo/4π)n・D/cosθ=(104 /4π)(1 /cosθ)(Lo/pc2)
5
Ⅰ
(103Lo/pc2)
I(θ)にH(面までの距離)が
入っていないことに注意せ
よ。
4
3
2
1
0
0
30
60
θ(°)
90
(D) 望遠鏡のF比
直径D、焦点距離 f の収差なし単レンズ L を考える。焦点位置Fには天体A
の像Bができている。Fに置いた画像検出器(写真乾板、CCD)が受ける輻射量
を考える。
f
表面輝度 I の天体A
D
L
B=天体Aの像
F
Aからの光はB上で円錐状に焦点を結ぶ。円錐の頂角を2θo とすると tanθo≒ θo
=D/2f 、円錐の張る立体角Ωo=πθo2=(π/4)(D/f)2である。
Bでの輻射強度 I´(θ) = I
( θ<θo)
= 0 (θo<θ)でI´(θ)=0である。
Bでのフラックス T=∫I´(θ) cosθdΩ
= (π/4)I(D/f)2
つまり、広がった天体画像の表面の明るさはF比= f/D で決まる。口径が大きくて
も F比(通常Fと書く)が大きいと画像は暗くなる。
問題1: 出題平成16年10月4日
提出10月18日
A,Bどちらかの問いに答えよ。
天文専攻の学生は、なるべくならBを選択せよ。
A.太陽光度(L=Lo)の星からなるリング状銀河がある。リングの形状は、
厚み W=1kpc、 外半径 R1=10kpc、 内半径 R2=8Kpc
であ
る。リング内の恒星密度分布は一様で、n=100星/pc3である。この銀河 を1
Mpc離れて真横から観測したときの輝度分布 I(W/m2)を、中心から縁方 向
への角度θの関数として表わせ。
さらに結果を図示せよ。
グラフの縦軸は log I (W/m2)
横軸はθ(′)
を使用すること。
θ
B.太陽光度(L=Lo)の星からなる、半径R=10pcの球対称な星団がある。この
星団を距離D=10kpc離れた点から観測し、下のような輝度分布 I(θ) を得た。
I=Io[1-(θ/θ o)2]
ここに、 Io=3.36 10-8 W/m2 は中心方向の表面輝度、
θ o=3.44′は星団の中心から縁までの角度である。
星団内部の恒星密度分布 n(r)を中心からの距離 r も関数として表わせ。
次に、その結果を縦軸 n(個/pc3)、横軸 r(pc)のグラフとして図示せよ。
点光源では?
点光源からの輻射強度の定義にはこれまでの方法が通用しない。
点光源に対しては、通常、フラックスのみ使用する。
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