平成22年度前期期末試験問題E5信号処理No.1(2010.08.09 Mon. 3・4) No. Name
問1 以下の文章はフーリエ級数展開の複素指数関数表現の
導出過程を説明したものである。( )内に最適な語句や数
式・数値を記入せよ。
周期 .T.の周期関数 .f.(t).は、d0 .を直流成分、ak .を偶関数成
分、bk.を奇関数成分として、次式のように展開できる。
∞
f (t) = ∑ a k cos kω t + d0 +
. .
k=1
∞
∑ bk sin kω t
k =1
ここで、各係数は次式で計算される。
ak = ( )(k.= )
d0 = ( )
bk = ( )(k.= )
第1項および第3項のcos,sin.のように、信号分解のベースに
なる関数を( )関数という。
a0 = ( ) = ( )d0
となり、d0.は.a0.を用いて表すことができるので、上記の展
開式は以下のように書き改められる。
f (t) =(① )+
2
以上を統合すると、展開式は.ck.と複素指数関数を用いた
簡便な形式で表現され、
f (t) = ( )
. .
また、係数を求める式も次のひとつで済む。
ck = 1 (ak − jbk )
2
= ( )(k.= )
問2 図に示す方形波の複素指数関数
表現によるフーリエ級数展開を行い
たい。以下の設問に答えよ。
1
f (t)
t
0
T/2
T
(1).問題の方形波を1周期につき関数で表せ。
ここで、係数.ak.につき、k.=0.とすると、
. .
1 (③) e − jkωt = ( )
∞
∞
k =1
k =1
f.(t) = (t.= , ), (t.= )
(2).展開係数.ck.の定義式(計算式)に、(1)の関数を代入して
計算せよ。最後は複素指数関数をオイラーの公式で実
部、虚部に展開・整理すること。
∑ a k coskω t + ∑bk sin kω t
次に、cos,sin.を複素指数関数表示すると、
cos.ωt = ( ), sin.ωt = ( )
.
であるから、上記の展開式は次のように変形できる。
f (t) = ① +
. .
∞
∞
k =1
k =1
∑ a k {上記のcos} + ∑ bk {上記のsin}
= 1 {a0 +(② ) e + jkωt }
2
+ 1 (③ ) e − jkωt
2
ここで、 ck =
1 (a − jb )
k を考えると、
2 k
c0 =
であるから、展開式の第1項は.ck.を用いて次のように簡略化
できる。
1 {a0 +(②) e + jkωt } = ( )
2
一方、第2項は.k.=−1,.−2,.−3,....と.k.を負方向にとると、次の
ように書き改めることができる。
1 ( ) e + jkωt
2
これは.ak.が偶関数成分、bk.が奇関数成分であることに由来
する。よって、第2項も.ck .を用いて次のように簡略化でき
る。
(3).このうち、c0はf.(t) の平均値であるので、波形から容易
に算出できる。その値を答えよ。
c0 =
平成22年度前期期末試験問題E5信号処理No.2(2010.08.09 Mon. 3・4) No. Name
1
を除いた
2kπ
各.k.に対する実部、虚部の値を求め、表に記せ。
(4).(2)の展開係数において、共通項である
k
実 部
虚 部
フーリエ変換とフーリエ逆変換の定義式を比較すると、変
数の違い(t,ω)、位相回転因子の極性の違い(e − jω t,e + jω t)、振
幅スケール(2π)の違いだけであるので、いずれの変換も本
質的には同じ処理である。したがって、.f.(t).<=>.F.(ω).なら
1
ば..F .(t).<=>.( )という性質があり、これを
2
フーリエ変換の双対性という。
3
問4 次の信号のフーリエ変換を定義式に従って求めよ。
4
(1)..f.(t). =.1.(.t.=.−1.~.+1), 0.(otherwise):ボックス関数 ※sinc関数の
5
形に整理
1
f (t)
(5).以上より、振幅スペクトル |ck| の概形を描け。※縦軸対象
0
−1
となる。
t
1
|ck |
−5
−4
−3
−2
−1 k=0
+1
+2
+3
+4
ω
+5
問3 以下の文章はフーリエ変換について説明したものであ
る。( )内に最適な語句や数式を記入せよ。
フーリエ級数展開は対象を(① )関数に限定した
変換であったが、フーリエ変換はこれを一般化・拡張し、
非①関数に対応させたものである。いずれも( )領
域の信号を( )領域の信号に変換する( )像
(2)..f.(t). =.e.−|t.|
であることには変わりがない。これらの信号の関係を .f.(t)
1
<=>.F.(ω).のように示し、これを変換の( )と呼ぶ。
フーリエ級数展開は、上記の条件のために、変換後の信
号が( )スペクトルになるのに対し、フーリエ変換
では( )スペクトルとなる。
フーリエ変換の定義式は
F.(ω) = ( )
と記され、複素変換である。この定義式の指数部分をオイ
ラーの公式で実部と虚部に展開すると次のようになり、
F.(ω) = ( )
実部に( ② )変換、虚部に( ③ )変換を持
つ。②,③変換は解析ベースとなる関数に対して( )
がずれた波形を変換すると振幅が縮小してしまうが、フー
リエ変換では両者を組み合わせて補完している。
フーリエ変換は、次式のように逆変換も定義される。
.f.(t) = ( )
−1
0
f (t)
1
t
平成22年度前期期末試験問題E5信号処理No.3(2010.08.09 Mon. 3・4) No. Name
問5 以下の文章はラプラス変換について説明したものであ
る。( )内に最適な語句や数式・数値を記入せよ。
(2).(1)と同じ .f.(t) = 1 (t−2):基本関数の変換対とラプラス変換の基
本的性質を利用、両者を明記して説明すること
関数.|.f.(t)|.を積分範囲( )~( )で積分した
値が有限でない場合、そのフーリエ変換は収束しない。そ
こで関数に収束因子( )を乗じて振幅を制限してや
ると、この問題が回避され、変換対が定まるようになる。
また、信号処理で扱うシステムは( )性のものが
多いので、変換の積分範囲を( )~( )に限
定し、さらに変数変換によって .σ.+.jω.=.( )とした
拡張フーリエ変換が(片側)ラプラス変換である。
関数..f.(t).に対し、ラプラス変換の定義式を記すと、次の
ようになる。
F.(s) = ( )
.
(3).2次遅れ系インディシャル応答(振動系)
.F.(s) =
5
:部分分数展開して基本的な変換対の公式
s(s 2 + 4s + 5)
を利用、最終的には単振動の合成により単一のsin関数に整理
フーリエ変換と同様に、ラプラス変換でも、変換対が収束
する領域が(① )平面上に存在する。
フーリエ変換が周波数軸上への1次元変換であったのに対
し、ラプラス変換は①平面上への2次元変換になる。フーリ
エ変換はラプラス変換の①平面における( )軸上の
値である。
ラプラス変換は信号処理システムの特性解析において重
要である。というのは、( )領域では微分方程式
すなわち( )積分で表される入出力の応答
が、ラプラス変換によって変換すると、単純な( )
方程式となり、これを解くのが容易になるからである。変
換・逆変換の手間はかかるが、これらの計算には代表的な
変換対や諸性質を利用すればよい。
問6 以下に示す関数のラプラス変換対を指定された方法に
従って計算せよ。
(1).時間推移単位ステップ関数 .f.(t) = 1 (t−2):変換の定義式に
従って計算、グラフを考えるとよい
配点 問1:各1,計20点 問2:(1)(3)2,(2)12,(4)5,(5)3,計24点
問3:各1,計14点 問4:(1)5,(2)6,計11点
問5:各1,計13点 問6:(1)(2)4,(3)10,計18点 総計100点
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