平成24年度前期期末試験問題E5信号処理No.1(2012.08.03 Fri. 1・2) No. Name
問1 以下の文章はフーリエ級数展開の複素指数関数表現の
導出過程を説明したものである。( )内に最適な語句や数
式・数値を記入せよ。
周期 .T.の周期関数 .f.(t).は、d0 .を直流成分、ak .を偶関数成
分、bk.を奇関数成分として、次式のように展開できる。
∞
f (t) = ∑ a k cos kω t + d0 +
. .
k=1
∞
∑ bk sin kω t
これは.ak.が偶関数成分、bk.が奇関数成分であることに由来
する。よって第2項も.ck.を用いて次のように簡略化できる。
1 (③) e − jkωt = ( )
2
以上を統合すると、展開式は.ck.と複素指数関数を用いた
簡便な形式で表現され、
k =1
ここで、各係数は次式で計算される。
ak = ( )(k.= )
f (t) = ( )
. .
また、係数を求める式も次のひとつで済む。
ck = 1 (ak − jbk )
2
d0 = ( )
= ( )(k.= )
bk = ( )(k.= )
問2 図に示す方形波の複素指数関数
第1項および第3項のcos,sin.のように、信号分解のベースに
なる関数を( )関数という。
ここで、係数.ak.につき、k.=0.とすると、
a0 = ( ) = ( )d0
となり、d0.は.a0.を用いて表すことができるので、上記の展
開式は以下のように書き改められる。
f (t) =(① )+
. .
∞
∞
k =1
k =1
∑ a k coskω t + ∑bk sin kω t
表現によるフーリエ級数展開を行い
たい。以下の設問に答えよ。
(1).問題の方形波を1周期につき関
数で表せ。
f (t)
1
t
0
T/2
T
f.(t) = (t.= ), (t.= )
(2).展開係数.ck.の定義式(計算式)に、(1)の関数を代入して
計算せよ。最後は複素指数関数を実部・虚部に展開整理すること。
次に、cos, sin.を複素指数関数表示すると、
cos.ωt = ( ),
sin.ωt = ( )
であるから、上記の展開式は次のように変形できる。
f (t) = ① +
. .
∞
∞
k =1
k =1
∑ a k {上記のcos} + ∑ bk {上記のsin}
= 1 {a0 +(② ) e + jkωt }
2
+ 1 (③ ) e − jkωt
2
ここで、 ck =
1 (a − jb )
k を考えると、
2 k
c0 =
であるから、展開式の第1項は.ck.を用いて次のように簡略化
できる。
1 {a0 +(②) e + jkωt } = ( )
2
一方、第2項は.k.=−1,.−2,.−3,....と.k.を負方向にとると、次の
ように書き改めることができる。
(3).このうち、c0は不定となるが、f.(t) の平均値であるので
波形から容易に算出できる。その値を答えよ。
1 .( ) e + jkωt
c0 =
2
平成24年度前期期末試験問題E5信号処理No.2(2012.08.03 Fri. 1・2) No. Name
1
.を除いた
2kπ
各.k.に対する実部、虚部の値を求め、表に記せ。
(4).(2)の展開係数において、共通項である .
k
実 部
問4 図に示す信号のフーリエ変換を求めよ。
(1).※解答は.sinc関数の形に整理すること. 虚 部
0
−1
0
f (t)
1
1
t
±1
±2
±3
±4
±5
(5).以上より、振幅スペクトル |ck| の概形を描け。
|ck |
(2). −5
−4
−3
−2
−1 k=0
+1
+2
+3
+4
ω
+5
1
−1
f (t)= e− | t |
0
問3 以下の文章はフーリエ変換について説明したものであ
る。( )内に最適な語句や数式を記入せよ。
フーリエ級数展開は対象を(① )関数に限定した
変換であったが、フーリエ変換はこれを一般化・拡張し、
非①関数に対応させたものである。いずれも( )領
域の信号を( )領域の信号に変換する( )像
であることには変わりがない。これらの信号の関係を .f.(t)
<=>.F.(ω).のように示し、これを変換の( )と呼ぶ。
フーリエ級数展開は、上記の条件のために、変換後の信
号が( )スペクトルになるのに対し、フーリエ変換
では( )スペクトルとなる。
フーリエ変換の定義式は
F.(ω) = ( )
と記され、複素変換である。この定義式の指数部分をオイ
ラーの公式で実部と虚部に展開すると実部に(② )
変換、虚部に( ③ )変換を持つ。②,③変換は解析
ベースとなる関数に対して( )がずれた波形を変換
すると振幅が縮小してしまうが、フーリエ変換では両者を
組み合わせて補完している。
フーリエ変換は、次式のように逆変換も定義される。
.f.(t) = ( )
配点 問1:各1,計20点 問2:(1)2,(2)8,(3)1,(4)(5)3,計17点
問3:各1,計12点 問4:(1)6,(2)8,計14点 問5:各1,計13点
問6:(1)4,(2)8,計12点 問7:各2,計12点 総計100点
1
t
平成24年度前期期末試験問題E5信号処理No.3(2012.08.03 Fri. 1・2) No. Name
問5 以下の文章はラプラス変換について説明したものであ
る。( )内に最適な語句や数式・数値を記入せよ。
関数.|.f.(t)|.を積分範囲( )~( )で積分した
(2)..F.(s) =
s+ 2
:2次遅れ系インパルス応答(振動系)
s 2 + 2s + 2
※最終的には単振動の合成により単一のsin関数に整理すること。
値が有限でない場合、そのフーリエ変換は収束しない。そ
こで関数に収束因子( )を乗じて振幅を制限してや
ると、この問題が回避され、変換対が定まるようになる。
また、信号処理で扱うシステムは( )性のものが
多いので、変換の積分範囲を( )~( )に限
定し、さらに変数変換によって .σ.+.jω.=.( )とした
拡張フーリエ変換が(片側)ラプラス変換である。
関数..f.(t).に対し、ラプラス変換の定義式を記すと、次の
ようになる。
F.(s) = ( )
.
フーリエ変換と同様に、ラプラス変換でも、変換対が収束
する領域が(① )平面上に存在する。
フーリエ変換が周波数軸上への1次元変換であったのに対
し、ラプラス変換は①平面上への2次元変換になる。フーリ
エ変換はラプラス変換の①平面における( )軸上の
値である。
ラプラス変換は信号処理システムの特性解析において重
要である。というのは、( )領域では微分方程式
すなわち( )積分で表される入出力の応答
が、ラプラス変換によって変換すると、単純な( )
方程式となり、これを解くのが容易になるからである。
問7 FSE,.FT,.LT.の変換対
f (t) <=> {ck} .f.(t) <=> F(ω) .f.(t) <=> F(s)
. .
において、一方の関数を以下のように変形すると、他方はど
うなるか。元の数列や関数を利用した式で示せ。
(1).FSE : .f.(t) => .f.(t−τ) .(τ.は定数:時間推移)
問6 以下に示す関数のラプラス変換対を、導出過程を示し
て求めよ。
(1)...f.(t) = 1 (t−1):時間推移単位ステップ関数
{ck} =>
(2).FSE : .f.(t) => .f.(−t) .(時間の反転)
{ck} =>
(3).FT : .f.(t) => .f.(at) .(a.は定数:不確定性,時間スケーリング)
F(ω) =>
(4).FT : .f.(t) => .F.(t) .(双対性)
F(ω) =>
(5).LT : F(s) => F(s+a) .(a.は定数:複素推移)
.f.(t) =>
(6).LT : .f.(t) => .f.'.(t) .(微分信号:初期値なし)
F(s) =>
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