いろいろな関係
記号
ディラック・パウリ表現
計量
ワイル表現
ベクトル・内積
トレース公式
微分演算子
双線形の C,P,T 変換
レヴィ・チビタ記号
ワイル方程式
パウリ行列
ワイル方程式
トレース
ヘリシティ
使用する規格化
カイラリティ演算子
自然単位系
マクスウェル方程式
クライン・ゴルドン方程式
ベクトルポテンシャル
ラグランジアン密度
電磁場テンソル
クライン・ゴルドン方程式
ラグランジアン密度
伝播関数
真空でのマクスウェル方程式
ディラック方程式
ラグランジアン密度
ベクトルポテンシャルによるマクスウェル方程式
ディラック方程式
光子の伝播関数
プロカ方程式
伝播関数
伝播関数
ψ の平面波
u, v の関係
γ 行列の関係
汎関数
γ 行列の内積
知っていると便利な関係
ガウス積分
ここでは記号の定義や、計算する上で必要なもの、公式等を羅列しておきます。
基本的な定義
• 記号
c : 光速 , ℏ : プランク定数 , † : エルミート共役 , I : 単位行列 (もしくは単に 1 と書きます)
4 元ベクトル : Xµ
共変ベクトル : Xµ
反変ベクトル : X µ
3 元ベクトル : X i = X
a/ = γµ aµ , ∂/ = γµ ∂ µ = γ 0
∂
+ γ·∇
∂t
ギリシャ文字の添え字 : 特に断らない限り 0∼3
ローマ文字の添え字 : 特に断らない限り 1∼3
アインシュタインの既約
1
3
∑
Xµ Y µ = X0 Y 0 + X1 Y 1 + X2 Y 2 + X3 Y 3 = Xµ Y µ = X · Y
µ=0
3 次元に限定するときは添え字の位置が無関係になるので、上付き下付きで区別せる同じ位置でも和を取る
ようにします。例えば
x · y = xi yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
4元ベクトルと言っている場合は、ローレンツの 4 元ベクトルを意味しています (相対論的量子力学の「ク
ライン・ゴルドン方程式」の始めの方参照)。
– 電子の電荷の定義は e < 0 としています (もしかしたらどこかで定義が混ざっているかも)。
– あまり一般的ではないんですが、exp の肩に乗っかっている p · x のようなものは「·」を省いて
exp[ip · x] ⇔ exp[ipx]
と書いている時があります (単に面倒だったのと、e の肩の中に小さな点があってもなくても雰囲気で分
かるだろうという勝手な判断からです)。また、ナブラ ∇ は特に断らない限り三次元の微分演算子です。
– n 次元積分において積分範囲が書いていないものは特に注意しない限り全空間積分です。例えば、3 次
元では (x を 3 次元ベクトルとして)
∫
∫
d3 x =
∫
∞
0
∫
π
d|x|
0
2π
dφ |x| sin θ
dθ
0
ということです。
– フーリエ変換したものに対しては、位置表示と運動量表示で同じ記号を使っています。例えば、位置表
示の伝播関数 D(x − y) というのがあったとき、運動量表示でも D を使って D(p) のようにして、変数
で区別しています。
– 言葉の使い方ですが、ラグランジアンにおいて運動エネルギーに対応する項を運動項 (kinetic term) と
呼ぶことが多々あります。例えば ∂µ ϕ∂ µ ϕ のような項のことです。
– 運動量と言ったときにエネルギーも含めて使うことがあるのにも注意してください (これは 4 元運動量
の中にエネルギーが含まれているためです)。特に、エネルギー・運動量保存は運動量保存としている
場合が多いです。
– 演算子の真空期待値を基本的に ⟨0|AB · · · |0⟩ と書きます。もしくは、明確に相互作用がある場合の真
空期待値だということを表したいときには ⟨Ω|AB · · · |Ω⟩ と書きます。また、どちらの場合でも省略し
て ⟨AB · · · ⟩ と書く場合もあります。
• 計量

gµν = g µν
1

 0
=
 0

0
2
0
−1
0
0

0

0 

−1 0 

0 −1
0
0
g µα gαν = δ µν
• ベクトル・内積
4 元位置ベクトル : xµ = (ct, xi ) = (ct, −x) , xµ = (ct, xi ) = (ct, x)
4 元運動量ベクトル : pµ = (p0 , pi ) = (p0 , −p) , pµ = (p0 , pi ) = (p0 , p) , p0 =
E
c
内積
(
)
gµν xµ xν = xµ xµ = (ct)2 − (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = (ct)2 − x2
pµ xµ = Et − p · x
• 微分演算子
∂µ =
( ∂
)
∂
∂
∂ ) ( ∂
∂
∂
∂ ) ( ∂
,
,
,
=
,− 1,− 2,− 3 =
, −∇
c∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3
c∂t ∂x
∂x
∂x
c∂t
∂µ =
( ∂
)
∂
∂
∂ ) ( ∂
, 1, 2, 3 =
,∇
c∂t ∂x ∂x ∂x
c∂t
□ = ∂ µ ∂µ = (
∂ 2
) − ∇2
c∂t
(ダランベルシャン)
• レヴィ・チビタ記号

+1 偶置換 (α, β, γ, δ の並びに対して)

ϵαβγδ = −ϵαβγδ =  −1 奇置換 ( ′′ )
0 それ以外の場合 ( ′′ )
ϵαβγδ ϵµνγδ = 2(δνα δµβ − δµα δνβ )
例えば
ϵ0123 = ϵ3012 = −ϵ0132 , ϵ0012 = ϵ0122 = ϵ1333 = 0
3 次元の場合
ϵijk ϵilm = δjl δkm − δjm δkl
3
• パウリ行列
(
σ1 =
0 1
)
(
, σ2 =
1 0
0 −i
)
(
, σ3 =
i 0
)
1 0
0 −1
関係
σ12 = σ22 = σ32 = I
σ1 σ2 = iσ3 , σ3 σ1 = iσ2 , σ2 σ3 = iσ1
[σi , σj ] = 2iϵijk σk
[σ1 , σ2 ] = 2iσ3 , [σ3 , σ1 ] = 2iσ2 , [σ2 , σ3 ] = 2iσ1
σi σj + σj σi = 2δij
(σi Ai )(σj Bj ) = (σ · A)(σ · B) = A · B + iσ · (A × B)
4 元ベクトルにしないで 3 次元だけならパウリ行列の添え字には上付きと下付きの区別はないです。
・4 元ベクトルのパウリ行列 σ µ = (σ 0 , σ i ) = (σ 0 , σ)
(
0
σ =
10
01
)
(
1
, σ =
0 1
)
(
2
, σ =
1 0
0 −i
i 0
)
(
3
, σ =
1 0
)
0 −1
σµ σ µ = −2σ0
tr[σµ σν ] = 2δµν
3 次元でのパウリ行列では σi と書いていたのを、ここでは 4 元ベクトルの定義に従って σ i と書いています。
• トレース
トレース (対角和) とは N × N 行列 A に対して
4
tr[A] =
N
∑
Aii
i=1
と計算することを言います。これに対応するように関数のトレースも存在しています。関数 F (x, y) のトレー
スと言ったとき、例えば 4 次元では
∫
∫
d xd yF (x, y)δ (x − y) =
4
tr[F (x, y)] =
4
4
d4 xF (x, x)
のことを意味します。
• 使用する規格化
∫
d3 xψ † ψ = 2E
• 自然単位系
ℏ=c=1
ℏ = 1.055 × 10−34 [J · s] , c = 2.998 × 108 [m · s−1 ]
ジュール:[J] = [kg · m2 · s−2 ]
エネルギーの単位:GeV (場合によって KeV,MeV 等。1KeV=103 eV,1MeV=106 eV,1GeV= 109 eV)
この単位系によって全ての次元は、質量もしくは長さの次元によって表わすことができます。長さ、質量、
時間の単位を、長さ L、質量 M 、時間 T として、例えば時間 t の次元は
t[T ] ⇒ ct = [L]
長さと質量の関係は
m[M ] ⇔
mc −1
1
ℏ
[L ] ,
[M −1 ] ⇔
[L]
ℏ
m
mc
質量 m、運動量 mc、エネルギー mc2 の単位は GeV で、長さは GeV −1 。
自然単位系と MKS 単位系での単位の関係は
5
1kg = 5.61 × 1026 GeV = 5.61 × 1026
GeV
c3
1m = 5.07 × 1015 GeV −1 = 5.07 × 1015
1s = 1.52 × 1024 GeV = 1.52 × 1024
ℏc
GeV
ℏ
GeV
真ん中が自然単位系、一番右側のが MKS 単位系での場合です。
長さと質量間の換算
ℏ
ℏc
=
mc
mc2
ℏc = 197 × 10−15 [M eV · m]
例えば mc2 = 1GeV なら 1.97 × 10−16 [m]。
*これ以降自然単位系を採用
• クライン・ゴルドン方程式
・ ラグランジアン密度
L=
1
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2
2
2
L = ∂µ ϕ† ∂ µ ϕ − m2 ϕ† ϕ
( 実数 )
( 複素数 )
・ クライン・ゴルドン方程式
(□ + m2 )ϕ = 0
・ 伝播関数
(
)
□ + m2 − iϵ D(x − y) = −iδ 4 (x − y)
D(p) =
p2
i
− m2 + iϵ
運動量 ⇔ 位置表示へはフーリエ変換で繋がっています。伝播関数での iϵ は m を m − iϵ と置き換える
ことで出てきます。
• ディラック方程式
6
・ ラグランジアン密度
L = iψ † ψ̇ + iψ † α · ∇ψ − mψ † βψ
= iψγ µ ∂µ ψ − mψψ
ψ は 4 成分スピノール、α(αi , i = 1, 2, 3), β の満たす関係は

αi αj + αj αi = 2δij

 αi β + βαi = 0
αi2 = β 2 = 1
γµ は 4 × 4 行列、ψ = ψ † γ0 、γ 0 = β , γ i = βαi (γ 行列の項参照)。αi には添え字の上付き下付きの区
別はないです。m には 4 × 4 単位行列が掛かっていますが、省略して書いています。
・ ディラック方程式
iψ̇ + iα · ∇ψ − mβψ = 0
iψ̇ † + i∇ψ † α + mψ † β = 0
(iγµ ∂ µ − m)ψ = 0
←
−
ψ(iγ µ ∂ µ + m) = 0
・ 伝播関数
(i∂/ − m)S(x − y) = iδ 4 (x − y)
S(p) =
i
i(p/ + m)
= 2
p
/ − m + iϵ
p − m2 + iϵ
・ ψ の平面波
ψ 1,2 = u1,2 e−ipx , ψ 3,4 = v 1,2 eipx
フーリエ係数 us (s = 1, 2) は正エネルギー解、v s (s = 1, 2) は負エネルギー解に対応、s はスピン方向。
u, v の関係
ur (p)v s (p) = v r (p)us (p) = 0 , ur† (p)v s (−p) = v r† (−p)us (p) = 0
7
ur† (p)us (p) = 2Eδ rs , v r† (p)v s (p) = 2Eδ rs
ur (p)us (p) = 2mδ rs , v r (p)v(p) = −2mδ rs
∑
ur ur = γµ pµ + m ,
r=1,2
∑
v r v r = γµ pµ − m
r=1,2
・ γ 行列の関係
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν , γ 0 = γ0
(γ i )† = γ 0 γ i γ 0 = −γ i , (γ µ )† = γ 0 γ µ γ 0
γ i† = (γ i )−1
γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
(γ 5 )† = γ 5 , γ 5 = γ5 , (γ 5 )2 = 1
γ5γµ + γµγ5 = 0
・ 内積
γµ γ µ = 4I
γµ a/γ µ = −2a/
γµ a//bγ µ = 4a · bI
γµ a//b/cγ µ = −2c//ba/
γµ a//b/cd/γ µ = 2d/a//b/c + 2c//ba/d/
・ ディラック・パウリ表現
8
(
αi =
(
γ = βαi =
)
(
, β=
)
σi
0
0
−σ i
i
σi
0
0
σi
(
0
, γ =β=
1 0
0 −1
1 0
0 −1
)
)
(
5
, γ =
0
1
1
0
)
パウリ行列は σ µ = (σ 0 , σ i )。
・ ワイル表現
(
αi =
(
γi =
0
−σ i
σi
0
−σ i
0
0
σi
)
)
, β=
(
, γ0 =
(
0 1
1 0
0 1
1 0
)
)
(
, γ5 =
−1 0
0 1
)
パウリ行列は σ µ = (σ 0 , σ i )。
・ トレース公式
Tr[a/1 a/2 · · · a
/n ] = 0 (n は奇数)
Tr[a//b] = 4a · b
Tr[γ 5 ] = 0
Tr[γ 5 a//b] = 0
Tr[γ µ γ ν γ ρ γ σ ] = 4(g µν g ρσ + g µσ g νρ − g µρ g νσ )
Tr[a//b/cd
/] = 4((a · b)(c · d) − (a · c)(b · d) + (a · d)(b · c))
Tr[γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ ] = −4iϵµνρσ
Tr[γ 5 a//b/cd
/] = −4iϵαβγδ aα bβ cγ dδ
Tr[a/1 a/2 · · · a
/2n ] = Tr[a/2n · · · a/2 a/1 ]
Tr[γ µ a/γ ν/b] = 4(aµ bν + aν bµ − (a · b)g µν )
Tr[γ µ (1 − γ 5 )a/γ ν (1 − γ 5 )b/] = 2Tr[γ µ a/γ ν/b] − 8iϵµανβ aα bβ
Tr[γ µ a/γ ν/b] × Tr[γµ/cγν d/] = 32[(a · c)(b · d) + (a · d)(b · c)]
Tr[γ µ (1 − γ 5 )a/γ ν (1 − γ 5 )b/] × Tr[γµ (1 − γ 5 )c/γν (1 − γ 5 )d/] = 256(a · c)(b · d)
・ 双線形の C,P,T 変換
スカラー (S) : ψψ 、擬スカラー (P ) : ψiγ5 ψ 、ベクトル (V ) : ψγ µ ψ 、軸性ベクトル (A) : ψγ5 γ µ ψ 、2
階のテンソル (T ) : ψσµν ψ ′ (σµν = i[γµ , γν ]/2) の C,P,T 変換の結果です。導出は「C,P,T 変換」を見
てください。
9
・P 変換 (空間反転)
S : ψ(x)ψ(x) ⇒ ψ(t, −x)ψ(t, −x)
P : ψ(x)iγ5 ψ(x) ⇒ −ψ(t, −x)iγ5 ψ(t, −x)
V : ψ(x)γ µ ψ(x) ⇒ ψ(t, −x)γ µ† ψ(t, −x)
A : ψ(x)γ5 γ µ ψ(x) ⇒ −ψ(t, −x)γ5 γ µ† ψ(t, −x)
†
T : ψ(x)σµν ψ ′ (x) ⇒ ψ(t, −x)γ0 σµν γ0 ψ(t, −x) = ψ(t, −x)σµν
ψ(t, −x)
・T変換 (時間反転)
S : ψ(x)ψ(x) ⇒ ψ(−t, x)ψ(−t, x)
P : ψ(x)iγ5 ψ(x) ⇒ −ψ(−t, x)iγ5 ψ(−t, x)
V : ψ(x)γµ ψ(x) ⇒ ψ(−t, x)㵆 ψ(−t, x)
A : ψ(x)γ5 γµ ψ(x) ⇒ ψ(−t, x)γ5 㵆 ψ(−t, x)
†
ψ(−t, x)
T : ψ(x)σµν ψ ′ (x) ⇒ −ψ(−t, x)σµν
・C 変換 (荷電共役)
S : ψ(x)ψ(x) ⇒ ψ(x)ψ(x)
P : ψ(x)iγ5 ψ(x) ⇒ ψ(x)iγ5 ψ(x)
V : ψ(x)γµ ψ(x) ⇒ −ψ(x)γµ ψ(x)
A : ψ(x)γ5 γµ ψ(x) ⇒ ψ(x)γ5 γµ ψ(x)
T : ψ(x)σµν ψ(x) ⇒ −ψ(x)σµν ψ(x)
• ワイル方程式
・ ワイル方程式
(
µ
iγµ ∂ ψ =
∂
i( ∂t
0
− σ i ∇i )
∂
i( ∂t
+ σ i ∇i )
0
ψL : 左巻きフェルミオン
ψR : 右巻きフェルミオン
10
)(
ψL
ψR
)
=0
γ 行列はワイル表現
・ ヘリシティ
ヘリシティ演算子 h
h=
σ·p
· · · ( スピンの運動量方向成分 )
|p|
hψL = −ψL , hψR = ψR
ψL : ヘリシティ−1(左巻き) , ψR : ヘリシティ+1(右巻き)
ψL , ψR の射影演算子 PL , PR
PL =
1
1
(1 − γ 5 ) , PR = (1 + γ 5 )
2
2
P L ψ = ψL , P R ψ = ψR
ψ = ψL + ψR = PL ψ + PR ψ
PL , PR の関係
(1 + γ 5 )(1 − γ 5 ) = 0
PR2 = PR , PL2 = PL
PR PL =
1
1
(1 + γ 5 )(1 − γ 5 ) = (1 − 1) = 0
4
4
PR + PL =
1
1
(1 + γ 5 ) + (1 − γ 5 ) = 1
2
2
・ カイラリティ演算子 γ5
γ5 ψL = −ψL , γ5 ψR = ψR
• マクスウェル方程式
ヘヴィサイド・ローレンツ単位系を使います。電場 E 、磁場 (磁束密度)B 、電荷密度 ρ、電流密度 J 。
・ ベクトルポテンシャル
Aµ = (A0 , −A)
B =∇×A
11
E=−
∂A
− ∇A0
∂t
・ 電磁場テンソル
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
Fµν F µν = −2(E 2 − B 2 )

F
µν
F
µν
− E1 − E2 − E3
 1
 E
0 − B3
=
 E2
B3
0

3
2
E −B
B1

∗
0


=


B2
− B1






0
0
B1
B2
−B 1
0
−E 3
−B 2
E3
0
−B 3
−E 2
E1
B3
E2
−E 1
0






(双対テンソル)
・ ラグランジアン密度
1
L = − Fµν F µν − Jµ Aµ
4
・ 真空でのマクスウェル方程式
∇·E =ρ , ∇·B =0
∇×E =−
∂B
∂E
, ∇×B−
=J
∂t
∂t
・ ベクトルポテンシャルによるマクスウェル方程式
□Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = J ν
・ 電磁場テンソルによるマクスウェル方程式
∂µ F µν = J ν
∂ λ F µν + ∂ ν F λν + ∂ µ F νλ = ∂µ ∗ F µν = 0
12
・ 光子の伝播関数
(
(
gµν □ +
)
)
1
− 1 ∂µ ∂ν Dνλ (x − y) = δ 4 (x − y)δµλ
α
(
)
i
kµ kν
Dµν (k) = − 2
gµν + (α − 1) 2
k + iϵ
k + iϵ
α = 1 はファインマンゲージ、α = 0 はランダウゲージ。
• プロカ方程式
・ ラグランジアン密度
1
1
L = − Fµν F µν + m2 Aµ Aµ − jµ Aµ
4
2
・ プロカ方程式
□Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) + m2 Aµ = J µ
・ 伝播関数
(□ − ∂ µ ∂ν + m2 )Dµν (x − y) = δ 4 (x − y)δµν
Dµν (q) =
q2
(
−i
qµ qν )
gµν − 2
2
− m + iϵ
m − iϵ
• 汎関数
・ 汎関数微分
δϕ(x)
= δ(x − y)
δϕ(y)
連鎖則
δ
=
δJ(y)
∫
dx
δϕ(x) δ
δJ(y) δϕ(x)
・ テーラー展開 (ϕ = 0 まわり)
F [ϕ] =
∫
∞
∑
δ n F [ϕ]
1
d4 x1 · · · d4 xn
|ϕ=0 ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )
n!
δϕ(x1 ) · · · δϕ(xn )
n=0
13
• ガウス積分
・ n 次元ガウス積分
∫
∞
−∞
dx1 dx2 · · · dxn exp[−xi Aij xj ] = π n/2 (det A)− 2
1
(i, j = 1, 2, · · · n)
行列 Aij は n 次元実数行列 (エルミート)
・ 経路積分でのガウス型積分
∫
ボソン :
[ ∫
]
1
Dϕ exp − d4 xd4 yϕ(x)D(x, y)ϕ(y) = N (det D)− 2
∫
[
DψDψ exp −
フェルミオン :
∫
]
d4 xd4 yψ(x)D(x, y)ψ(y) = N det D
(∫
∫
DψDψ =
ψ はグラスマン数、N は定数。
• 知ってると便利な関係
・ 伝播関数の主値による関係式
p2
1
1
=P 2
∓ iπδ 4 (p2 − m2 )
2
− m ± iϵ
p − m2
(
)
1
1
=P
∓ iπδ(x − y)
x − y ± iϵ
x−y
P は主値を表します。
・ 行列 A に対して
log det A = tr log A
14
dψ 1 dψ1 dψ 2 dψ2 · · ·
)
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